Méthode de particules en cellules multiphase (MP-PIC)

La méthode de particules en cellules multiphase (MP-PIC, de l’anglais Multiphase Particles- In-Cells) est une extension lagrangienne des méthodes de particules en cellules (voir la revue de Harlow et al. [120]) qui combinent une description eulérienne du fluide avec une approche par densité de population pour la phase solide, résultant en une description mixte lagran- gienne et eulérienne [6]. Cette méthode a connu un regain de popularité récent en raison du développement du code commercial Barruda VR [285]. Elle fut introduite pour la premièreR

fois dans la fin des années 90 en 1D par Andrews et al. [5,6], puis ensuite généralisée en 2D par Snider [284] avant d’être finalement généralisée en 3D par Snider et al. [282]. Cette méthode est en constante évolution depuis lors, mais nous tenterons de la présenter sous sa forme la plus épurée par souci de concision.

Dans la méthode MP-PIC, le fluide est résolu en utilisant les équations VANS par une ap- proche volume fini [6, 282] et les particules sont suivies en utilisant une description mixte lagrangienne-eulérienne. Dans leur description lagrangienne, les particules sont regroupées en plusieurs parcelles, qui sont définies comme des groupes de particules possédant la même position, la même vitesse et les mêmes propriétés physiques. Leur dynamique est décrite par une population (ou distribution) f régie par une équation de Langevin :

∂f

∂t + ∇x· (f v) + ∇v· (f A) = Ω (2.66) avec v la vitesse de la phase solide, ∇x et ∇v les opérateurs ∇ dans l’espace des phases (ou

des vitesses) et dans l’espace physique et Ω l’opérateur de collision qui permet aux particules de relaxer à l’équilibre. En premier lieu, nous ne considérerons pas cet opérateur dans notre présentation. Le terme A est constitué des forces agissant sur les particules et est égal à :

A = CD(u − v) − 1 ρp ∇xP + g − 1 sρs ∇x· τs (2.67)

Ces termes représentent les forces dues à la traînée, au gradient de pression dans le fluide, à la gravité ainsi qu’au gradient de contraintes granulaires respectivement.

Comme la résolution de ces populations s’effectue dans l’espace des phases (IR6), les collisions ne sont pas prises en considération durant la résolution et les parcelles peuvent littéralement se traverser. Ceci n’a pas d’impact pour les écoulements solide-fluide très dilués, mais est évidemment non réaliste pour les cas plus concentrés où les collisions entre les particules ont un impact important sur l’écoulement et la répartition des solides. Pour permettre la simulation d’écoulements non dilués, les collisions entre les particules sont considérées par la projection du volume des parcelles sur le maillage eulérien afin de calculer la fraction volumique de particules (p = 1 − f). Cette dernière est ensuite utilisée pour calculer le

tenseur de contrainte granulaire (τs), un tenseur diagonal et isotrope qui permet de calculer

le gradient de pression granulaire [109] et ainsi empêcher que la fraction de solide ne surpasse la fraction maximale de solide. L’expression de ce tenseur est :

τs=

Psβp

p,m− p

avec Ps une constante qui a les unités de la pression, p,m la fraction maximale de solide et

β ∈ [2, 5] un exposant empirique. Plusieurs formulations alternatives existent pour cette contrainte [6, 29, 282], mais les différences entre elles sont mineures et visent principalement à stabiliser la pression dans la limite p → p,max. Numériquement, le calcul du gradient de

pression granulaire sur les trajectoires des particules est non trivial compte tenu de la raideur du gradient de pression granulaire et requiert des schémas semi-implicites particuliers qui sont détaillés par Snider et al. [282].

Pour résumer, dans la forme la plus simple de la MP-PIC, les particules échangent de la quantité de mouvement entre-elles uniquement par l’intermédiaire du gradient de pression granulaire, qui lui est un terme calculé dans un référentiel eulérien sur le maillage volume fini. Malgré la modélisation en apparence simple et naïve des collisions, la MP-PIC produit d’excellents résultats [282].

La modélisation des collisions entre les particules au sein de la MP-PIC fut progressivement améliorée afin de permettre un échange de quantité de mouvement entre les particules au sein des mêmes cellules via l’utilisation d’un opérateur de collision de type BGK [234–236]. Ceci requiert des stratégies de répartition de la quantité de mouvement afin d’éviter de devoir scinder les parcelles à cause de la non-uniformité de leur état post-collisionnel [235]. L’usage de l’opérateur de collision de type BGK nécessite la définition de temps de relaxation, qui peut cependant être calculé à partir du coefficient de restitution ainsi que du rayon de Sauter [236]. Cette approche permet cependant aux particules d’échanger de la quantité de mouvement entre elles et de relaxer vers un équilibre maxwellien local à travers les processus de collision modélisés. Le modèle devient alors nettement plus précis dans les zones de concentration intermédiaire où la pression granulaire est insuffisante pour modéliser l’échange de quantité de mouvement entre les particules [234].

À la connaissance de l’auteur, la méthode MP-PIC a été utilisée uniquement dans le contexte de systèmes gaz-solide (tels que [176, 283, 329, 335]), mais sa formulation mathématique est générique et permet de l’appliquer au cas de systèmes solide-liquide sans obstacle évident. Bien que le traitement de la phase solide soit plus grossier que celui des méthodes CFD-DEM, la description lagrangienne permet une modélisation de l’interaction solide-fluide nettement plus fine que dans les méthodes à deux fluides.