CHAPITRE 2 REVUE DE LITTÉRATURE
2.4 Résolution numérique des équations de la mécanique des fluides
2.4.3 La méthode de Boltzmann sur réseau
La méthode de Boltzmann sur réseau (LBM, de Lattice Boltzmann Method) est une méthode numérique relativement récente qui bénéficie de beaucoup d’attention depuis deux décennies. Cet intérêt peut en partie être attribué au caractère local de ce schéma numérique, ce qui en fait un candidat idéal pour le calcul haute performance [317]. Bien que la méthode fut originalement obtenue à partir des automates cellulaires, la LBM est maintenant perçue comme un schéma numérique à part qui a peu en commun avec ses racines d’automate. Le livre de Succi [290] retrace cette histoire avec grâce.
La MBR consiste en une famille de schéma qui utilise des étapes de propagation et de collisions sur une grille cartésienne structurée afin de résoudre une équation aux dérivées partielles (EDP). Bien qu’elle puisse être utilisée pour résoudre plusieurs EDP) [62], la MBR est principalement conçue pour résoudre les équations de la mécanique des fluides.
Dans ce dernier contexte, la MBR peut être vue comme la projection du sous-espace des vitesses microscopiques de l’équation de Boltzmann sur une base de polynômes d’Hermite isotropes et orthonormaux dont seuls les premiers moments sont résolus [207]. La MBR ne résout pas les équations de Navier-Stokes incompressibles à proprement dit, mais la forme faiblement compressible et athermique de l’équation de Navier-Stokes. Celle-ci, dans la li-
mite d’un faible nombre de Mach, tend vers les équations de Navier-Stokes incompressibles isothermiques [290].
Dans ce contexte, l’équation de Boltzmann avec son espace des vitesses discrétisé, que nous nommerons dorénavant équation de ξ-Boltzmann, prend la forme :
∂fi(x, ξi, t)
∂t + ξi· ∇x(f ) = Ωi (2.37)
avec fil’ensemble des populations discrètes associées aux ξi vitesses discrètes et Ωil’opérateur
de collision qui y est associé. Cet ensemble de vitesses discrètes définit le type de noeuds utilisé dans le réseau. Ces noeuds sont généralement nommés DxQy, où x est la dimension physique du problème (le nombre de dimensions spatiales) et y le nombre de vitesses discrètes. L’opérateur de collision peut prendre plusieurs formes, mais nous nous limiterons ici au contexte plus simple d’un opérateur de collision de type BGK. Pour cet opérateur, l’équation ξ-Boltzmann prend la forme :
∂fi(x, ξi, t)
∂t + ξi· ∇x(fi) =
(fieq− fi)
τ (2.38)
où feq est la distribution à l’équilibre des populations. Cette équation peut être écrite sous
une forme discrète en prenant l’approximation en différences finies de la dérivée temporelle et en intégrant par la méthode des trapèzes sur le long des courbes caractéristiques (c.-à-d. les directions du réseau), menant à :
fi(x + ξi∆t, ξi, t + ∆t) − fi(x, ξi, t) = 1 ¯ τ (f eq i (x, ξi, t) − fi(x, ξi, t)) (2.39)
avec ¯τ le temps de relaxation adimensionnel, qui sera relié à la viscosité dynamique du fluide ultérieurement.
À l’aide d’un dévelopement de Chapman-Enskogg, on peut montrer que l’Équation (2.39), accompagnée de la distribution à l’équilibre appropriée, permet de récupérer les équations de Navier-Stokes athermique sous leur forme faiblement compressible. Deux chemins distincts employant de ce dévelopement peuvent mener à cette conclusion. Par souci de concisions, ces deux approches seront brièvement résumées ici. La première consiste à calculer les moments en vitesse de l’équation de ξ-Boltzmann discrétisée (2.39) après le dévelopement de Chapman- Enskogg. Ceci permet d’obtenir une équation de conservation discrète pour les deux premiers moments (la masse volumique et la quantité de mouvement) et de fermer les tenseurs d’ordre supérieurs qui apparaissent dans l’équation de conservation de la quantité de mouvement. Cette approche, plus classique, est présentée en détails dans la thèse de Matilla [200].
Une seconde avenue consiste à projeter les composantes de vitesse de l’équation de Boltz- mann continue avec un opérateur de collision (par exemple BGK), ainsi que la distribution à l’équilibre (2.32) (la m,axwellienne), sur une base de polynômes d’Hermite orthonormaux avant d’effectuer l’expansion de Chapman-Enskogg. En obtenant les moments dans l’espace des vitesses de cette équation, une tâche facilitée par la projection sur la base de polynômes d’Hermite, on obtient une équation continue pour les moments dont la conservation est désirée (masse volumique, quantité de mouvement, énergie). Cependant, afin de fermer les équations, le développement polynomiale d’Hermite de la distribution à l’équilibre (2.32) doit être tron- quée. Une troncature au second ordre permet de retrouver la forme athermique des équations de Navier-Stokes faiblement compressible, ce qui est la forme couramment utilisée dans la littérature. Une troncature à l’ordre supérieur permet quand à elle de retrouver les équations de Navier-Stokes sous les formes athermiques compressible et compressible, respectivement. De cette seconde approche, on constate que l’ordre de troncature de la maxwellienne impose non seulement le degré du polynôme employé pour la distribution à l’équilibre, mais aussi le nombre de vitesses discrètes employées, car ce dernier est dicté par le degré du polynôme devant être intégré exactement. Conséquemment, les vitesses discrètes, ainsi que leurs poids respectifs, ne sont rien de moins que des points dans une quadrature de Gauss-Hermite permettant l’intégration exacte d’une fonction polynomiale dans l’espace des vitesses. De tels concepts sont abordés dans les démonstrations de Malaspinas [190] et de Shan et al. [275] Pour une troncature de second ordre, la distribution à l’équilibre feq prend la forme :
fieq = wiρ 1 + (ξi· u) c2 s +(ξi· u) 2 2c4 s − u · u 2c2 s ! (2.40)
avec cs = √13∆x∆t la célérité du réseau et ωi le poid associé à la population i. Le temps de
relaxation adimensionnel est choisi afin de retrouver la viscosité dynamique : ¯ τ = µ ρc2 s∆t +1 2 (2.41)
Les moments d’intérêt, c’est à dire la masse volumique et la quantité de mouvement, sont obtenus en sommant les populations sur l’ensemble des vitesses discrètes :
ρ =X i fi (2.42) ρu =X i fiξi (2.43)
L’algorithme sous-jacent à la LBM se divise en deux étapes distinctes. Premièrement, l’opé- rateur de collision est appliqué à chaque noeud du réseau. Puis, les particules sont advectées à la vitesse caractéristique qui leur est associée, ce qui permet de calculer à nouveau les variables macroscopiques à chaque noeud. Bien que ceci ne soit pas démontré ici, le schéma numérique résultant est du second ordre en temps et en espace sous réserve que des conditions limites appropriées soient utilisées.