Partie 2 : Données expérimentales et Méthodes
B. La méthode RANS
III. Loi de paroi
𝜕𝜕(𝜕𝜔) +𝜕𝑥𝜕 𝑗�𝜕𝑢� 𝜔� =𝚥 𝜕𝑥𝜕 𝑗��𝜇 +𝜔𝜇𝑡 1�𝜕𝜔𝜕𝑥 𝑗� + 𝛾2�2𝜕𝑆𝑖𝑗∙ 𝑆𝑖𝑗−23 𝜕𝜔𝜕𝑢𝜕𝑥𝑖 𝑗𝛿𝑖𝑗� − 𝛽2𝜕𝜔2+𝜎𝜕 ω,2𝜔 𝜕𝑘 𝜕𝑥𝑗 𝜕𝜔 𝜕𝑥𝑗 Équation 33 L’Équation 33 diffère de l’Équation 32 de par l’expression du terme Pk et de par l’ajout d’un terme dans le second membre de l’Équation 33, dit terme de diffusion croisée. Les constantes du modèle k-ω-SST sont décrites dans le Tableau 7.
Tableau 7. Constantes du modèle k-ω SST.
σk σω,1 σω,2 γ2 β2 β*
1.0 2.0 1.17 0.44 0.083 0.09
6) Modèle RSM
Ce modèle combine les équations de transport pour chaque composant du tenseur de Reynolds et une équation de transport pour le taux de dissipation de l’énergie cinétique de turbulence. Des lois de paroi sont utilisées pour déterminées les contraintes et les valeurs de ε dans la zone de proche paroi.
Ce modèle est bien plus chronophage que les modèles de type k-ε (standard, RNG ou Realizable) parce qu’il résout 5 équations de plus. Cependant, alors que les modèles k-ε, avec leurs hypothèses de viscosité turbulente isotrope, ne s’adapte pas à des écoulements complexes, particulièrement à forts vortex (Cokljat et Younis, 1995), le modèle RSM est vraiment fait pour de telles situations.
III. Loi de paroi
Pour représenter une paroi, la condition de non-glissement est la plus appropriée (vitesses tangentielles au mur nulles). De même la vitesse normale est nulle à cette condition limite. Pour les autres variables, des termes sources spécifiques sont construits, en accord avec le type d’écoulement (laminaire ou turbulent). Le champ moyen des vitesses est bien évidemment impacté par la condition de non glissement qui doit être satisfaite à la paroi. Du fait de la présence de cette paroi, le comportement de l’écoulement et la structure de la turbulence sont très différents de ce qui se passe loin de la paroi et les modèles de turbulence ne sont plus valides (à l’exception des modèles de type k-ω, qui ne nécessite pas de loi de paroi). Les parois sont donc traitées à l’aide d’un modèle complémentaire. En proche paroi, l’écoulement est influencé par les effets visqueux et la vitesse moyenne de l’écoulement U dépend de la distance à la paroi y, la densité du fluide ρ, la viscosité du fluide μ et de la contrainte de cisaillement à la paroi τw. On définit deux grandeurs adimensionnelles, y+ (Équation 8) et u+ (Équation 34).
𝑢+=𝑢𝑈∗
Équation 34 Dans la sous-couche visqueuse, on peut faire l’approximation suivante :
Équation 35 Dans la zone tampon, on a la relation suivante :
𝑢+=1𝜅 ln(𝐸𝑦+)
Équation 36 Avec : - κ = constante de Von Kármán (= 0.4187)
- E = constante empirique (= 9.793)
Le passage du comportement associé à la sous-couche visqueuse à la loi valable dans la zone tampon est illustré à la Figure 35.
Figure 35. Relation entre u+ et y+ (Versteeg et Malalasekera, 2007).
1) Loi de paroi Standard
La loi de paroi standard repose sur les travaux de Launder et Spalding (1974) et est la plus largement utilisée d’après Rodi (2000). L’application de cette loi nécessite un y+ tel que le centre de la première maille en partant de la paroi ne soit pas dans la sous-couche visqueuse, mais dans la zone logarithmique (y+ compris entre 30 et 100 d’après Rodi, 2000). Dans le code commercial Ansys Fluent, cette loi subit une adaptation (voir Ansys, 2011) :
𝑈∗=1𝜅 ln (𝐸𝑦∗)
Équation 37 Où :
𝑈∗≡𝑈𝑃𝐶𝜇 1 4⁄ 𝑘𝑃1 2⁄ 𝜏𝑤 𝜕 � Équation 38 𝑦∗≡𝜕𝐶𝜇 1 4⁄ 𝑘𝑃1 2⁄ 𝑦𝑃 𝜇 Équation 39 Avec : - UP = vitesse moyenne du fluide au point de proche paroi P
- kP = énergie cinétique de turbulence au point de proche paroi P - yP = distance du point P à la paroi
- μ = viscosité dynamique du fluide
Pour l’applicabilité de cette loi, la borne inférieure de y* est 11.225, la borne supérieure dépend du nombre de Reynolds.
2) Loi de paroi Scalable
La loi de paroi scalable a été conçu afin d’éviter la détérioration des résultats numériques de la loi de paroi standard lors de l’affinage du maillage dans la zone de proche paroi (y* < 11). Cette loi de paroi permet d’obtenir des résultats cohérents même pour des maillages très denses près des parois. Pour des maillages plus lâches tels que y* > 11, cette loi de paroi est identique à la loi de paroi standard. Le principe de la loi de paroi scalable est de limiter les valeurs de y* utilisées dans la loi logarithmique à 11.225 (dos Santos et al., 2009). On y parvient en introduisant une limite dans le calcul de y*, telle que :
𝑦∗~= 𝑀𝐴𝑀(𝑦∗, 𝑦𝑙𝑖𝑙𝑖𝑡∗ )
Équation 40 où : - y*limit = 11.225.
3) Loi de paroi enhanced
La loi de paroi enhanced sépare la région de proche paroi en deux zones : une sous-couche visqueuse et une zone de pleine turbulence. Dans la sous-couche visqueuse, seule l’équation k est résolue, tandis que dans la zone de pleine turbulence, le modèle de turbulence (de type k-ε ou RSM) est appliqué. Le terme de distance à la paroi est utilisé pour déterminer l’interface entre ces deux zones. En général, cette approche requiert un maillage très fin près des parois, avec un y+ de l’ordre de 1. Cette approche est adaptée pour des écoulements à bas nombre de Reynolds, qui présentent des phénomènes complexes en proche paroi. Il est à noter que cette méthode demande plus de ressources pour les calculs, du fait de la nécessité d’avoir un maillage fin près des parois (El Gharbi et al., 2011).
4) Loi de paroi non-equilibrium
Cette loi de paroi a été développée par Kim et Choudhury (1995). La particularité de la loi de paroi non-equilibrium repose sur la modification de la loi logarithme de Launder et Spalding (1974) afin qu’elle puisse prendre en compte les gradients de pression. La loi logarithme de Launder et Spalding
(1974) modifiée afin de prendre en compte les gradients de pression, s’exprime de la manière suivante : Ũ𝐶𝜇1 4⁄ 𝑘1 2⁄ 𝜏𝑤⁄𝜕 = 1 𝜅 ln �𝐸 𝜕𝐶𝜇1 4⁄ 𝑘1 2⁄ 𝑦 𝜇 � Équation 41 où : Ũ = 𝑈 −12𝑑𝑑𝑑𝑥 � 𝑦𝑣 𝜕𝜅√𝑘ln � 𝑦 𝑦𝑣� + 𝑦 − 𝑦𝑣 𝜕𝜅√𝑘 + 𝑦𝑣2 𝜇 � Équation 42 et yv est l’épaisseur de la sous-couche visqueuse physique, calculée comme suit :
𝑦𝑣 ≡ 𝜇𝑦𝑣∗ 𝜕𝐶𝜇1 4⁄ 𝑘𝑃1 2⁄
Équation 43 où yv* = 11.225.