Partie 2 : Données expérimentales et Méthodes
B. La méthode RANS
V. Discrétisation
1) Méthodes des volumes finis
La méthode des volumes finis permet de convertir une équation générale de transport en une équation algébrique qui peut être résolue numériquement. Cette méthode consiste à intégrer l’équation de transport sur chaque volume de contrôle, donnant ainsi une équation discrète qui exprime une loi de conservation.
La discrétisation des équations régissant l’écoulement peut être illustrée en considérant l’équation de transport instationnaire d’une quantité scalaire φ, comme le démontre l’équation suivante :
� 𝜕𝜕𝜕 𝜕𝜕 𝑑𝑑 + � 𝜕𝜕𝜈⃗ ∙ 𝑑𝐴⃗ 𝑉 = � Γ𝜙∇𝜙∙ 𝑑𝐴⃗ + � 𝑆𝜙𝑑𝑑 𝑉 Équation 44 où : ρ = densité 𝜈⃗ = vecteur vitesse
𝐴⃗ = 𝑛�⃗𝐴 où A est la surface et 𝑛�⃗ la normale sortante Γ𝜙 = coefficient de diffusion pour φ
∇𝜙 = gradient de φ
𝑆𝜙 = source de φ par unité de volume
L’Équation 44 est appliquée à chaque volume de contrôle, ou cellule, du domaine de calcul, ce qui nous mène, pour un volume de contrôle donné, à :
𝜕𝜕𝜕 𝜕𝜕 𝑑 + � 𝜕𝑒𝜈⃗𝑒𝜕𝑒∙ 𝐴⃗𝑒 𝑁𝑓𝑓𝑐𝑓𝑓 𝑒 = � Γ𝜙∇𝜕𝑒∙ 𝐴⃗𝑒 𝑁𝑓𝑓𝑐𝑓𝑓 𝑒 + 𝑆𝜙𝑑 Équation 45 où : - 𝑁𝑒𝑓𝑐𝑒𝑠 = nombre de faces de la cellule
- 𝜕𝑒 = valeur de φ à travers la face f
- 𝜕𝑒𝜈⃗𝑒∙ 𝐴⃗𝑒 = flux massique à travers la face f
- 𝐴⃗𝑒 = 𝑛�⃗𝐴𝑒 où Af est l’aire de la face f et 𝑛�⃗ la normale sortante - ∇𝜕𝑒 = gradient de φ au niveau de la face f
- V = volume de la cellule - Γφ = coefficient de diffusion
L’Équation 45, équation de transport discrétisée, contient la variable scalaire inconnue φ au centre de la cellule ainsi que ses valeurs approchées au niveau des faces des cellules voisines. Cette équation est généralement non linéaire. La méthode des volumes finis permet de la linéariser et on obtient :
𝑎𝑃𝜕 = � 𝑎𝑛𝑛𝜕𝑛𝑛+ 𝑏 𝑛𝑛
où l’indice nb renvoie aux cellules voisines (neighbor cells), et ap et anb sont les coefficients de linéarisation pour φ et φnb (valeur de φ approximée au niveau des faces des cellules voisines). On peut écrire une équation similaire pour chaque cellule du maillage ; ce qui nous donne un ensemble d’équations algébriques.
2) Discrétisation spatiale
Par défaut, la valeur de φ est stockée au centre des cellules, mais la valeur aux faces est nécessaire pour pouvoir calculer le flux φf de l’Équation 45 et elle est interpolée à partir de la valeur au centre. L’interpolation se fait au moyen d’un schéma amont. Plusieurs schémas ont été testés et sont détaillés ci-après.
a) First-order Upwind
Lorsqu’on utilise ce schéma de discrétisation, les quantités sur les faces des cellules sont déterminées en supposant que les valeurs au centre des cellules de chaque champ de variable représentent la valeur moyenne sur la cellule. Ainsi, les quantités aux faces sont égales aux quantités au centre et on a donc φf pris égal à la valeur de φ dans la cellule en amont.
b) Power-Law
Le schéma de discrétisation Power-Law interpole la valeur aux faces d’une variable φ, en utilisant une approximation similaire à la solution exacte d’une équation unidimensionnelle de convection-diffusion :
𝜕
𝜕𝑥(𝜕𝑢𝜕) =𝜕𝑥 Γ𝜕 𝜕𝜕𝜕𝑥
Équation 47 où Γ et ρu sont constants sur l’intervalle Δx. On peut intégrer l’Équation 47 pour obtenir l’équation qui décrit la manière dont φ varie avec x :
𝜕(𝑥) − 𝜕0 𝜕𝐿− 𝜕0 =𝑅�𝑃𝑒𝑥𝐿�− 1 𝑅(𝑃𝑒)− 1 Équation 48 où : - φ0 = φ|x=0 - φL = φ|x=L
- Pe est le nombre de Peclet et vaut : 𝜕𝑅 =𝜌𝜇𝐿Γ
c) Second-Order Upwind
Lorsqu’une précision d’ordre 2 est nécessaire, les quantités aux faces sont calculées en utilisant une approche de reconstruction linéaire multidimensionnelle. Avec cette méthode, on arrive à une précision d’ordre 2 aux faces grâce au développement en série de Taylor de la solution au centre de la cellule. Cela nous amène au calcul suivant pour φf :
𝜕𝑒 = 𝜕 + ∇𝜕 ∙ 𝐹⃗
où : - φf est la valeur au niveau de la face - φ est la valeur au centre
- ∇ϕ est le gradient de φ dans la cellule amont
- 𝐹⃗ est le vecteur déplacement du centroïde de la cellule amont vers le centroïde de la face
d) Schéma QUICK
Ce schéma est disponible pour des maillages hexaédriques, et fournit une valeur de la variable φ transportée à ma face avec une précision d’ordre supérieur. Les schémas de type QUICK, développés par Leonard et Mokhtari (1990), sont basés sur une moyenne pondérée de Second-Order-Upwind et d’interpolation centrale de la variable. Dans la Figure 36, si l’écoulement va de gauche à droite, on calcule φe, valeur de la variable φ à la face e, de la manière suivante :
𝜕𝑒 = 𝜃 �𝑆 𝑆𝑑 𝑐+ 𝑆𝑑𝜕𝑃+ 𝑆𝑐 𝑆𝑐+ 𝑆𝑑𝜕𝐸� + (1 − 𝜃) �𝑆𝑆𝑢+ 2𝑆𝑐 𝑢+ 𝑆𝑐 𝜕𝑃− 𝑆𝑐 𝑆𝑢+ 𝑆𝑐𝜕𝑊� Équation 50
Figure 36. Schéma de principe, pour le calcul de φe en utilisant le schéma QUICK.
Si θ = 1, dans l’Équation 44, alors cette équation représente une interpolation centrée de deuxième ordre. Si θ = 0, alors on obtient un schéma Second-Order Upwind. Un schéma QUICK traditionnel utilise la valeur θ = 1/8.
Ce schéma sera plus précis pour des maillages structurés, alignés dans le sens de l’écoulement.
e) Schéma du troisième ordre : MUSCL
Ce schéma de troisième ordre a été conçu à partir du MUSCL (Monotone Upstream Centered Schemes for Conservation Laws) originel, de Van Leer (1979) en combinant un schéma différences centré et un schéma décentré avant, de la manière suivant :
𝜕𝑒= 𝜃𝜕𝑒,𝐷𝐶+ (1 − 𝜃)𝜕𝑒,𝑆𝑆𝑆
Équation 51 Avec 𝜕𝑒,𝐷𝐶 la composante différences centrées et 𝜕𝑒,𝑆𝑆𝑆la composante Second-Order Upwind. À la différence du schéma QUICK, le schéma MUSCL s’applique à tous les types de maillage et non seulement aux maillages structurés hexaédriques. Par rapport au Second-Order Upwind, le schéma MUSCL a le potentiel pour améliorer la précision spatiale pour n’importe quel type de maillage en réduisant la diffusivité numérique, particulièrement pour les écoulements 3D complexes.
f) Modified HRIC
Pour les simulations utilisant le modèle VOF (Volume Of Fluid) de Hirt et Nichols (1981), les schémas amont sont généralement inadaptés à la capture de l’interface, du fait de leur nature trop diffusive. Les schémas centrés, bien que capable de capturer la netteté de l’interface, ne sont pas bornés et peuvent aboutir à des résultats physiquement impossibles. La méthode Modified HRIC est un schéma composite qui consiste à combiner de manière non linéaire des schémas décentrés (Muzaferija et al., 1998).
Cette méthode calcule dans un premier temps la fraction volumique normalisée de la cellule 𝜕𝐶,qui sera utilisée pour trouver la valeur normalisée 𝜕�𝑒 de la face :
𝜕�𝑒 =𝜕𝜕𝐷− 𝜕𝑆 𝐴− 𝜕𝑆
Équation 52 Avec A, la cellule qui accepte le flux, D la cellule qui donne le flux et U la cellule amont (Upwind). On a également : 𝜕�𝑒= � 𝜕�𝑐 𝜕�𝑐 < 0 𝑜𝑢 𝜕�𝑐 > 1 2𝜕�𝑐 0 ≤ 𝜕�𝑐 ≤ 0.5 1 0.5 ≤ 𝜕�𝑐 ≤ 1 Équation 53 Si la cellule amont n’est pas disponible, une valeur extrapolée est prise pour 𝜕𝑆.
Cependant, si on utilise directement les valeurs de 𝜕�𝑒, on observe l’apparition d’ondulations à l’interface, si l’écoulement est parallèle à l’interface. Pour pallier à ce problème, le schéma Ultimate QUICKEST, développé par Leonard (1991), basé sur l’angle entre la normale à la surface et la normale de l’interface, peut être proposé :
𝜕𝑒𝑆�𝑄 = �
𝜕�𝑐 𝜕�𝑐< 0 𝑜𝑢 𝜕�𝑐 > 1 𝑀𝐼𝑁 �𝜕�𝑒,6𝜕�𝑐+ 3
8 � 0 ≤ 𝜕�𝑐 ≤ 1
Équation 54 Ce qui nous amène à une valeur corrigée de la fraction volumique à la face f, 𝜕�𝑒∗ :
𝜕�𝑒∗ = 𝜕�𝑒√𝑐𝑜𝑐𝜃 + �1 − √𝑐𝑜𝑐𝜃�𝜕𝑒𝑆�𝑄 Équation 55 où : 𝑐𝑜𝑐𝜃 = ∇𝜕 ∙ 𝑑⃗ |∇𝜕|�𝑑⃗� Équation 56 et 𝑑⃗ est le vecteur connectant les centres des cellules adjacentes à la face f.
𝜕𝑒 = 𝜕�𝑒∗(𝜕𝐴− 𝜕𝑆) + 𝜕𝑆
Équation 57 La méthode Modified HRIC doit donner des résultats plus précis pour les calculs du VOF que ce que l’on peut obtenir avec les schémas QUICK et Second-Order Upwind.