Nous considérons la famille des logiques propositionnelles de Gödel Gn. La valeur n ap-partient à l’ensemble N∗ = {1, 2, . . .} ∪ {∞} des entiers naturels strictement positif en plus du plus grand élément ∞. Dans le cas où n = ∞, la logique G∞ est également notée G. Elle correspond à la logique standard de Gödel.
La syntaxe est la même que celle de la logique propositionnelle. Rappelons qu’une logique intermédiaire est un ensemble de formules L satisfaisant la propriété IPL ⊆ L ⊆ CPL et clos sous la règle de modus ponens et sous une substitution arbitraire des variables propositionnelles (pour plus de détails voir [3]). La famille des logiques propositionnelles de Gödel satisfait la propriété suivante :
IPL⊂ G = G∞⊂ · · · ⊂ Gi ⊂ · · · ⊂ G1= CPL
Décrivons maintenant la sémantique algébrique caractérisant les logique Gn [5]. Nous ap-pelons Sn l’ensemble de valeurs de vérité défini comme suit :
Sn=
[0, 1] si n = ∞
{0,n1,2n, . . . , 1} sinon Nous notons _ la fonction définie comme suit :
a _ b =
1 si a 6 b b sinon
Une n-valuation des variables propositionnelles V : Prop → Sn est étendue aux formules par induction de la manière suivante :
– V (⊥) = 0
– V (A ∧ B) = min(V (A), V (B)) – V (A ∨ B) = max(V (A), V (B)) – V (A ⊃ B) = V (A) _ V (B)
où min et max correspondent respectivement au minimum et au maximum. Une formule A est valide pour une n-valuation V si V (A) = 1. Une formule est valide dans Gnsi et seulement si elle est valide pour toute n-valuation.
7.1 Logiques modales de Gödel 133 Toutes les composantes de la famille de logiques présentée ici sont décidables. Une des plus intéressante procédure de décision est celle basée sur l’utilisation de graphes bicol-ores [89, 90, 92]. Le principe consiste à caractériser la validité par l’existence de chaînes particulières dans des graphes bicolores.
Nous nous intéresserons maintenant aux logiques modales floues fondée sur la famille des logiques de Gödel. Dans un premier temps, nous décrivons les logiques modale floues GMn
pour n ∈ N∗. Ensuite, nous définissons une logique particulière que nous appelons WGM∞. Définition 7.1.1. Un n-modèle modal flou, avec n ∈ N∗, est un triplet M = (W, R, V ) où W est un ensemble non vide de mondes, R est une fonction de W × W dans Sn et V une fonction de valuation de W × Prop dans Sn.
Les valuations sont étendues aux formules de la manière suivante : V (w, ⊥) = 0
V (w, A ∧ B) = min{V (w, A), V (w, B)} V (w, A ∨ B) = max{V (w, A), V (w, B)} V (w, A ⊃ B) = V (w, A) _ V (w, B)
V (w, A) = inf {R(w, w′) _ V (w′, A) | w′ ∈ W } V (w, ♦A) = sup{min(R(w, w′), V (w′, A)) | w′ ∈ W }
où inf et sup correspondent respectivement aux fonctions infimum et supremum.
Un formule A est valide dans (W, R, V ) si V (w, A) = 1 pour tout w ∈ W . Une formule est valide dans GMn si elle est valide dans tout n-modèle modal flou. La logique GM1 corre-spond à la logique modale classique K. Notons que lorsque n > 1, les opérateurs et ♦ sont indépendants.
Dans le cas particulier de GM∞, des systèmes à la Hilbert pour le fragment privé de ainsi que celui privé de ♦ ont été proposés dans [28]. Ils sont obtenus par l’extension des systèmes de Hilbert de la logique de Gödel G avec les règles et les axiomes suivants :
K : (A ⊃ B) ⊃ ( A ⊃ B) Z : ¬¬ A ⊃ ¬¬A A A [RN ] D♦ : ♦(A ∨ B) ⊃ (♦A ∨ ♦B) Z♦ : ♦¬¬A ⊃ ¬¬♦A F♦ : ¬♦⊥ A ⊃ B ♦A ⊃ ♦B [RN♦]
Nous pouvons facilement voir que dans le cas n 6= ∞, les fonctions infimum et supremum utilisées dans la définition des n-modèles flous correspondent respectivement aux fonctions minimum est maximum, ce qui n’est pas le cas quand n = ∞. Effectivement, il se peut que la valeur de V (w, A) (resp. V (w, ♦A)) soit différente de R(w, w′) _ V (w′, A) (resp. min(R(w, w′), V (w′, A))) quel que soit w′. Par exemple l’ensemble S = {x | x > 0 et x ∈ [0, 1]} a 0 comme infimum mais 0 /∈ S. En fait, il existe une autre logique modale de Gödel obtenue par la restriction de la notion de validité aux modèles où chaque infimum (resp. supremum) est un minimum (resp. maximum). Cela signifie que pour chaque V (w, A) (resp. V (w, ♦A)), il existe un monde témoin w′ tel que V (w, A) = R(w, w′) _ V (w′, A) (resp. V (w, ♦A) = min(R(w, w′), V (w′, A))). Cette logique est appelée la logique modale de Gödel avec témoins WGM∞ [78].
134 7. Logiques hybrides de Gödel Définition 7.1.2. Un w-modèle modal floue (W, R, V ) est un ∞-modèle modal flou où pour toutes formules A et ♦A et pour tout w ∈ W , on a V (w, A) = R(w, w′) _ V (w′, A) et V (w, ♦A) = R(w, w′′) ∗ V (w′′, A)) pour des mondes w′ et w′′ dans W .
Une formule est valide dans WGM∞si et seulement si elle est valide dans tout w-modèle modal floue. Nous démontrons maintenant que les logiques WGM∞ et GM∞ sont différentes.
Proposition 7.1.1. ¬¬p ⊃ ¬¬ p est valide dans WGM∞.
Démonstration. On fait une démonstration par l’absurde. On suppose que ¬¬p⊃¬¬ p n’est pas valide dans WGM∞. Soit M = (W, R, V ) un contre-modèle de ¬¬p⊃¬¬ . Alors, il existe un monde w ∈ W tel que V (w, ¬¬p ⊃ ¬¬ p) < 1. Ainsi, on a V (w, ¬¬p) > V (w, ¬¬ p). Rappelons que V (w, ¬¬ p) = (V (w, p) _ 0) _ 0. Étant donné que V (w, ¬¬ p) < 1, on a V (w, p) = 0. Donc, il existe w0 ∈ W tel que R(w, w0) _ V (w0, p) = 0 (V (w0, p) = 0). On a V (w, ¬¬p) = min{R(w, w′) _ ((V (w′, p) _ 0) _ 0)} > 0. En utilisant R(w, w0) _ ((V (w0, p) _ 0) _ 0) = 0, on a V (w, ¬¬p) = 0. Comme V (w, ¬¬p) > V (w, ¬¬ p), on obtient une contradiction.
Proposition 7.1.2. ¬¬p ⊃ ¬¬ p n’est pas valide dans GM∞.
Démonstration. Un contre-modèle M = (W, R, V ) de ¬¬p⊃¬¬ p dans GM∞a été proposée dans [28], avec W = N, pour tout n, m ∈ W , R(n, m) = 1 et pour tout n ∈ W , V (n, p) =
1 n+1.
Théorème 7.1.1. GM∞⊂ WGM∞.
Démonstration. Ce théorème est une conséquence des deux propositions 7.1.1 et 7.1.2. Nous pouvons aisément démontrer que IK ⊂ GM∞en démontrant que tous les axiomes de IKsont valide dans GM∞. En fait, les logiques modales de Gödel présentées dans cette section satisfont la propriété suivante :
IK⊂ GM∞⊂ WGM∞⊂ · · · ⊂ GMi ⊂ · · · ⊂ GM1 = K
Chacune des logiques modales de Gödel, excepté GM∞, satisfait la propriété des modèles finis et par conséquent elle est décidable [28, 57, 58, 78]. Concernant la logique GM∞, elle ne satisfait pas cette propriété, néanmoins, le fragment privé de la satisfait [28].
Des calculs pour une variété de logiques modales floues défini sur des algèbres finies ont été proposés par Fitting [57, 58]. Le problème de ces calculs se situe dans l’intégration des valeurs de vérité au langage. Des calculs pour le fragment privé de ♦ de GM∞ ont été fournis par Metcalfe et Olivetti dans [98]. Ils utilisent principalement une structure multi-contextuelle introduite dans [7], appelée séquent relationnel. Cette structure peut être considérée comme une variante de celle d’hyperséquent plus adaptée au traitement des logiques modales floues.
Précisons qu’il existe une manière d’étendre ses logiques par des conditions sur les relations d’accessibilité [28]. Par exemple, un n-modèle modal flou (W, R, V ) est réflexive si R(w, w) = 1 pour tout w ∈ W ; il est transitive si R(w, w′) × R(w′, w′′) 6 R(w, w′′) pour tout w, w′, w′′∈ W ; et il est symétrique si R(w, w′) = R(w′, w) pour tout w, w′ ∈ W .