Génération contre-modèles

R] ^{Γ ⊢ B} Γ ⊢ A ∨ B ^[∨ 2 R] Γ, A, B ⊢ C Γ, A, A ⊃ B ⊢ C ^[⊃ 1 L] ^{Γ, A ⊃ (B ⊃ C) ⊢ D} Γ, (A ∧ B) ⊃ C ⊢ D ^[⊃ 2 L] Γ, A ⊃ C, B ⊃ C ⊢ D Γ, (A ∨ B) ⊃ C ⊢ D ^[⊃ 3 L] ^{Γ, A, B ⊃ C ⊢ B Γ, C ⊢ D} Γ, (A ⊃ B) ⊃ C ⊢ D ^[⊃ 4 L] Γ, A ⊢ B Γ ⊢ A ⊃ B ^[⊃R]

Fig.1.3 – Calcul des séquents G2 IPL

Nous définissons la mesure de complexité α sur les formules par : – α(p) = α(⊥) = 1 (p est une variable propositionnelle)

– α(A ∨ B) = α(A ⊃ B) = α(A) + α(B) + 1 – α(A ∧ B) = α(A) + α(B) + 2

Il est clair que la relation >, définie sur les formule par A > B si α(A) > α(B), est une relation bien fondée. En outre, nous définissons la relation >m sur les multi-ensembles de formules par Γ >m ∆ si ∆ est obtenu à partir de Γ par le remplacement d’une ou plusieurs formules de Γ par un nombre fini de formules, de sorte que chacune de ces formules a une complexité plus petite que la formule qu’elle remplace. Cette relation est étendue aux séquents par Γ⊢C >m∆ ⊢ D si Γ ∪ {C} >m∆ ∪ {D}. Le fait que la relation > est bien fondée implique que >m est également bien fondée [40]. L’utilisation de la relation >m permet de démontrer que pour toute règle de G2

IPL, sa conclusion est plus complexe que toutes ses prémisses. Par exemple, dans le cas de la règles [⊃2

L], nous avons α((A ∧ B) ⊃ C) = α(A) + α(B) + α(C) + 3 > α(A ⊃ (B ⊃ C)) = α(A) + α(B) + α(C) + 2, ce qui implique que Γ, (A ∧ B) ⊃ C ⊢ D >mΓ, A ⊃ (B ⊃ C) ⊢ D.

1.4.6 Génération contre-modèles

Partant du fait qu’il n’existe pas de dérivation infinie dans G2

IPL, certains travaux ont proposé des procédures de décision avec génération de contre-modèles pour IPL fondées sur G²_IPL[106, 127, 88]. En prenant un séquent en entrée, ces procédures revoient soit une preuve dans G2

IPL, soit un contre-modèle dans la sémantique de Kripke. De telles procédures ont été utilisées pour démontrer la décidabilité ainsi que la propriété des modèles finis pour IPL. Une logique vérifie la propriété des modèles finis si toute formule qui n’est pas valide dans cette logique a un contre-modèle fini.

1.4 Calcul des séquents 27 description du concept de la génération de contre-modèles à partir d’un calcul des séquents. Considérons le calcul GCPL de CPL proposé par Dragalin [42] décrit en figure 1.4. Notons que ce calcul diffère de ceux décrit précédemment pour IPL par l’utilisation de la structure de séquent multi-conclusion. Γ, A ⊢ ∆, A ^[id] Γ, ⊥ ⊢ ∆ ^[⊥L] Γ, A, B ⊢ ∆ Γ, A ∧ B ⊢ ∆ ^[∧L] Γ ⊢ ∆, A Γ ⊢ ∆, B Γ ⊢ ∆, A ∧ B ^[∧R] Γ, A ⊢ ∆ Γ, B ⊢ ∆ Γ, A ∨ B ⊢ ∆ ^[∧L] Γ ⊢ ∆, A, B Γ ⊢ ∆, A ∨ B ^[∨R] Γ ⊢ ∆, A Γ, B ⊢ ∆ Γ, A ⊃ B ⊢ ∆ ^[⊃L] Γ, A ⊢ ∆, B Γ ⊢ ∆, A ⊃ B ^[⊃R]

Fig. 1.4 – Calcul des séquents GCPL

Le premier constat que nous pouvons faire est que dans toute règle de GCPL, la conclusion est plus complexe que toutes les prémisses. Dans la règle [∧L], par exemple, la formule A ∧ B est remplacée par les deux formules moins complexes A et B. Cela nous permet de déduire qu’il n’existe pas de dérivation infinie dans GCPL. Précisons qu’il est possible de définir tous les opérateurs via uniquement ⊃ et ⊥ en utilisant les lois de De Morgan. Ainsi, un calcul pour CPL peut se réduire à [id], [⊥], [⊃L] et [⊃R].

Une manière très simple de démontrer la correction et la complétude consiste à utiliser la sémantique algébrique de CPL : algèbre de Boole. Rappelons qu’un modèle dans l’algèbre de Boole correspond à une fonction de Prop dans {0, 1}. L’extension d’un modèle B aux formules est obtenue par B(⊥) = 0 ainsi que via les tables de vérité associées aux opérateurs :

A B A ∧ B 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 A B A ∨ B 0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 1 A B A ⊃ B 0 0 1 0 1 1 1 0 0 1 1 1

La table de l’implication nous renseigne, par exemple, que si B(A) = 1 et B(B) = 0, alors B(A ⊃ B) = 0. Une formule A est valide dans CPL, si pour tout modèle B on a B(A) = 1.

Nous décrivons maintenant une procédure de décision pour CPL avec génération de contre-modèles. L’idée repose sur le fait que les règles de GCPL sont fortement inversibles.

Une règle est inversible si la non validité d’une de ses prémisses implique forcément la non validité de sa conclusion. Elle est fortement inversible si tout contre-modèle d’une quel-conque prémisse et forcément un contre-modèle de la conclusion.

28 1. Déduction naturelle et calcul des séquents Nous démontrons, par exemple, la forte inversibilité de la règle [∧R]. Soit B un contre-modèle de Γ ⊢ ∆, A (resp. Γ ⊢ ∆, B). Alors on a B(A) = 0 (resp. B(B) = 0). Par conséquent, on obtient B(A ∧ B) = 0 et on déduit que B est un contre-modèle de Γ ⊢ ∆, A ∧ B.

Nous appelons séquent irréductible, tout séquent qui ne peut être la conclusion d’aucune règles. Il est facile de démontrer que dans le cas de G_CPL un séquent Γ ⊢ ∆ est irréductible si et seulement si Γ et ∆ sont des multi-ensembles de formules atomiques, Γ ∩ ∆ = ∅ et ⊥ /∈ Γ. Autrement dit, les séquents irréductibles sont les séquents qui ne sont pas des axiomes et qui ne contiennent que des formules atomiques. La spécificité des séquents irréductibles réside dans leur non validité dans CPL. En effet, soit Γ ⊢ ∆ un séquent irréductible. Le modèle B défini par : B(p) =  1 si p ∈ Γ 0 sinon est un contre-modèle de Γ ⊢ ∆.

Puisqu’il n’existe pas de dérivation infinie dans G_CPL, il est possible de construire en un temps fini pour tout séquent qui n’a pas de preuve, une dérivation finie dont au moins une feuille est étiquetée par un séquent irréductible. La forte inversibilité de toutes les règles im-plique que tout contre-modèle d’un séquent dans une dérivation de S est un contre-modèle de S. En utilisant le fait que nous pouvons construire pour tout séquent irréductible un contre-modèle, nous obtenons une procédure de décision pour CPL avec génération de contre-modèles fondée sur GCPL.

Considérons l’exemple du séquent non valide S = p ⊃ q ⊢ p ∧ q : ⊢p, p ⊢p, q [∧R] ⊢p, p ∧ q q ⊢ p q ⊢ q ^[id] [∧R] q ⊢ p ∧ q [∧R] p ⊃ q ⊢ p ∧ q

Cette dérivation contient trois séquents irréductibles : ⊢p, p, ⊢p, q et q ⊢ p. Utilisons, par exemple, le séquent q ⊢ p pour construire un contre-modèle de S. Ce séquent nous fournit le contre-modèle B défini par : B(q) = 1 et B(r) = 0 pour toute variable propositionnelle r 6= q (B(p) = 0).

Conclusion

Dans ce chapitre dédié à la description des formalismes de déduction naturelle et de cal-cul des séquents, nous avons abordé différentes approches relatives aux démonstrations des propriétés importantes telles que la correction, la complétude, l’élimination de la coupure, la décidabilité, etc. Ces approches seront utilisées dans le cas de nos systèmes de preuve que nous définissons pour plusieurs logiques modales.

Dans nos travaux, nous nous intéressons à des logiques modales intuitionnistes et floues à travers le développement de systèmes de preuve suivant les formalismes de déduction na-turelle et de calcul des séquents. L’idée repose sur l’utilisation de nouvelles structures multi-contextuelles généralisant celle de séquent qui sont plus appropriées au traitement de ces

1.4 Calcul des séquents 29 logiques. Nous verrons en particulier que de telles structures permettront de définir des sys-tèmes ayant les propriétés habituellement exigées (normalisation, élimination de la coupure, sous-formule, etc). En outre, nous utiliserons plusieurs de nos systèmes dans le développement de procédures de décision simples et efficaces.

Chapitre 2

Logiques modales intuitionnistes

Introduction

Les logiques modales classiques jouent un rôle important en informatique. Elles sont, par exemple, un outil permettant de modéliser des systèmes informatiques comme les bases de données [32]. Il est à noter que nous nous intéressons uniquement aux logiques dites normales ou de Kripke. En fait, il existe un autre type de logiques modales classiques qui ne sont pas définies par une sémantique de mondes possibles [69].

Le développement en matière de modélisation et de formalisation logique ont fait émerger d’autres types de logiques modales, en particulier, celles intuitionnistes. Dans ce chapitre, nous nous intéressons principalement aux logiques modales intuitionnistes formées à partir des combinaisons des axiomes connus sous les noms de T , B, 4 et 5.

Dans un premier temps, nous décrivons l’ensemble des logiques modales classiques formées à partir de toutes les combinaisons de T , B, 4 et 5. Nous rappelons d’abord la syntaxe standard des formules dans les logiques modales. Ensuite, pour chaque logique modale classique que nous considérons, nous présentons sa sémantique de Kripke et également un système à la Hilbert. Puis nous montrons comment les énoncés de ces logiques se traduisent dans la logique classique de premier ordre.

Dans un deuxième temps, nous présentons l’approche utilisée dans l’introduction des ver-sions intuitionnistes des logiques que nous considérons, ce qui nous mène à la sémantique de Kripke de chaque version. Nous terminons notre présentation de ces logiques modales intu-itionnistes par la description d’un système à la Hilbert pour chaque logique.

Enfin, nous exposons les travaux existants dans la théorie de la preuve à travers les for-malismes de déduction naturelle et de calcul des séquents en logiques modales classiques et intuitionnistes et nous positionnons nos contributions.

2.1 Logiques modales classiques

Dans cette section, nous décrivons un ensemble de logiques modales classiques. Après un rappel de la syntaxe des formules et de la sémantique de Kripke, nous abordons la théorie de la preuve à travers le formalisme de système à la Hilbert. Ensuite, nous exposons certains liens entre la logique classique de premier ordre et les logiques modales présentées.

32 2. Logiques modales intuitionnistes