Correction de DN IK

Dans cette section, nous démontrons la correction du système DN_IK en utilisant la sé-mantique de IK. L’approche est la même que celle décrite au chapitre 1 pour démontrer la correction du système DNIPL : démontrer que pour chaque règle, si sa conclusion a un contre-modèle, alors au moins une de ses prémisses a aussi un contre-modèle. Cela revient à démontrer que pour chaque règle, si ses prémisses sont valides alors sa conclusion l’est aussi (contraposée). Dans un premier temps, nous introduisons les deux notions de prédécesseurs et de (w, k)-chaîne que nous utilisons pour exprimer d’une manière simple qu’un A-séquent a un contre-modèle. Ensuite, nous démontrons quelques propositions qui nous permettrons de simplifier la démonstration de la correction.

Définition 3.2.1 (Prédécesseurs). Soit Γ{} une 1-situation. La valeur de predi(Γ{}), avec i ∈ [0, prof (Γ{})], est définie par induction sur la valeur de i de la manière suivante :

– pred0(Γ{}) = ∆ où ∆, {} est un sous-arbre de Γ{}. Puisque Γ{} ne contient qu’une seule occurrence de {}, ce sous-arbre est unique.

– Pour prof (Γ{}) > 0 et 0 6 j < prof (Γ{}), pred^j+1(Γ{}) = predj(Γ^′{}) où Γ{} = Γ^′{h∆, {}i}.

La notion de prédécesseurs peut être décrite avec le schéma suivant :

Γ{} = ∆n,h ∆n−1,h · · · h ∆1,h ∆0 ,{}ii · · · ii

predn(Γ{}) predn−1(Γ{}) pred1(Γ{}) pred0(Γ{})

Définition 3.2.2. Soient M = (W, 6, {Dw}w∈W, {Rw}w∈W, {Vw}w∈W) un modèle modal in-tuitionniste et w un élément de W . Une (w, k)-chaîne dans M est une séquence de la forme d0 → d1 → · · · → dk, telle que pour tout m ∈ [0, k − 1], on a Rw(dm, dm+1).

3.2 Un système de déduction naturelle pour IK (DNIK) 55 Rappelons que la définition de modèle modal intuitionniste est fournie au chapitre 2. Soient M = (W, 6, {Dw}w∈W, {R_w}w∈W, {V_w}w∈W) un modèle de Kripke, w ∈ W , Γ{} une 1-situation et c = d₁ → · · · → dk une (w, k)-chaîne dans M avec k = prof(Γ{}). Nous écrivons w, c  Γ{} si pour tout i ∈ [0, k], w, di F(predk−i(Γ{})).

Proposition 3.2.5. Soient M = (W, 6, {Dw}w∈W, {Rw}w∈W, {Vw}w∈W) un modèle modal intuitionniste, w ∈ W , d ∈ Dw, Γ{} une 1-situation ne contenant pas de formule marquée et c une (w, k)-chaîne avec k = prof (Γ{}). Si w, c  Γ{} et w 6 w^′, alors w^′, c  Γ{}.

Démonstration. Par induction sur la valeur de k (dans le cas k = 0, on utilise la monotonie de Kripke donnée dans la proposition 2.2.1).

Les trois propositions suivantes ont pour objectif de capturer des propriétés qui seront utilisées dans la démonstration de la correction.

Proposition 3.2.6. Soient M = (W, 6, {Dw}w∈W, {Rw}w∈W, {Vw}w∈W) un modèle modal intuitionniste, w ∈ W , d ∈ Dw, Γ{} une 1-situation ne contenant pas de formule marquée. w, d  F(Γ{∅}) ssi (⇔) il existe une (w, k)-chaîne c = d → d₁ → · · · → dk telle que k = prof (Γ{}) et w, c  Γ{}.

Démonstration. Partie (⇒). Par induction sur la valeur de k. Si k = 0 alors c = d et il existe un A-environnement ∆ tel que Γ = ∆, {}. Puisque l’on a w, d  F(∆) (Γ{∅} = ∆), on déduit que w, c  Γ{}. Maintenant, on suppose que k = n + 1 avec n > 0, ce qui implique qu’il existe une 1-situation Γ′{} et un A-environnement ∆ tels que Γ = ∆, hΓ^′{}i et prof (Γ^′{}) = n. Étant donné que w, d  F(Γ{∅}), il existe d′ ∈ Dw tel que Rw(d, d′) et w, d′  F(Γ′{∅}). En utilisant l’hypothèse d’induction, il existe une (w, n)-chaîne c = d′ → d′

1 → · · · → d′ n telle que w, c  Γ′{}. Par conséquent, la (w, n + 1)-chaîne c^′ = d → d^′ → d^′₁ → · · · → d^′_n vérifie la propriété w, c′ ∆, hΓ′{}i, ce qui correspond à w, c′ Γ{}.

La partie (⇐) est également démontrée par une simple induction sur la valeur de k en utilisant la définition de F(Γ{∅}).

Proposition 3.2.7. Soient M = (W, 6, {D_w}w∈W, {R_w}w∈W, {V_w}w∈W) un modèle modal intuitionniste, Γ{C^⊢} un A-séquent, w ∈ W et c = d₀ → d₁ → · · · → dk une (w, k)-chaîne dans M avec k = prof (Γ{}). Si w, c  Γ{} et w, dk2C, alors w, d₀2F(Γ{C^⊢}).

Démonstration. Par induction sur la valeur de k. Si k = 0 alors on a c = d0 et il existe un A-environnement ∆ tel que Γ{C⊢} = ∆, C^⊢. En utilisant w, c  Γ{} et w, dk2C, on a w, d₀  F(∆) et w, d0 2 C. Donc, w, d₀ 2 F(Γ{C^⊢}). On suppose maintenant que k = n + 1 avec n > 0. Cela implique qu’il existe une 1-situation Γ^′{} et A-environnement ∆ tels que Γ{C⊢} = ∆, hΓ^′{C^⊢}i et prof (Γ^′{}) = n. En se servant de w, c  Γ{} et Γ{C^⊢} = ∆, hΓ^′{C^⊢}i, on obtient w, c′  Γ′{} et w, d0  ∆ avec c′ = d₁ → · · · → dn+1 (une (w, n)-chaîne). En utilisant l’hypothèse d’induction, on a w, d1 2 F(Γ′{C⊢}). Étant donné que w, d0  ∆, on obtient w, d₀ 2 F(∆) ⊃ (F(Γ^′{C^⊢})). Comme F(Γ{C^⊢}) = F(∆) ⊃ (F(Γ^′{C^⊢})), on a w, d₀ 2F(Γ{C^⊢}).

Proposition 3.2.8. Soient M = (W, 6, {Dw}w∈W, {Rw}w∈W, {Vw}w∈W) un modèle modal intuitionniste, w ∈ W , d₀ ∈ Dw et Γ{C^⊢} un A-séquent. Si w, d0 2F(Γ{C^⊢}) alors il existe w^′ ∈ W et une (w^′, k)-chaîne c = d₀ → d1 → · · · → dk tels que w 6 w^′, k = prof (Γ{}), w^′, c  Γ{} et w^′, dk2C.

56 3. Déduction naturelle et logiques modales intuitionnistes Démonstration. Par induction sur la valeur de k. Si k = 0 alors il existe un A-environnement ∆ tel que Γ{C⊢} = ∆, C⊢. Ainsi, on a w, d0  F(∆) et w, d0 2 C. Par conséquent, on a w, c  Γ{} et w, d₀ 2C avec c = d₀. On suppose maintenant que k = n + 1 avec n > 0, ce qui implique qu’il existe Γ′{} et ∆ tels que Γ{C^⊢} = ∆, hΓ^′{C^⊢}i et prof (Γ^′{}) = n. En utilisant w, d₀ 2 F(∆, hΓ′{C⊢}i) et la monotonie de Kripke (proposition 2.2.1), il existe w1 ∈ W et d₁ ∈ Dw1 tels que w 6 w₁, Rw1(d₀, d₁), w₁, d₀  F(∆) et w₁, d₁ 2 F(Γ′{C⊢}). En utilisant l’hypothèse d’induction, il existe w′ ∈ W et une (w^′, n)-chaîne c^′= d₁ → · · · → dn+1 tels que w₁6 w′, w′, c′  Γ′{} et w′, d_n+12C. Ensuite, en se servant de w₁, d₀  F(∆) et la monotonie de Kripke, on obtient w′, d₀  F(∆). Par conséquent, on a w′, c  Γ{} et w^′, d_n+1 2 C avec c = d₀ → d1 → · · · → dn+1.

Théorème 3.2.1 (Correction). Si un A-séquent a une preuve dans DNIK alors il est valide dans IK.

Démonstration. Nous ne développons que les cas de quelques règles. Les autres cas sont sim-ilaires ou plus simples.

Cas [⊥]. On suppose que Γ{∅}{A⊢} n’est pas valide dans IK. En utilisant la proposition 3.2.8, il existe un modèle de Kripke M, w ∈ W et une (w, k)-chaîne c = d₀→ d1 → · · · → dk tels que k = prof (Γ{∅}{}) et w, c  Γ{∅}{}. En utilisant la proposition 3.2.6, on a w, d₀  F(Γ{∅}{∅}). En se servant de la même proposition, on sait qu’il existe c′ = d0 → d′

1 → · · · → d′

l tel que l = prof (Γ{}{∅}) et w, c^′  Γ{}{∅}. En utilisant la proposition 3.2.7 et w, d′

l 2⊥, on obtient w, d₀2F(Γ{⊥^⊢}{∅}).

Cas [♦I]. On suppose que Γ{h∆i, ♦A^⊢} n’est pas valide dans IK. En utilisant la proposi-tion 3.2.8, il existe un modèle M, w ∈ W et une (w, k)-chaîne c = d₀ → d1 → · · · → dk tels que k = prof(Γ{h∆i, {}}), w, c  Γ{h∆i, {}} et w, dk 2 ♦A. En utilisant w, c  Γ{h∆i, {}} et w, dk 2 ♦A, il existe dk+1 ∈ Dw tel que Rw(dk, d_k+1), w, d_k+1  F(∆) et w, d_k+1 2 A. Cela permet d’obtenir w, c′  Γ{h∆, {}i} et w, d_k+1 2 A où c^′ est la (w, k + 1)-chaîne définie par c′ = d0 → d1 → · · · → dk → d_k+1. La proposition 3.2.7 permet de conclure que w, d₀ 2F(Γ{h∆, A⊢i}).

Cas [♦E]. On suppose que Γ{∅}{C^⊢} n’est pas valide dans IK. Donc, il existe un modèle M, w ∈ W et une (w, k)-chaîne c = d₀ → d₁ → · · · → dk tels que k = prof(Γ{∅}{}), w, c  Γ{∅}{} et w, d_k 2 C (proposition 3.2.8). Si w, c 2 Γ{♦A}{}, alors M est un contre-modèle de Γ{♦A⊢}{∅}. Sinon, on a w, c  Γ{♦A}{}, ce qui implique que w, c  Γ{hAi}{}. Étant donné que w, dk2C, on déduit que w, d₀ 2F(Γ{hAi}{C⊢}) (proposition 3.2.7). Cas [I]. On suppose que Γ{A⊢} n’est pas valide dans IK. Donc, il existe un modèle M, w ∈ W et une (w, k)-chaîne c = d₀ → d₁ → · · · → dk tels que k = prof(Γ{}), w, c  Γ{} et w, d_k 2 A (proposition 3.2.8). En utilisant w, d_k 2 A, il existe w^′ ∈ W et dk+1 ∈ Dw

tels que w 6 w′, Rw′(d_k, d_k+1) et w′, d_k+1 2 A. Soit c′ la (w′, k + 1)-chaîne définie par c^′ = d₀ → d₁ → · · · → dk → d_k+1. En utilisant la proposition 3.2.5 et w, c  Γ{}, on a w^′, c^′  Γ{h{}i}. Cela permet de déduire que w, d₀ 2 F(Γ{hA^⊢i}) car w^′, d_k+1 2A (proposi-tion 3.2.7).

Cas [E]. On suppose que Γ{h∆, A^⊢i} n’est pas valide dans IK. Donc il existe un modèle M, w ∈ W et une (w, k + 1)-chaîne c = d0 → d1 → · · · → dk+1 tels que k = prof(Γ{}), w, c  Γ{h∆, {}i} et w, d_k+1 2A (proposition 3.2.8). On a w, d_k+1 2A implique w, dk 2 A.

3.2 Un système de déduction naturelle pour IK (DNIK) 57 En outre, w, c  Γ{h∆, {}i} implique w, c′  Γ{h∆i, {}} avec c′ = d₀ → d1 → · · · → dk. Par conséquent, on a w, d0 2F(Γ{h∆i, A⊢}) (proposition 3.2.7).