Dans cette section, nous démontrons la décidabilité des logiques modales intuitionnistes formées à partir des combinaisons de T et B en utilisant leurs calculs des séquents que nous venons de définir. Nous nous limitons à ces logiques car nous avons besoin de la propriété de la profondeur pour démontrer la terminaison.
Le point clé de nos procédures de décision réside dans l’introduction d’une notion de redondance sur les dérivations de sorte que tout A-séquent valide a une preuve non redon-dante. En fait, nos procédures de décision peuvent être décrites comme étant des algorithmes de recherche de preuves passant uniquement par des dérivations qui ne sont pas redondantes.
4.2.1 Admissibilité avec préservation de la hauteur et de la taille
Nous démontrons maintenant que les règles structurelles d’affaiblissement, de fusion et de contraction sont admissibles avec préservation de la hauteur ainsi que la taille dans G−
IKTh. Cela sera à la base de la définition de notre notion de redondance sur les dérivations.
Proposition 4.2.1 (Admissibilité de l’affaiblissement). Pour tous Th ⊆ {T, B, 4, 5}, 1. si ⊢nG− IKTh Γ{∅}{C⊢} alors ⊢nG− IKTh Γ{∆}{C⊢} ; et 2. si ⊢s6nG− IKTh Γ{∅}{C⊢} alors ⊢s6nG− IKTh Γ{∆}{C⊢}.
Démonstration. Par induction sur la valeur de n. Il suffit de considérer les cas de la dernière règle appliquée dans la preuve de Γ{∅}{C⊢}. Dans un premier temps, on applique l’hypothèse d’induction aux prémisses. Ensuite, on applique cette même règle pour obtenir une preuve de Γ{∆}{C⊢}.
La règle de fusion correspond à la fusion de deux contextes. Elle est donnée par : Γ{h∆, ∆′i}
Γ{h∆i, h∆′i} [m]
Proposition 4.2.2 (Admissibilité de la fusion). Pour tous Th ⊆ {T, B, 4, 5}, 1. si ⊢nG−
IKTh
Γ{h∆i, h∆′i} alors ⊢n
G−IKThΓ{h∆, ∆′i} ; et 2. si ⊢s6n
G−IKThΓ{h∆i, h∆′i} alors ⊢s6nG− IKTh
Γ{h∆, ∆′i}.
Démonstration. Par induction sur la valeur de n comme dans le cas de la proposition 4.2.1. Proposition 4.2.3 (Admissibilité de la contraction). Pour tous Th ⊆ {T, B, 4, 5},
1. si ⊢nG− IKTh Γ{∆, ∆} alors ⊢nG− IKTh Γ{∆} ; et 2. si ⊢s6n G−IKThΓ{∆, ∆} alors ⊢s6n G−IKThΓ{∆}.
4.2 Calculs des séquents et décidabilité 89 Démonstration. Les deux propriétés sont démontrées de la même façon, ainsi nous ne consid-érons que le cas de la première. En se servant de la proposition 4.2.2, il suffit de démontrer la propriété suivante : (1′) si ⊢n
G−IKThΓ{A, A} alors ⊢nG− IKTh
Γ{A}, pour toute formule A. Effec-tivement, la propriété de fusion permet de passer de la situation critique de Γ{h∆i, h∆, ∆′i} à celle de Γ{h∆, ∆, ∆′i} sans augmenter la profondeur. En guise d’exemple, Considérons la dérivation suivante :
D′
Γ{h∆, h∆′ii, h∆, h∆′i, C⊢i} [♦R] Γ{h∆, h∆′ii, h∆, h∆′ii, ♦C⊢}
où ∆ et ∆′ sont des multi-ensembles de formules. Une preuve de Γ{h∆, h∆′ii, ♦C⊢} peut être construite en utilisant la propriété (1′) ainsi que l’admissibilité de la fusion de la manière suivante : Γ{h∆, h∆′ii, h∆, h∆′i, C⊢i} [f usion] Γ{h∆, ∆, h∆′, ∆′i, C⊢i} [(1′)] Γ{h∆, h∆′i, C⊢i} [♦R] Γ{h∆, h∆ii, ♦C⊢}
La démonstration de la propriété (1′) est par induction sur la valeur de n. Si n = 0 alors Γ{A, A} est un axiome et, par conséquent, Γ{A} l’est aussi. Sinon, soit D une preuve de Γ{A, A} de profondeur égale à n > 0. Étant donné que la dernière règle appliquée dans D ne modifie aucune des deux occurrences de A, pour obtenir une preuve de Γ{A} on applique l’hypothèse d’induction aux prémisses et ensuite on applique cette même règle pour l’obtention d’une preuve de profondeur inférieure ou égale à n.
4.2.2 Dérivations redondantes
Nous définissons la relation de contraction, notée →c, sur les A-séquents par Γ{∆, ∆} →c
Γ{∆}. En outre, nous rappelons que les deux relations →w et →m sont définies par re-spectivement Γ{C⊢}{∅} →w Γ{C⊢}{Σ} (Σ est un A-environnement) et Γ{h∆1i, h∆2i} →m
Γ{h∆1, ∆2i}.
Nous définissons une relation de préordre, notée ., sur les A-séquents par : S . S′ si et seulement si S(→c + →w + →m)∗S′ où (→c + →w+ →m)∗ est la clôture réflexive et transi-tive de l’union des trois relations →c, →w et →m. Nous notons ∼= la relation sur les A-séquents définie par : S ∼= S′ si et seulement si S . S′ et S′ . S. Nous pouvons facilement voir que cette relation est une relation d’équivalence.
Proposition 4.2.4. Soient S et S′ deux A-séquents. Si S . S′ alors 1. si ⊢nG− IKThS alors ⊢nG− IKThS′; et 2. si ⊢s6n G−IKThS alors ⊢s6nG− IKTh S′.
Démonstration. Conséquence des propositions 4.2.1, 4.2.2 et 4.2.3.
Définition 4.2.1. Une dérivation est dite redondante si elle a une branche contenant deux différentes occurrences de A-séquents S et S′ telle que S est au dessus de S′ et S . S′.
90 4. Calculs des séquents et logiques modales intuitionnistes Proposition 4.2.5. Pour tout Th ⊆ {T, B, 4, 5}, si un A-séquent est valide dans IKTh, alors il a une preuve qui n’est pas redondante dans G−IKTh.
Démonstration. Soient S un A-séquent et D une preuve de S dans G−IKTh. On démontre main-tenant que S a une preuve qui n’est pas redondante par induction sur la taille s de D. Si la preuve D n’est pas redondante, alors on a la propriété recherchée. Ce cas inclus le cas où la taille est égal à 1. Sinon, s = n + 1 avec n > 1 et D est redondante. Ainsi, D contient deux différentes occurrences de A-séquents S1 et S2 telle que S1 est au dessus de S2 et S1 . S2. Soit n1 la taille de la preuve de S1 dans D. Il est clair que la taille de la preuve D2 de S2 dans D est strictement plus grande que n1. En utilisant la proposition 4.2.4, S2 a une preuve D′
2 ayant une taille inférieure ou égale à n1. Le remplacement de D2 par D′
2 dans D fournit une preuve de S de taille inférieure ou égale à n. Par conséquent, en appliquant l’hypothèse d’induction, on déduit que S a une preuve qui n’est pas redondante.
4.2.3 Procédures de décision
Dans la proposition suivante, nous introduisons le point clé de la démonstration de termi-naison de nos procédures de décision. Pour qu’elle soit vraie, cette proposition nécessite non seulement la propriété de la sous-formule mais aussi celle de la profondeur.
Proposition 4.2.6. Soient S un A-séquent et Th ⊆ {T, B}. L’ensemble de tous les A-séquents appartenant aux dérivations de S dans G−IKTh peut être partitionné en un ensemble fini de classes d’équivalence de ∼=.
Démonstration. Une conséquence des propriétés de la sous-formule (proposition 4.1.1) et de la profondeur (proposition 4.1.2).
Maintenant, nous fournissons une procédure de décision pour chaque logique IKTh avec Th⊆ {T, B}. Ces procédures ne diffèrent que par le calcul utilisé, à savoir que pour la logique IKThon utilise le calcul G−
IKTh. Elles consistent en une recherche d’une preuve non redondante. Procédure de décision pour IKTh (Th ⊆ {T, B}) :
Soit S un A-séquent. Étape 1 :
On commence par la dérivation contenant uniquement S qui est l’unique dérivation non re-dondante de taille 1.
Si cette dérivation est une preuve, alors S est valide et on renvoie cette preuve. Sinon on passe à l’étape suivante.
Étape i+1 :
On construit l’ensemble de toutes les dérivations non redondantes dans G−
IKThde taille i + 1. Si cet ensemble contient une preuve alors S est valide et on renvoie cette preuve.
Sinon, si cet ensemble est vide, alors S n’est pas valide, sinon on passe à l’étape suivante. La correction des procédures de décision fournies ici découle de la correction et la complé-tude de nos calculs ainsi que la proposition 4.2.5. Concernant la terminaison, elle est une conséquence de la proposition 4.2.6 en plus du fait que le nombre d’applications possibles de règles permettant d’étendre une dérivation de taille i en une de taille i + 1 est fini. Cela nous conduit à déduire la décidabilité :