Logique de description et op´ erateurs de classes

Les logiques de description (LD) sont les logiques bas´ees sur un formalisme de repr´ e-sentation qui s’apparente `a la logique du premier ordre. Elles contiennent deux cat´egories d’´el´ements : les concepts (classes) et les rˆoles(propri´et´es). Un concept d´enote un ensemble d’objets (l’extension du concept). Les rˆoles sont des relations binaires sur les objets. Une description est une expression obtenue par application d’op´erateurs de construction sur des termes (noms) de classes ou de propri´et´es.

La LD structure une base de connaissances en deux parties : (1) la partie termino-logique appel´ee T box repr´esentant la connaissance des descriptions ou des concepts, et (2) la partie assertionnelle appel´ee Abox repr´esentant la connaissance des instances. Les instances d´efinies dans la Abox sont bas´ees sur des descriptions dans la T box. Une s´ e-mantique est associ´ee `a chaque description de concept et de rˆole par l’interm´ediaire d’une interpr´etation I = (Δ^I, f^I) qui est d´efinie comme suit :

– Δ^I est le domaine de l’interpr´etation,

– f^I est une fonction d’interpr´etation qui associe `a chaque description l’ensemble de ses instances : f^I(C) = C^I ⊆ ΔI_{, f}I_{(R) = R}I ⊆ ΔI∗ ΔI_{, avec C comme concept et}

R comme rˆole.

La table 2.2 pr´esente des op´erateurs de base de logique de description pour formuler les concepts (pr´edicats unaires) et les rˆoles (pr´edicats binaires) dans un T box.

Les concepts, dans la LD, peuvent ˆetre primitifs ou d´efinis. Les concepts primitifs sont comparables `a des atomes et servent de base `a la construction des concepts d´efinis. On peut seulement leur associer des conditions n´ecessaires. Les concepts d´efinis sont d´efinis explicitement.

La LD supporte deux constructeurs permettant de d´efinir des concepts complexes : 1. le constructeur de subsomption () : Concept d´efinis  expression complexe 2. le constructeur d’´equivalence (≡) : Concept d´efinis ≡ expression complexe

Op´erateurs Syntaxe S´emantique Concepts C,D C^I ={x ∈ ΔI_{/x : C}} Rˆoles R,T R^I ={(x, y) ∈ ΔI∗ ΔI_{/(x, y) : R}} N´egation ¬C Δ^I− CI Quantificateur existen-tiel ∃R.C {x ∈ ΔI_/∃y, (x, y) ∈ RI∧ y ∈ CI } Quantificateur universel ∀R.C {x ∈ ΔI_/∀y, (x, y) ∈ RI ⇒ y ∈ CI } Restriction inf´erieure (≤ nR).C {x ∈ ΔI_/|{y, (x, y) ∈ RI∧ y ∈ CI}| ≤ n} Restriction sup´erieure (≥ nR).C {x ∈ ΔI_/|{y, (x, y) ∈ RI∧ y ∈ CI}| ≥ n } Rˆole inverse S⁻ {(x, y) ∈ ΔI ∗ ΔI_{/(y, x) : R}I}

Conjonction C D C^I D^I Disjonction C D C^I D^I

Tab. 2.2 – Op´erateurs (de base) de construction de concepts de la logique de description (LD)

Les expressions complexes sont construites en utilisant les op´erateurs pr´esent´es dans la table 2.2 sur les concepts primitifs ou les autres concepts complexes. Par exemple :

F emme P ersonne ´

Etudiant ≡ (≥ 1 inscrit `a). ´Ecole ^ ¬F emme

La description complexe du constructeur de subsomption n’est qu’une condition n´ e-cessaire, mais non suffisante pour v´erifier si une instance appartient `a la classe d´efinie. Par contre, celle du constructeur d’´equivalence est une condition n´ecessaire et suffisante.

Dans la Abox, les assertions repr´esentant les instances des concepts dans la T box sont exprim´ees comme suit :

– a : C, d´efinissant une instance du concept C, – (a, b) : R, repr´esentant le lien entre deux instances. Par exemple :

Nguyen : ´Etudiant

(Nguyen,ENSMA) :inscrit `a

La puissance des LD r´eside dans leur capacit´e `a effectuer certains raisonnements. Les quatre principales op´erations li´ees au raisonnement dans un syst`eme `a base LD pr´esent´ees par Amedeo Napoli [70] sont les suivantes :

1. Le test de subsomption permet de v´erifier qu’un concept C₁ subsume un concept C₂. 2. Le test de satisfiabilit´e d’un concept C permet de v´erifier qu’un concept C admet

des instances (il existe au moins une interpr´etation I telle que C^I = φ). 3. Le test de satisfiabilit´e d’une base de connaissances

permet de v´erifier que admet un mod`ele I : tout concept et toute assertion sont satisfaits par I.

4. Le test d’instanciation consiste `a retrouver les concepts les plus sp´ecifiques dont une instance i est instance.

2.4. Ontologie conceptuelle Les langages comme DAML+OIL, OWL sont fond´es sur les logiques de description. Quelques projets d’int´egration de donn´ees utilisant LD afin de construire leurs ontologies qu’on peut citer sont : OBSERVER, SHOE.

Le mod`ele d’ontologie OWL [62], d´ej`a cit´e, est un mod`ele permettant la d´efinition de concepts primitifs et d´efinis. Issu des logiques de description, les notions de classes, instances et propri´et´es sont faiblement coupl´ees et peuvent mˆeme ˆetre d´efinies en toute ind´ependance. Les instances ne respectent ainsi aucune structure d´efinie. Elles peuvent prendre des valeurs pour des propri´et´es qui n’ont pas pour domaine leurs ´eventuelles classes de d´efinition [49].

OWL fait la distinction entre deux types de propri´et´es : (1) les propri´et´es d’objet permettent de relier des instances `a d’autres instances (owl : ObjectP roperty), (2) les propri´et´es de type de donn´ees permettent de relier des instances `a des valeurs de donn´ees (owl : DatatypeP roperty). La d´efinition des caract´eristiques d’une propri´et´e se fait `a l’aide d’un axiome de propri´et´e qui, dans sa forme minimale, ne fait qu’affirmer l’existence de la propri´et´e :

<owl :ObjetctProperty rdf :ID=”P`ere de”/>

Si on consid`ere que l’existence d’une propri´et´e pour une instance donn´ee de l’ontologie constitue une fonction faisant correspondre `a cette instance une autre instance ou une valeur de donn´ee, alors on peut pr´eciser le domaine et le co-domaine de la propri´et´e :

<owl :ObjetctProperty rdf :ID=”P`ere de”> <rdfs :domain rdf :resource=”#P ersonne”> <rdfs :range rdf :resource=”#P ersonne”> </owl :ObjetctProperty>

La d´efinition d’une instance consiste `a ´enoncer un axiome d’individu (ou un fait). Un axiome d’individu concerne g´en´eralement la d´eclaration de l’appartenance `a une classe et les valeurs de propri´et´e de cette instance. Un axiome d’individu s’exprime de la mani`ere suivante :

<Personne rdf :ID=”Philip”>

<Mari´e avec rdf :parseType=”Fran¸coise”> <P`ere de rdf :parseType=”Paul”>

</Personne>

Le fait ´ecrit dans l’exemple ci-dessus exprime l’existence d’une P ersonne nomm´ee ”Philip” qui est le p`ere de ”Paul” et se marie avec ”Fran¸coise”. Une difficult´e qui peut apparaˆıtre dans le nommage des instances concerne les conflits de nom attribu´es aux instances. C’est la raison pour laquelle OWL propose un m´ecanisme permettant de lever cette ambiguit´e, `a l’aide des op´erateurs : owl : sameAs, owl : dif f errentF rom, owl : allDif f erent. Par exemple :

<rdf :Description rdf :about=”dung Nguyen”> <owl :sameAs rdf :resource=”Nguyen dung”> </rdf :Description>

esi-gnent la mˆeme personne.

En r´esum´e, le monde de LD se formalisme essentiellement sur l’inf´erence et la d´ educ-tion : la relaeduc-tion de subsompeduc-tion et la relaeduc-tion d’´equivalence entre concepts. Pour cela, elles fournissent non seulement des op´erateurs exprimant les ´el´ements ontologiques canoniques (classes, propri´et´es, instances), mais ´egalement des op´erateurs de classes (par exemple, C ≡ C₁^C₂ ou C^∗ ≡ (≤ nR).C ) permettant de d´efinir des ´equivalences conceptuelles (afin de d´efinir une OCN C).

Cependant, `a notre connaissance, la plupart des langages issus des LD ne fournissent aucune expression sur les domaines concrets de donn´ees (comme Real...), ni aucune contrainte d’int´egrit´e (par exemple, diam`etre interne < diam`etre externe). Il existe une extension de LD, Domaine Concret de la LD, permettant d’exprimer des expressions sur les domaines concrets. Jusqu’`a aujourd’hui, aucun syst`eme de raisonnements ne sup-porte vraiment des inf´erences sur cette extension. Nous consid´erons donc que les domaines concrets ne sont gu`ere utilisables dans les LD. De plus, les concepts primitifs d’ontologie sont juste d´ecrits par un ”commentaire” facultatif ce qui est tout `a fait insuffisant pour permettre `a un utilisateur humain de comprendre, sans ambigu¨ıt´e, les concepts primitifs. Les ontologies bas´ees sur les logiques de descriptions sont donc bien adapt´ees si l’objectif est de r´ealiser des inf´erences pouvant se ramener aux tests de subsomption ou d’instancia-tion. Elles sont par contre peu adapt´ees pour caract´eriser, de fa¸con compr´ehensible par un utilisateur humain, l’ensemble des notions apparaissant dans les domaines assez vastes. Elles semblent ´egalement peu adapt´ees pour des ensembles d’instances importants : la seule proposition de syst`eme que nous connaissons et qui ne travaille pas en m´emoire centrale g`ere jusqu’`a un million d’instances, mais ne g`ere pas les propri´et´es. Enfin elles ne permettent pas de d´efinir une propri´et´e qui peut se d´eduire `a partir de la valeur d’une autre propri´et´e, par exemple : le grand p`ere est le p`ere du p`ere ou de la m`ere, ou bien une longueur en centim`etres est exactement ´egale `a la longueur de la mˆeme caract´eristique en m`etre multipli´ee par 100.