Lisser le bispectre

On vient de voir que dans le cas d’un ciel gaussien, les bins du bispectre sont d´e-corr´el´es et suivent une distribution gaussienne. Ce n’est pas le cas des cartes ayant des r´esidus d’avant-plans o`u un signal primordial non-gaussien.

Principe du lissage

Pour faire ressortir le signal corr´el´e entre plusieurs bins, on lisse le bispectre avec un noyau gaussien_{N en trois dimensions de taille σ}bin dans l’espace des bins :

Bliss´i1i2ei3 = X i0 1 X i0 2 X i0 3 Bi0 1i02i03Nσbin(i1− i 0 1, i2− i02, i3− i03) . (5.42)

On effectue ce calcul dans l’espace de Fourier :

Biliss´1i2ei3 = T F −1 3D h T F3D h Bi0₁i0₂i0₃ i × Nσ_kbin i , (5.43) o`u _Nσ_kbin = e −k2x+k 2 y +k2z σ2_{k , σ}

k = _2πσ1_bin, et kx, ky et kz sont les trois nombres d’ondes dans

l’espace de Fourier des bins.

Prise en compte des effets de bord dans le lissage

Pour effectuer le lissage dans l’espace de Fourier, on utilise des FFT (Fast Fourier Trans- form : transform´ee de Fourier rapide) discr`etes. Pour ´eviter les effets de repliement aux bords, il faut faire de la compl´etion de z´ero (cf. par exempleGonzalez et Woods[1992]). Cela revient `a encadrer notre bispectre `a transformer par des matrices de mˆeme dimen- sion (N3

bin), emplies de z´ero.

Ceci ne suffit pas cependant `a corriger des effets de bord caus´es par l’irr´egularit´e des limites du domaine de d´efinition du bispectre (cf. figure3.9). Il y a un biais `a la limite de d´efinition, dˆu au fait que la gaussienne s’´etend dans la partie “nulle” du bispectre lors du lissage. On peut corriger cet effet en apodisant le masque (i.e. 1 lorsque le bispectre est d´efini, sinon 0, cf. figure5.4) en 3 dimensions, avec la mˆeme proc´edure de lissage et en normalisant le bispectre liss´e, en divisant par ce masque apodis´e. On veut aussi que la distribution de chaque pixel apr`es lissage en l’absence de signal soit une gaussienne unitaire. On g´en`ere des nombres al´eatoires gaussiens dans le domaine de d´efinition du bispectre, et avec la mˆeme sym´etrie (par exemple Bi1i2i3 = Bi3i1i2, 6 rotations au total)

et on applique la proc´edure de lissage. On estime la variance surO(103_{) r´ealisations (cf.}

Figure 5.4 – Masquage et renormalisation du bispectre binn´e. On repr´esente ici une

coupe pour un bin donn´e de l’objet `a trois dimensions. A gauche, on a le domaine de

d´efinition du bispectre, entour´e de z´eros, au centre, ce masque apr`es lissage, qui nous

servira `a d´ebiaiser le bispectre liss´e, et `a droite, la variance estim´ee sur 1000 Monte-

Carlo ; on voit une variance plus grande pour le cas o`u les bins sont ´egaux, cf. termes

gi1i2i3, et sur les bords et les coins (on a retir´e les z´eros).

Tests sur un cas simplifi´e

On v´erifie visuellement figure5.5l’effet du lissage sur un cube de 323 variables al´eatoires gaussiennes, ainsi que dans un domaine de bispectre `a 32 bins de multipˆoles.

On voit que la distribution des bins est proche d’une gaussienne pour le cas non liss´e, comme pr´evu dans la section pr´ec´edente. Lorsqu’on lisse, la distribution s’´ecarte signifi- cativement de la gaussienne. On peut interpr´eter cela comme une diminution du nombre effectif de variables al´eatoires ind´ependantes dans la distribution.

Masque suppl´ementaire

Lors des premiers tests de lissage, certains bins avant lissage sortaient de la statistique, et modifiaient consid´erablement les r´esultats. Ces bins “d´efectueux” sont ceux qui ne contiennent que tr`es peu de multipˆoles valides.

Pour comprendre cet effet, on peut r´e-´ecrire, en omettant la correction lin´eaire :

Bi1i2i3 = P `1∈i1 P `2∈i2 P `3∈i3B`1`2`3 q P `1∈i1 P `2∈i2 P `3∈i3Var`1`2`3 = R dΩ Ti1(Ω)Ti2(Ω)Ti3(Ω) q P `1∈i1 P `2∈i2 P `3∈i3Var`1`2`3 (5.44)

Pour ces bins, les erreurs dues aux approximations de Healpix ne sont plus n´egligeables. En effet, on devrait avoir pour ces bins un num´erateur quasi nul, puisque dans la somme, on a tr`es peu de triplets valides. Cependant, le calcul est fait avec la d´efinition int´egrale, o`u les cartes filtr´ees sont obtenues avec Healpix, et l’int´egration est en fait une somme sur les pixels. La variance est quant `a elle calcul´ee exactement et le d´enominateur est donc effectivement n´egligeable. Typiquement, une centaine de triplets de bins doit alors ˆetre masqu´ee. Pour les bins o`u beaucoup de triplets de ` sont valides, les erreurs de Healpix sont compl`etement sous-dominantes. Nous avons d´ecid´e de masquer ces pixels (cf. figure5.7).

Figure 5.5 – ´Evolution de la statistique du bispectre liss´e avec la taille du noyau de lissage. On montre ici une coupe du cube liss´e (bin 18) ainsi que la distribution 1D

de tous les bins du bispectre, pour un cube de 323 _{bins, apr`es avoir liss´e `a diff´erentes}

longueurs. En dessous on montre la coupe d’une distribution gaussienne dans la r´egion d´efinie du bispectre pour le bin 14. On voit que pour un lissage important, la distribution

Figure 5.6 – ´Etapes du lissage, dans le cas de Smica, avec σbin= 2. 1 : le bispectre binn´e avant lissage. 2 : Compl´etion par z´ero. 3 : Bispectre apr`es lissage. 4 : On divise

par le masque liss´e, pour d´ebiaiser aux bords (cf. figure5.4). 5 : on applique le masque.

6 : On retire les z´eros de la compl´etion. 7 : Bispectre liss´e final, apr`es renormalisation en divisant par la variance estim´ee.

Figure 5.7 – Masque suppl´ementaire pour le lissage. L’´echelle de couleur de 0 `a 1

repr´esente le rapport nombre de triplets ne respectant pas l’in´egalit´e triangulaire sur nombre de triplets valides. Les bins en vert sont ceux qui on ´et´e masqu´es.

5.5

Conclusion

Dans ce chapitre, on a introduit l’estimation optimale du param`etre fN L, ainsi que

la correction lin´eaire, qui permet de prendre en compte la rupture de l’invariance par rotation, provoqu´ee par exemple par le bruit anisotrope ou le masquage des parties contamin´ees du ciel. On a ensuite pr´esent´e diff´erentes impl´ementations de cet estimateur optimal, en particulier la m´ethode du bispectre binn´e, bas´ee sur la supposition que le bispectre est lisse `a l’´echelle des pics acoustiques. Puis on a introduit la m´ethode de lissage de ce bispectre, qui permet l’´etude directe du signal bispectral.

On verra dans les chapitres suivants qu’`a l’aide de la m´ethode du bispectre liss´e, on peut mesurer le bispectre des diff´erents avant-plans non-gaussien, ou des effets syst´ematiques au niveau des cartes, pour avoir une intuition de leur effet sur la mesure des non- gaussianit´es. On pourrait alors se servir de ces estimations pour d´etecter la pr´esence de r´esidus dans les cartes nettoy´ees. On peut en premi`ere approche masquer des r´egions multipˆolaires pollu´ees, ou dans une approche plus ´evolu´ee, si notre mod´elisation des avant-plans le permet, cr´eer un mod`ele observationnel du signal bispectral de ces conta- minants. Cela permettrait de d´ebiaiser ou de marginaliser sur ces signaux. On peut alors imaginer une m´ethode de s´eparation de composantes incorporant l’information sur le signal bispectral.

Tests, Validation et R´esultats

L’estimateur binn´e introduit au chapitre pr´ec´edent permet th´eoriquement une r´eduction des calculs sans perdre l’optimalit´e par rapport `a l’estimateur saturant la bande de Cramer-Rao. Dans ce chapitre, on va introduire les sp´ecificit´es de l’estimateur binn´e utilis´e dans Planck Collaboration [2013i], son application aux donn´ees et la validation des r´esultats obtenus. Pour cela, on montre les tests sur les syst´ematiques effectu´es pendant cette th`ese, sur les simulations et les donn´ees.

6.1

Estimateur binn´e utilis´e pour l’analyse des donn´ees du

satellite Planck

Au sein de la collaboration, plusieurs estimateurs optimaux de fN L ont ´et´e utilis´es (cf.

section 5.2.4), ce qui permet de faire des validations crois´ees, ainsi que d’utiliser les avantages de chacun de ces estimateurs.

Dans cette section, on d´etaille quelques sp´ecificit´es de l’impl´ementation du bispectre binn´e utilis´e dans Planck Collaboration[2013i]. Le principe du calcul binn´e est r´esum´e figure6.5. L’algorithme a ´et´e principalement impl´ement´e par Bartjan van Tent et Martin Bucher pour les travaux publi´es dansBucher et al.[2010], avec des am´eliorations et des extensions d´evelopp´ees durant cette th`ese.