5.2 Application ` a des donn´ees “imparfaites”
5.2.4 Impl´ementations de l’estimateur optimal
On voit dans l’expression (5.8), qu’il faut calculer O(l5
max) termes, c’est-`a-dire `a la
r´esolution de Planck, O(1015) termes.
En travaillant dans l’espace harmonique, (5.12), c’est le calcul des int´egrales de Gaunt qui rend aujourd’hui ce calcul inaccessible, mˆeme avec les super-ordinateurs actuels. Dans l’espace r´eel, (5.8), la limite est impos´ee par le nombre de cartes filtr´ees (3.40) `a produire, stocker en m´emoire, multiplier et int´egrer.
Une des limitations calculatoires r´eside dans l’inversion de la matrice de covariance dans la partie cubique de l’estimateur (5.15). On fait alors l’approximation que cette matrice
est diagonale1. L’estimateur avec correction lin´eaire, donn´e par [Creminelli et al. 2006], est alors : ˆ fN L = 1 N X `i,mi G`1`2`3 m1m2m3b th `1`2`3 C`1C`2C`3 [a`1m1a`2m2a`3m3 − 3C`1m1,`2m2a`3m3] . (5.19)
La correction lin´eaire ´equivaut donc `a mesurer la corr´elation entre la carte observ´ee et les anisotropies du spectre de puissance et `a la retirer de l’estimateur. Les r´egions les plus observ´ees auront un spectre anisotrope moins fort (moins de bruit) et moins de variations, la correction lin´eaire y est donc moins forte.
Avec la notation B``` (3.39), cela revient `a remplacer B`Obs1`2`3 par B
Obs `1`2`3 − B Lin `1`2`3 dans (5.8), avec : BLin`1`2`3 = Z dΩ hT`Obs1 (Ω)hT`2(Ω)T`3(Ω)i + T Obs `2 (Ω)hT`1(Ω)T`3(Ω)i +T`Obs3 (Ω)hT`1(Ω)T`2(Ω)i i , (5.20)
L’estimateur de fN L(i) est finalement :
ˆ fN L(i) =X j Fij−1 X `1≤`2≤`3 B`Obs1`2`3− B`Lin1`2`3 B`th (j) 1`2`3 Var`1`2`3 . (5.21)
Cette simplification permet donc de calculer la partie cubique avec l’estimateur invariant par rotation, et appliquer la correction lin´eaire ensuite. Malgr´e cette simplification, ce calcul est impossible actuellement.
Plusieurs m´ethodes, qu’on va bri`evement introduire ici, ont ´et´e propos´ees pour palier `a ce probl`eme.
KSW
Cet estimateur, introduit par Komatsu, Spergel et Wandelt (KSW) [Komatsu et al. 2005], utilise une astuce sur la forme math´ematique de certains bispectres th´eoriques dans l’espace harmonique : la s´eparabilit´e. Les formes locales, orthogonales, ´equilat´erales, aplaties sont par exemple s´eparable. Pour dans le cas de la non-gaussianit´e locale, on peut ´ecrire le bispectre sous la forme :
1. Cette approximation peut ˆetre ´evit´ee, en filtrant les cartes par une convolution de Wiener, par exemple avec la m´ethode deElsner et Wandelt[2013], mais on verra au chapitre suivant une m´ethode plus simple par remplissage du masque a des performances ´equivalentes sur les donn´ees Planck [Planck Collaboration 2013i].
blocal`1`2`3 =
Z
r2dr [β(`1, r)β(`2, r)α(`3, r) + β(`1, r)β(`3, r)α(`2, r)
+ β(`2, r)β(`3, r)α(`1, r)] , (5.22)
o`u r est la distance comobile, α(`, r) = π2R dk k2∆
`(k)j`(kr) et β(`, r) = π2R dk k2PΦ(k)∆`(k)j`(kr)
[Yadav et Wandelt 2010b]. On d´efinit alors :
Scublocal= Z dr r2 Z A(Ω, r)B2(Ω, r)dΩ , (5.23) Avec A(Ω, r) =X `m α(`, r) a`mY`m(Ω) C` , (5.24) et B(Ω, r) =X `m β(`, r) a`mY`m(Ω) C` . (5.25)
La correction lin´eaire est alors donn´ee par :
Slin= −6
N Z
dr r2 Z
d2Ω [2hA(r, Ω)B(r, Ω)i B(r, Ω) + hB(r, Ω)B(r, Ω)i A(r, Ω)] ,
L’estimation devient alors fN L = S
cub+Slin
N , o`u N est le facteur de normalisation d´efini
pr´ec´edemment. Cette m´ethode permet donc d’´eviter la somme sur tous les triplets de ` en la r´eduisant en un produit de trois sommes sur `. Le principe est le mˆeme pour les autres formes s´eparables : pour les formes primordiales, on peut se rapporter `a Yadav et Wandelt [2010b], et pour le lentillage-SWI, `a Mangilli et al. [2013]. La limite de cet estimateur r´eside dans le fait que tous les bispectres ne sont pas s´eparables, cependant, les formes locale, ´equilat´erale et orthogonale introduites au chapitre 2 sont s´eparables et permettent de caract´eriser la plupart des bispectres.
Estimateur Modal
Fergusson et Shellard[2007] ont introduit un estimateur qui r´esout ce probl`eme de non-
s´eparabilit´e en choisissant une base compl`ete de modes s´eparablesQ , dans laquelle on peut d´ecomposer n’importe quel bispectre th´eorique.
b`1`2`3
pC`1C`2C`3
=X
i,j,k
o`u
Qijk(`1, `2, `3) =
1
6[qi(`1)qj(`2)qk(`3) + qj(`1)qi(`2)qk(`3) + perm. cycl. en i,j,k] . (5.27)
Les qi(`) forment une base de fonctions calcul´ees `a une r´esolution donn´ee. Le param`etre
fN L est ensuite calcul´e en utilisant la m´ethode KSW On perd cependant l’optimalit´e
puisqu’on doit choisir une coupure dans la pr´ecision de la d´ecomposition. Avec un nombre arbitrairement grand de modes, on tend vers l’optimalit´e, mais on perd alors le gain en calcul. En choisissant bien la base de d´ecomposition, il est en g´en´eral possible d’´etudier de nombreuses formes de bispectres en gardant une corr´elation de plus de 99% avec le bispectre optimal. Les coefficients correspondant au bispectre observ´e, dans la base choisie, permettent de reconstruire la projection de ce bispectre dans cette base.
Estimateur binn´e
Dans le cas de l’estimateur binn´e [Bucher et al. 2010], qui sera d´evelopp´e dans la section suivante, la r´eduction du nombre de calculs est faite par compression des donn´ees, en binnant dans l’espace des multipˆoles, dans l’hypoth`ese que le bispectre est suffisamment lisse. On calcule alors fN L directement avec la somme multiple (5.8). Un avantage de
cette m´ethode est qu’on a une mesure directe du bispectre binn´e, qu’on va pouvoir explorer de fa¸con non param´etrique.
Un autre estimateur utilisant la compression de donn´ees, bas´e sur une d´ecomposition en ondelettes `a chapeau mexicain a aussi ´et´e introduit, dont on peut trouver une description dansCurto et al.[2009].
Autres estimateurs
Les skew -C`, introduits parMunshi et Heavens[2010] sont une extension de l’estimateur
KSW. Dans un des termes de (5.23), la d´ependance en ` est conserv´ee en ne sommant pas sur ` dans (5.24) ou (5.25). On peut alors ´etudier de quels multipˆoles vient le signal bispectral.
Les fonctionnelles de Minkowski, qui servent `a d´ecrire la morphologie de r´egions au dessus d’un certain seuil de temp´erature, peuvent ˆetre utilis´ees pour contraindre la non- gaussianit´e. Elles sont d´efinies dans l’espace r´eel, ce qui rend par exemple l’effet du masque beaucoup plus simple `a traiter. Elles sont sensibles `a tous les ordres de non- gaussianit´e, ce qui a l’avantage de permettre une contrainte du signal trispectral, mais l’inconv´enient de rendre l’estimation bispectrale sous optimale [Ducout et al. 2013]. Leur d´ependance en fonction des signaux primordiaux et secondaires est diff´erente de celles des estimateurs bispectraux, l’information peut donc par exemple servir de test suppl´ementaire sur l’impact des avant-plans.