Dans cette section, on pr´ecise les m´ethodes utilis´ees pour le calcul des distances, des s´eparations angulaires, les coupures appliqu´ees aux donn´ees, ainsi que le calcul des er- reurs.
Figure 8.4 – R´epartition spatiale en coordonn´ees galactiques des galaxies du relev´e BOSS (CMASS et LOW-Z : 1009159 galaxies).
Figure 8.5 – Histogramme des d´ecalages spectraux des galaxies. En bleu pour tout
le catalogue. En vert, le relev´e CMASS : les d´ecalages spectraux sont principalement entre 0.4 et 0.8, avec en moyenne z = 0.55.
8.5.1 Calcul des distances
Pour une cosmologie donn´ee, on obtient la distance comobile d’une galaxie `a un d´ecalage spectral z : ηc= Z z 0 dz0 H(z0), (8.15)
o`u H(z) = H0pΩm(1 + z)3+ Ωk(1 + z)2+ ΩΛ. On a la position angulaire pr´ecis´ement
avec BOSS. On calcule alors la distance relative entre deux galaxies. On a utilis´e la cosmologie Planck 2013. On choisit ici de binner l’estimateur en 20 intervalles de 0 `a 200 Mpc : la moyenneh.i de la formule (8.1) devient alors une moyenne sur l’ensemble des paires dans ce bin.
Figure 8.6 – Histogramme 2D dans le plan (g-r,i) pour les galaxies BOSS, en fonction de z. L’´echelle de couleur donne le nombre de galaxies dans le bin en 2D. Plus g-r est grand, plus la galaxie est rouge, et plus i est fort, moins la galaxie est brillante dans cette bande. On voit clairement deux populations, une `a bas z, qui devient de plus en plus rouge et att´enu´ee lorsque z augmente (LOWZ), et une qui semble ind´ependante
de z, moins brillante et plus distante (CMASS).
Pour le calcul du coefficient cij, on obtient l’angle θ en utilisant la formule de Vicenty
[Vincenty 1975], mieux adapt´ee pour le calcul num´erique :
θ = tan−1 √A + B C , (8.16) avec A = (cos(δ2) sin(α2− α1))2 (8.17)
B = (sin(δ2)− sin(δ1) cos(δ2) cos(α2− α1))2 (8.18)
C = sin(δ1) sin(δ2) + cos(δ1) cos(δ2) cos(α2− α1) , (8.19)
o`u α et δ sont l’ascension droite et la d´eclinaison, en coordonn´ees ´equatoriales.
8.5.2 Coupure en z et en distance angulaire
Le calcul de ˜pkSZ(r) (8.10) pour 106 galaxies fait intervenir C102 6 = 10 6!
2!(106−2)!) ≈ 1011
couples. Le calcul prendrait alors un temps inutilement long. On s’attend `a avoir un signal qui d´ecroit avec la distance relative entre les amas. On va alors faire une coupure en z et en distance angulaire pour le calcul de l’estimateur, en gardant tous les couples de galaxies `a une distance de moins de 200 Mpc. Figure8.7on v´erifie les coupures utilis´ees
pour nos r´esultats : on ne calcule ˜pkSZ que pour des galaxies ayant un ∆z < 0.1, et une
s´eparation angulaire Ω < 4 × z−0.9 degr´es.
Figure 8.7 – Coupures en z et en distance angulaire. La courbe pleine repr´esente la
distance d’une galaxie `a z + 0.1 par rapport `a une galaxie `a z `a une mˆeme position
angulaire. La courbe grise pour z− 0.1, et la courbe pointill´ee est pour deux galaxies `a
z fixe, s´epar´ees de Ω = 4 × z−0.9degr´es.
8.5.3 Calcul des erreurs et corr´elation des bins
Le bruit de notre estimateur peut ˆetre calcul´e de deux mani`eres. La premi`ere est d’ap- pliquer ˜pkSZ `a des positions “al´eatoires” sur le ciel. Pour cela, on fait tourner la carte
Smica autour de l’axe Nord-Sud dans les coordonn´ees galactiques. On tourne le ciel de 3.5 degr´es `a chaque it´eration, et `a la centi`eme rotation, on inverse les coordonn´ees Nord/Sud. On a v´erifi´e que l’angle ´etait suffisant pour qu’une galaxie apr`es rotation soit toujours `a plus de 10 minutes d’arc de la galaxie d’origine (cf. figure8.8). L’´ecart type des mesures des simulations donne la barre d’erreur `a 1σ pour chaque point de mesure.
Cette m´ethode d’estimation des erreurs suppose que le bruit est homog`ene sur la carte. On a vu que ce n’´etait pas le cas en section 5.2.2. Aux ´echelles s´electionn´ees par notre filtrage adapt´e (`≈ 2000), le CMB et le bruit participent autant `a la puissance. ´Etant donn´e que le relev´e BOSS se trouve principalement dans les zones les plus bruit´ees de Planck, on sous-estime quelque peu nos erreurs.
On estime ensuite la matrice de covariance des bins :
Covij =h(˜pkSZ(ri)− h˜pkSZ(ri)i) ∗ (˜pkSZ(rj)− h˜pkSZ(rj)i)i , (8.20)
Figure 8.8 – Rotation du ciel pour l’estimation des erreurs. Ici, on repr´esente les 20
premi`eres rotations du ciel. A la centi`eme rotation, on ´echange les pˆoles nord et sud et
on refait 100 rotations.
La matrice de corr´elation est donn´ee par :
Corrij =
Covij
pCoviiCovjj
. (8.21)
8.5.4 Test de nullit´e et ajustement de mod`ele
Une fois qu’on a obtenu nos mesures de ˜pkSZ et qu’on a estim´e les erreurs comme ex-
pliqu´e pr´ec´edemment, on peut s’int´eresser au test de nullit´e, pour mettre en ´evidence la d´etection de l’effet kSZ. On va calculer le χ2 :
χ2(Nbin) = ˜pTkSZCov−1p˜kSZ, (8.22)
o`u Nbinest le nombre de bins utilis´es dans le calcul du χ2. On obtient ensuite la valeur-p,
qui correspond `a la probabilit´e, pour une absence de signal, d’obtenir un χ2 sup´erieur
ou ´egal `a celui obtenu dans les donn´ees :
valeur-p(Nbin) = Z ∞ χ2 obs(Nbin) dx χ2(x, Nbin) , (8.23) o`u χ2(x, N
bin) est la distribution de χ2 `a Nbin degr´es de libert´e.
On peut aussi caract´eriser ce signal en le comparant `a un signal th´eorique pr´edit `a partir de simulations. Les simulations, que l’on d´ecrit dans la section suivante, nous permettent d’avoir acc`es `a la forme du signal. On va ajuster notre signal en laissant l’amplitude libre, et donc r´eduire le nombre de degr´es de libert´e de notre χ2 :
o`u a est l’amplitude `a ajuster du mod`ele. On minimise alors ce χ2, on trouve le meilleur ajustement de a, et on calcule ∆χ2 = χ2 − χ2
min. On peut trouver les intervalles de
confiance, en calculant les quantiles de la distribution. Pour un seul param`etre ajust´e, on a par exemple l’erreur `a nσ pour ∆χ2 = n2.