1.3 Le front du mouvement brownien branchant
1.3.2 Les fluctuations du front du mouvement brownien branchant
−−−→ n→∞ 1 σ3 r2 πZ∞, et, pour tout F ∈ Cb(D([0, 1])),
1 f Wβn,n X |u|=n e−βnX(u)F X(ubsnc) σ√n , s ∈[0, 1] ! (P∗) −−−→ n→∞ E[F (e)],
où e est l’excursion brownienne standard sur[0, 1]. En outre, pour tout ε > 0, il existe C > 0 tel que, pour n suffisamment grand, on ait
P∗
Gβn,n
|u|= n : X(u) ∈32log n + C
βn−1,32log n + C βn−1 > 1 − ε > 1 − ε. Ce résultat décrit précisément la modification d’ordre de grandeur pour la fonction de partition entre les phases critique et sur-critique, ainsi que le changement de position des particules y contribuant.
La fenêtre presque-critique dans le régime faiblement désordonné. Le dernier cas est celui où 1 − βn n−1/2. Alors, βn tend suffisamment lentement vers 1 par valeurs inférieures pour que l’on retrouve les comportements du cas sous-critique : le drift −Ψ0(βn) subi par les particules tirées selon Gβn,n n’est plus négligeable car −Ψ0(βn)n ∼ σ2(1−βn)n √
n. La trajectoire est donc brownienne autour de la droite de pente −Ψ0(βn). Mais comme cette pente tend malgré tout vers 0, la barrière en −L a un impact sur le début de la trajectoire (pendant une durée d’ordre (1−βn)−2) et le coût de cette contrainte ajoute un facteur (1−βn) à la fonction de partition par rapport au cas sous-critique.
Théorème 1.3.3. Sous certaines hypothèses d’intégrabilité, si (βn−1)√n → −∞ quand n → ∞, alors on a les convergences suivantes
e−nΨ(βn) 1 − βn f Wβn,n (P ∗) −−−→ n→∞ 2Z∞, et, pour tout F ∈ Cb(D([0, 1])),
1 f Wβn,n X |u|=n e−βnX(u)F X(ubsnc) + snΨ0(βn) σ√n , s ∈[0, 1] ! (P∗) −−−→ n→∞ E[F (B)], où B est le mouvement brownien standard sur [0, 1].
1.3.2 Les fluctuations du front du mouvement brownien branchant
Cette section contient les résultats établis dans les articles [MP18, MP19] co-écrits avec Pascal Maillard et présentés dans les Chapitres 3 et 4.
Motivations. Différents travaux en littérature physique se sont consacrés à la recherche de fluctuations universelles dans le comportement asymptotique de certains systèmes de parti-cules. Un des exemples les plus célèbres sont les prédictions de Ebert et van Saarloos [Ev00] concernant la position du front des solutions des équations de réaction-diffusion. Par exemple, si u est une solution de l’équation F-KPP (1.22) avec une condition initiale décroissant suffi-samment vite en +∞, alors le front à l’instant t se trouve en
βcσ2t − 3 2βc log t + c1−√c2 t+ o√1 t , (1.26)
où la constante c1 dépend de la condition initiale mais pas la constante c2. Ce résultat a récemment été démontré par Nolen, Roquejoffre et Ryzhik [NRR16] et amélioré par Graham [Gra17], voir aussi la nouvelle approche (non rigoureuse) de [BBD18].
Motivés par la chromodynamique quantique, Mueller et Munier [MM14] se sont intéressés aux fluctuations apparaissant dans le front du mouvement brownien branchant : en s’appuyant sur un scénario phénoménologique pour l’évolution du front, ils formulent des conjectures concernant les fluctuations de p
πt/2Wt et Zt autour de leur limite Z∞. La loi de la limite de la martingale dérivée Z∞ dépend de la loi de reproduction de manière non-explicite, mais les fluctuations sont universelles. En outre, ils se servent de ce calcul pour retrouver le terme correctif de Ebert et van Saarloos.
Résultats. Les théorèmes qui vont suivre établissent rigoureusement les prédictions de Mueller et Munier [MM14] concernant la martingale additive critique et la martingale dérivée. Nous avons vu que la martingale dérivée est la bonne quantité à considérer pour décrire le front du mouvement brownien branchant et c’est également plus simple d’obtenir les fluctuations de Zt plutôt que celles de la martingale additive critique.
Pour la martingale dérivée, le deuxième terme du développement asymptotique est d’ordre (log t)/√t, mais on peut considérer ce terme comme déterministe car il ne dépend que de Z∞. Les vraies fluctuations en loi apparaissent à l’ordre 1/√t:
√ t Z∞− Zt+√log t 2πtZ∞ (loi) −−−→ t→∞ SZ∞,
où S = (Sr)r>0 est un processus de Lévy 1-stable spectralement positif indépendant de Z∞. Plus précisément, le résultat obtenu est une convergence fonctionnelle conditionnellement à Ft, ce qui permet d’identifier le fait que, dans la limite SZ∞, l’instant Z∞dépend de ce qui a lieu avant l’instant t mais pas le processus S.
Théorème 1.3.4. Si E[L(log+L)3] < ∞, alors les lois fini-dimensionnelles conditionnelles de(√t(Z∞−Zat+√log t
2πatZ∞))a>1 sachantFtconvergent faiblement en probabilité vers les lois fini-dimensionnelles conditionnelles de(SZ∞/√
a)a>1 sachant Z∞, où(Sr)r>0 un processus de Lévy 1-stable spectralement positif indépendant de Z∞.
Pour Wt, le fait que ce soit une martingale ne semble pas faciliter l’étude de ses fluctuations et notre approche permet de calculer les fluctuations pour toute la famille des Wt(g) décrivant la position typique d’une particule sous la mesure de Gibbs critique6 : rappelons que l’on a défini, pour g : R → R, Wt(g) := X u∈N (t) g X√u(t) t e−Xu(t), t > 0.
6. Dans le Chapitre 4, nous travaillerons plutôt sous la mesure de Gibbs dérivée car elle ne nécessite pas de renormalisation par√
t et cela facilite légèrement les calculs. Mais le théorème présenté ici est une conséquence directe du Théorème 4.1.1.
Alors, le résultat suivant décrit les fluctuations qui ont lieu dans la convergence (1.16) de √
tWt(g) pour des fonctions g suffisamment régulières.
Théorème 1.3.5. Supposons E[L2] < ∞. Soit g : R → R une fonction deux fois dérivable sur (0, ∞) et M un méandre brownien standard. Supposons qu’il existe C > 0 tel que, pour tout x >0, g00(x) 6 CeCx. Alors, on a
√
t √tWt(g) −
r
2
πE[g(M1)]Z∞− E[g0(M1)]√log t 2πtZ∞ ! (loi) −−−→ t→∞ SZg∞, où (Sg
r)r>0 est un processus de Lévy 1-stable indépendant de Z∞, dont les paramètres s’ex-priment en fonction de g.
L’hypothèse E[L2] < ∞ n’est pas nécessaire pour avoir ce résultat, mais permet de sim-plifier la démonstration qui est assez technique. La condition optimale est probablement E[L(log+L)3] < ∞ comme dans le Théorème 1.3.4. En outre, la méthode utilisée permettrait également d’obtenir une convergence fonctionnelle analogue à celle du Théorème 1.3.4.
En considérant le cas de la fonction g ≡ 1, on obtient les fluctuations pour la martingale additive, énoncées dans le corollaire suivant. Dans ce cas, le terme en (log t)/√tdisparaît et la loi limite 1-stable est en fait une loi de Cauchy.
Corollaire 1.3.6. Supposons E[L2] < ∞. Alors, on a √ t √tWt− r2 πZ∞ ! (loi) −−−→ t→∞ Z∞C, où C est une variable aléatoire de Cauchy indépendante de Z∞.
Méthode. L’approche utilisée pour démontrer ces résultats n’est pas directement celle suggérée par Mueller et Munier [MM14]. Le point clé est d’identifier le comportement des particules responsables de ces fluctuations : ce sont celles qui créent les fluctuations d’ordre logarithmique dans la position du minimum du BBM en descendant exceptionnellement bas, voir (1.12). On va donc considérer une barrière à un niveau γt := 1
2log t + βt avec βt qui tend lentement vers +∞. Mais ici les particules qui sont tuées en touchant la barrière ne sont pas négligeables : au contraire, ce sont les contributions de leur descendance qui créent les fluctuations.
Pour les fluctuations de Zt, on introduit la barrière au niveau γt sur [t, ∞). Alors, avec cette barrière tueuse, le comportement du front du mouvement brownien branchant sur [t, ∞) devient déterministe (à un facteur Z∞ près) à l’échelle qui nous intéresse. Pour obtenir les fluctuations, il suffit alors de calculer la somme des contributions à Z∞ des particules tuées. Mais ces contributions sont des copies indépendantes de e−γtZ∞ et la variable Z∞ est dans le domaine d’attraction d’une loi 1-stable (voir [BBS13]). Leur somme fait donc apparaître une loi 1-stable à la limite, après une compensation qui est fournie par le terme en (log t)/√t. Quand a grandit, seules les particules tuées sur [at, ∞) contribuent aux fluctuations de Z∞− Zat et on prend donc en compte de moins en moins de contributions, ce qui fait apparaître le processus de Lévy S.
Pour les fluctuations de Wt(g), on considère plutôt√tWt(g)−p
2/πE[g(M1)]Ztet on peut remplacer ensuite Zt par Z∞ grâce au Théorème 1.3.4. Cette fois-ci, on introduit la barrière au niveau γt sur [tα, t] avec α < 1 et on montre de nouveau que les fluctuations proviennent uniquement des contributions des particules tuées. Mais ici la loi d’une contribution dépend de l’instant où la particule est tuée. On montre donc d’abord une première version plus faible
du résultat donnant une borne supérieure de la vitesse de convergence de √tWt(g), que l’on applique ensuite aux contributions des particules tuées afin de contrôler leur loi et d’obtenir le résultat final.
La méthode développée dans ces articles semble pouvoir servir à aborder de futures ques-tions, dont une démonstration probabiliste du terme correctif de Ebert et van Saarloos ou d’une version légèrement différente portant directement sur les fluctuations apparaissant dans la position du minimum du mouvement brownien branchant. Cela concerne les particules ex-trémales plutôt que celles portant la mesure de Gibbs critique, mais nous avons vu que les particules extrémales à l’instant t proviennent des particules à une position d’ordre √t à l’instant at pour tout a ∈ (0, 1) donc ces questions sont sûrement liées.