Dans la section pr´ec´edente, nous avons d´ecrit les lois de comportement qui seront utilis´ees lors des simulations num´eriques. Pour simuler le comportement des crayons combustible sous irradiation, l’int´egration de la loi de comportement doit ˆetre coupl´ee `a une mod´elisation spatiale du crayon combustible.
Dans cette section, nous allons donc aborder les diff´erentes repr´esentations du combus- tible qui sont disponibles pour r´ealiser un calcul par la m´ethode des ´el´ements finis (not´e EF par la suite).
1.4.1 Repr ´esentation uni-dimensionnelle : 1D
La mod´elisation mono-dimensionnelle du crayon combustible est la mod´elisation actuel- lement utilis´ee dans les codes de calcul industriels tel que CYRANO3. Dans ce paragraphe,
nous allons rappeler les principales hypoth`eses sur lesquelles repose cette mod´elisation. Une description plus pr´ecise de cette mod´elisation est disponible dans [Garcia 01] et [Garcia 02].
L’objet ´etudi´e est compos´e d’une colonne de pastilles combustibles et de la gaine en vis- `a- vis. La discr´etisation axiale du crayon est r´ealis´ee `a partir de tranches qui repr´esentent ce qui se passe en moyenne sur plusieurs pastilles (voir FIG. 1.12).
Les principales hypoth`eses m´ecaniques sur lesquelles se basent la mod´elisation mono- dimensionnelle sont les suivantes :
– le crayon combustible poss`ede une sym´etrie de r´evolution ce qui conduit `a utiliser une description 1D axisym´etrique du milieu continu compos´e de la pastille et de la gaine. – dans la direction axiale du crayon, ce dernier est mod´elis´e en d´eformations planes
g´en´eralis´ees. Puisque nous sommes en 1D axisym´etrique, il n’y a qu’un seul degr´e de libert´e : la d´eformation axiale (qui doit ˆetre la mˆeme pour tous les points).
Ces hypoth`eses cin´ematiques imposent des restrictions sur le champ de d´eplacement ad- missible :
u(r, θ, z) ≈ u(r)er+ εzz.zez
L’ensemble de ces hypoth`eses conduisent `a repr´esenter la tranche axiale du crayon com- bustible par deux segments de droites : un pour la pastille combustible et un pour la gaine. Chaque ´el´ement repr´esente en quelque sorte un anneau de la structure.
Le contact entre la pastille et la gaine est trait´e par une condition de non-interp´en´etration qui signifie que le rayon externe de la pastille combustible est toujours inf´erieur ou ´egal au rayon interne de la gaine. Lorsqu’il y a contact entre la pastille et la gaine, on suppose qu’il y a une forte interaction entre le reste de la colonne combustible frottant sur la gaine et la tranche de pastille courante. Pour mod´eliser cette interaction, on impose une condition dite de solidarisation traduisant le fait que la pastille et la gaine ont dor´enavant le mˆeme d´eplacement axial (voir FIG. 1.13).
Cette interaction montre qu’en l’absence de contact entre la pastille et la gaine, les degr´es de libert´e des deux plans sont ind´ependants ce qui traduit le fait que les efforts transmis au
Un e tr an ch e axi al e Combustible Gaine ⇒ Mod ´elisation 1D En1D, un ´el´ement = un « anneau »
subdivisions de la pastille en anneaux subdivisions d’un rayon en ´el´ements1D Repr´esentation 1D
de la pastille
Coupe transversale de la pastille
a) b)
FIG. 1.12 – Mod´elisation 1D du crayon combustible. a) D´ecoupage du crayon en tranches axiales. b) ´Equivalence entre un ´el´ement fini1D et une structure.
∆UZ G ∆UZ P ∆U Z G ∆UZ P ouvert Pastille−Gaine Jeu consideree Tranche Pastille−Gaine Jeu ferme jeu jeu
reste de la colonne combustible ne sont pas repris par la gaine. Lorsque le jeu entre la pastille et la gaine est ferm´e, la condition cin´ematique correspond `a une solidarisation des deux plans traduisant un encastrement d ˆu au frottement de la colonne combustible sur la gaine.
A partir de la repr´esentation mono-dimensionnelle pr´esent´ee, il est possible de repr´esenter un crayon sur toute sa hauteur. En effet, le crayon combustible peut se d´ecouper en plusieurs tranches axiales qui auront une puissance lin´eique diff´erente entre elles. D’un point de vue m´ecanique, ces tranches axiales sont coupl´ees par le bilan axial des forces (poids des tranches se trouvant au-dessus, effet de la pression interne du crayon ou effet de la condi- tion de solidarisation des tranches voisines). Pour parler de cette possibilit´e de d´ecrire les ph´enom`enes intervenant `a diff´erentes cotes axiales, il est d’usage de parler de mod´elisation 1,5D.
1.4.2 Repr ´esentation tri-dimensionnelle : 3D
Il existe ´egalement une repr´esentation tridimensionnelle d’un fragment de pastille com- bustible comme le montre la FIG. 1.14. Pour des raisons de clart´e, le chanfrein de la pastille n’a pas ´et´e repr´esent´e sur la FIG. 1.14 a). De plus, la partie du fragment de pastille repr´esent´e
poss`ede deux plans de sym´etrie (la face arri`ere et la face du dessus). Ainsi, on ne repr´esente qu’un quart d’un fragment.
p1 plan de frac- turation inter- fragments plan de sym´etrie au centre du frag- ment a) b)
FIG. 1.14 – a) Domaine repr´esentant le crayon combustible dans une mod´elisation 3D. b) Maillage utilis´e
La face du dessus repr´esente le plan m´edian-pastille tandis que la face du dessous repr´esente le plan inter-pastilles. Par hypoth`ese, le plan inter-pastilles est suppos´e rester fixe au cours du temps. Ce plan est le lieu de contact entre la pastille consid´er´ee et sa voisine. Ces deux pastilles ne peuvent s’interp´en´etrer. La gaine ´etant continue au niveau de ce plan, son d´eplacement axial y est nul. Le plan m´edian-pastille, quant `a lui, d´ecrit la fronti`ere entre la moiti´e de pastille d´ecrite et son sym´etrique. Afin de d´ecrire la dilatation de la pastille, ce plan se d´eplace axialement de mani`ere uniforme. Ce d´eplacement uniforme est appel´e mouvement d’ensemble. Un mouvement d’ensemble similaire est possible pour l’ensemble des points de
la gaine situ´es dans le plan m´edian-pastille. Ces mouvements d’ensemble sont les pendants en3D de la condition de d´eformations planes g´en´eralis´ees adopt´ee dans une mod´elisation 1D d´ecrite pr´ec´edemment.
Ces deux mouvements d’ensemble (celui de la pastille et celui de la gaine) sont ind´ependants tant que le contact pastille-gaine n’a pas lieu. Ce contact est pris en compte par une condition de non-interp´en´etration. Lorsqu’il y a contact, les deux mouvements d’en- semble sont li´es par une condition de solidarisation des plans m´edians comme dans le cas de la mod´elisation mono-dimensionnelle.
La mod´elisation 3D doit ´egalement d´ecrire le comportement orthoradial du fragment. Pour cela, deux plans particuliers sont identifi´es : le plan de sym´etrie au centre du frag- ment et le plan de fracturation entre le fragment ´etudi´e et son voisin. Au niveau du plan de sym´etrie au centre du fragment, les d´eplacements normaux sont nuls. Au niveau du plan de fracturation, on impose une condition de non-interp´en´etration avec le fragment voisin donc les d´eplacements normaux sont positifs.
Le frottement entre le fragment de pastille et la gaine est mod´elis´e par un mod`ele de COULOMBdont le coefficient de frottement a ´et´e fix´e `a0, 47 ([Brochard 01]). L’influence de ce
coefficient sur le comportement d’un crayon combustible a ´et´e ´etudi´ee par [Michel 05]. 1.4.3 Conclusions sur les mod ´elisations du combustible
Lors de cette section, nous avons d´ecrit les diff´erentes mod´elisations du combustible qui seront utilis´ees au cours de nos travaux. En plus des mod´elisations 1D et 3D, il existe une mod´elisation 2D que nous n’avons pas d´etaill´ee.
Au cours de la th`ese, nous avons utilis´e le mod`ele 3D pour avoir une approche d´etaill´ee donnant acc`es `a la triaxialit´e des contraintes dans la pastille afin de mieux ´evaluer le gon- flement gazeux et l’interaction avec la fissuration au sein du fragment. Le mod`ele 1D a ´egalement ´et´e utilis´e lors de la r´ealisation de nos d´eveloppements pour avoir des r´esultats avec un temps de calcul tr`es court.