6.2 Les m´ etriques quaternion-k¨ ahl´ eriennes aux voisinages des fron-
6.2.1 Les bords de Furstenberg
etant que cette vari´et´e de dimension r´eelle 4n+2 poss`ede en fait une structure presque complexe int´egrable et une structure de contact sur cette vari´et´e complexe. En 1989 Le Brun dans [LeB89] fournit la construction d’un espace quaternion-k¨ahl´erien `a partir d’un espace des twisteurs :
Th´eor`eme 62 (Le Brun) Soit N une vari´et´e complexe de contact de di-mension complexe 2n + 1 avec n ≥ 2, et soit σ : N → N une involution anti-holomorphe sans points fixes et respectant la structure de contact. Po-sons alors Mσ l’espace des courbes rationnelles σ-invariante dans N qui sont transverses `a la distribution de contact et ont pour fibr´e normal 2nO(1). Alors Mσ est naturellement une vari´et´e analytique r´eelle pseudo-riemannienne de dimension 4n et d’holonomie incluse dans Sp(1) · Sp(l, n − l) pour 0 ≤ l ≤ n.
Notons que dans les cas homog`enes M = G/K quaternion-k¨ahl´eriens, le groupe d’isotropie K peut s’´ecrire sous la forme ˜KSp(1) avec ˜K ⊂ Sp(n). Ainsi comme nous le voyons dans [Sal82], en choisissant une base standard (I, J, K) de Sp(1) et en notant U (1) ⊂ Sp(1) le sous-groupe engendr´e par I alors l’espace des twisteurs de G/K est l’espace homog`ene G/ ˜KU (1).
6.2 Les m´etriques quaternion-k¨ahl´eriennes
aux voisinages des fronti`eres de
Fursten-berg
Avant d’observer les m´etriques quaternion-k¨ahl´eriennes aux voisinages des fronti`eres de Furstenberg, nous allons commencer par d´efinir les bords de Furstenberg. Au passage nous allons voir une d´efinition des sous-alg`ebres paraboliques ´equivalente `a celle de la premi`ere partie et que nous utiliserons dans la suite de cette th`ese.
6.2.1 Les bords de Furstenberg
Soit X = G/K un espace sym´etrique de type non-compact avec G un groupe semi-simple et K ⊂ G un sous-groupe compact maximal. Notons g
l’alg`ebre de Lie de G et k celle de K. Partant d’un espace sym´etrique nous avons une involution de Cartan Θ donnant une d´ecomposition de Cartan
g= k ⊕ p,
avec k = {X ∈ g : Θ(X) = X} et p = {X ∈ g : Θ(X) = −X}. Avec cet outil suppl´ementaire les sous-alg`ebres paraboliques de g se r´ev`elent explicitement de la mani`ere suivante. Choisissons un sous-espace de Cartan a ⊂ p, c’est-`
a-dire un sous-espace ab´elien maximal dans p, nous avons alors un syst`eme de racine Φ = {α ∈ a∗ : α 6= 0, gα 6= 0} avec gα = {X ∈ g : ∀H ∈ a, [H, X] = α(H)X}, ainsi qu’une d´ecomposition en racine de g donn´ee par l’action adjointe ad(a) sur g :
g= m ⊕ a ⊕M
α∈Φ
gα,
avec m = z(a) ∩ k pour z(a) = {X ∈ g : ∀H ∈ a, [H, X] = 0} le centralisateur de a dans g. Choisissons `a pr´esent un sous-ensemble de racines positives Φ+ ⊂ Φ et notons ∆ les racines simples de Φ+. Maintenant, `a un sous-ensemble I de ∆ nous allons associer la sous-alg`ebre pI de g suivante : posons ΦI ⊂ Φ l’ensemble des combinaisons lin´eaires de I,
aI =T α∈Iker(α) , aI = a⊥I ∩ a , mI = m ⊕ aI⊕L α∈ΦIgα nI =L α∈Φ+−ΦIgα et n∗I =L α∈Φ−−ΦIgα,
l’orthogonal ´etant donn´e par la forme de Killing sur g. Nous pouvons `a pr´esent d´efinir notre sous-alg`ebre pI par
pI = mI⊕ aI⊕ nI.
Proposition 63 Ces sous-alg`ebres pI sont des sous-alg`ebres paraboliques de g.
Preuve de la proposition
L’ensemble des ´el´ements nilpotents de pI est l’id´eal nI. Soit `a pr´esent X ∈ aI, Y ∈ gα avec α ∈ Φ+∪ ΦI∪ {0} (ainsi Y ∈ pI), et soit Z ∈ gβ avec β ∈ Φ+− ΦI (ainsi Z ∈ nI). Alors comme ad(X) pr´eserve la forme de Killing, nous avons
0 = B(ad(X)(Y ), Z) + B(Y, ad(X)(Z)) = (α(X) + β(X))B(Y, Z). Or α(X) + β(X) 6= 0 car α(X) ≥ 0 et β(X) > 0, donc B(Y, Z) = 0. Ainsi nI ⊂ p⊥
I puis nous avons l’´egalit´e par dimension : le nilradical de pI est donc bien p⊥I ce qui signifie que pI est une sous-alg`ebre parabolique de g.
Remarquons que si nous avions fait d’autres choix de syst`emes de ra-cines (positives) alors nous aurions trouv´e de la mˆeme mani`ere d’autres sous-alg`ebres paraboliques de g mais isomorphes `a celles que nous avons trouv´ees ici.
Proposition 64 Soit q une sous-alg`ebre parabolique de g. Alors il existe un sous-espace de Cartan a de g vivant dans p = {X ∈ g : Θ(X) = −X}, un syst`eme de racines simples positives ∆ et un sous-ensemble I de ∆ tels que q= pI.
Preuve de la proposition
Soit q une sous-alg`ebre parabolique de g, prenons ∈ q un relev´e de l’´el´ement de graduation 0 associ´e `a q. Dans une base de g adapt´ee `a la d´ecomposition fournie par ce relev´e nous voyons clairement que ad() est diagonale et de valeurs propres r´eelles : est donc un ´el´ement hyperbolique de g. Nous pouvons alors le compl´eter pour obtenir une sous-alg`ebre de g commutative form´ee d’´el´ements hyperboliques et maximale pour ces propri´ e-t´es, c’est-`a-dire en un sous-espace de Cartan ˜a. Par d´efinition de l’´el´ement de graduation nous avons ˜a ⊂ g0. Or tout sous-espace de Cartan est conjugu´e `
a un sous-espace de Cartan inclus dans p = {X ∈ g : Θ(X) = −X} avec Θ l’involution de Cartan pr´ec´edente. Ainsi quitte `a conjuguer q par l’´el´ e-ment ad´equat, nous pouvons supposer que ˜a = a. Nous retrouvons alors la construction pr´ec´edente de la sous-alg`ebre parabolique q grˆace `a l’ensemble
ΦI := {α ∈ Φ : α() = 0}.
Faisons `a pr´esent quelques remarques sur cette d´efinition ´equivalente. Tout d’abord observons que p∆ = g et que p∅ = m ⊕ a ⊕ n est un parabolique minimal.
Observons ensuite que nous retrouvons bien la d´ecomposition gradu´ee de g induite par la sous-alg`ebre pI :
g= p−k ⊕ · · · ⊕ p−1⊕ p0 ⊕ p1 ⊕ · · · ⊕ pk,
avec p0 = mI⊕ aI et pi ´etant l’ensemble des gα pour α une racine de poids i dans Φ−ΦI. Concr`etement une racine β de Φ s’´ecrit comme une combinaison lin´eaire des racines simples ∆ : β = Σα∈∆xαα ; et une racine de poids i dans Φ − ΦI est une racine β telle que Σα∈∆−Ixα = i. Comme le crochet de Lie sur g envoie gα× gβ sur gα+β cette d´ecomposition est clairement gradu´ee.
`
A pr´esent que nous avons une sous-alg`ebre parabolique pI de g nous pouvons consid´erer le sous-groupe parabolique associ´e
PI := ∩k
i=−k{g ∈ G : Ad(g)(pi) ⊂ pi} avec pi = L
j≥ipj. Nous avons pour ce sous-groupe la d´ecomposition de Langlands PI = MIAINI avec AI = exp aI, NI = exp nI et MI le groupe de Lie correspondant `a l’alg`ebre de Lie mI. Avec cette d´ecomposition apparait un espace sym´etrique de type non-compact XI = MI/KI avec KI = K ∩ MI le sous-groupe compact maximal de MI. Notons BI = G/PI (' K/KI) la vari´et´e filtr´ee sous-jacente.
D´efinition 65 Les bords de Furstenberg de X = G/K sont d´efinis par FI = G/HI avec HI = KIAINI ⊂ PI.
Notre vari´et´e FI est naturellement fibr´ee de la mani`ere suivante : XI −→ FI −→ BI.
La compactification de Furstenberg de X est alors ¯
X = [
I⊂∆
FI.
Notons que F∆ = X.
Ces espaces FI apparaissent comme des bords de la vari´et´e sym´etrique X de la mani`ere suivante. Choisissant a+⊂ a une chambre de Weyl positive et notant areg l’ensemble des ´el´ements r´eguliers de a, le sous-groupe K∅ est ´egal au centralisateur de aI dans KI. Ainsi dans les coordonn´ees polaires ([Hel84, GJT98, p. 186]) nous avons l’isomorphisme KI/K∅ × aI
+ reg
→ XIreg donn´e par (k, a) 7→ k exp(a) avec XIreg un ouvert dense de XI. Regardant alors dans les coordonn´ees polaires de G/K, nous avons l’application surjective
K × KI/K∅× aI +
reg
× aIreg+ ' K × XIreg× aIreg+ −→ Xreg (k, x, a) 7−→ kx exp(a) qui induit l’isomorphisme
(6.2.1) FI× aIreg+ ' K/KI× XIreg × aIreg+ −→ Xreg
avec Xregun ouvert dense de X. Notre ´el´ement FIapparait donc bien comme un bord de X de codimension r−|I| avec r le rang de notre espace sym´etrique X. Ainsi lorsque I = ∅, X∅ se r´eduit `a un point et F∅ = B∅ est le bord de Furstenberg maximal. A contrario, lorsque I contient tous les ´el´ements de ∆ sauf un, alors AI est de dimension 1 donc FI est un vrai bord (au sens classique) de codimension 1 et XI est de rang r − 1.