Codiff´ erentielle et d´ ecomposition de Hodge

Revenons `a pr´esent `a notre probl´ematique. Nous recherchons une condi-tion de normalisacondi-tion pour les g´eom´etries paraboliques r´eguli`eres pour qu’`a une structure parabolique r´eguli`ere infinit´esimale soit associ´ee une unique connexion de Cartan. Pour ˆetre de nature g´eom´etrique, cette condition sur la courbure doit correspondre `a la requˆete d’avoir la courbure `a valeur dans un sous-fibr´e naturel de Λ2T<sup>∗</sup>M ⊗AM . Nous recherchons donc un P -sous-module de Λ(g/p)<sup>∗</sup> ⊗ g. La proposition pr´ec´edente semble nous indiquer que si nous passons aux gradu´es alors changer de connexion de Cartan r´eguli`ere dans la classe des connexion de Cartan induisant la mˆeme structure infinit´esimale ne change la courbure que par un terme inclus dans im(∂). Il s’agit alors de trouver un P₀-sous-module compl´ementaire `a im(∂) dans Λ<sup>2</sup>gr(g/p)<sup>∗</sup>⊗ gr(g). L’id´ee naturelle est alors de penser au noyau de l’application adjointe pour un produit scalaire donn´e. Ce sous-espace va en fait nous ˆetre fourni grˆace `a la th´eorie harmonique de Kostant.

4.2.2 Codiff´erentielle et d´ecomposition de Hodge

Contrairement `a notre diff´erentielle ∂ d´efinie sur gr(L(Λⁿ(T M ), AM )), nous pouvons naturellement d´efinir une codiff´erentielle sur l’espace non gra-du´e L(ΛnT M, AM ). Utilisant la forme de Killing nous avons les isomor-phismes g^∗ ' g et (g/p)∗ ' p⊥ qui nous permettent de d´efinir la codiff´ eren-tielle suivante.

D´efinition 44 Nous d´efinissons la codiff´erentielle de Kostant ∂^∗ : Λⁿ⁺¹(g/p)^∗ ⊗ g −→ Λⁿ(g/p)^∗ ⊗ g par (4.2.3) ∂^∗(Z0∧ . . . ∧ Zn⊗ A) = n X i=0 (−1)ⁱ⁺¹Z0∧ . . . ∧ ˆZi∧ . . . ∧ Zn⊗ [Zi, A] +^X i<j (−1)^i+j[Z_i, Z_j] ∧ Z₀∧ . . . ∧ ˆZ_i∧ . . . ∧ ˆZ_j ∧ . . . ∧ Z_n⊗ A

pour tout Z_i ∈ (g/p)∗ = p^⊥ et tout A ∈ g avec [ , ] le crochet de Lie sur g (ce qui est bien d´efini car p^⊥ ⊂ g).

Propri´et´e 45 1. La codiff´erentielle ∂^∗ pr´eserve la filtration de l’espace L(Λn+1g/p, g) et est homog`ene de degr´e 0.

2. La codiff´erentielle ∂^∗ est P -´equivariante.

Grˆace `a ces r´esultats nous avons une application induite

gr₀(∂^∗) : L(Λⁿ⁺¹gr(g/p), gr(g)) −→ L(Λⁿgr(g/p), gr(g))

qui est P₀-´equivariante. Finalement nous pouvons donc d´efinir sur l’espace L(ΛⁿT M, AM ) = G ×P L(Λⁿg/p, g) et sur l’espace gr(L(ΛⁿT M, AM )) = E ×_P0 L(Λn+1gr(g/p), gr(g)) les applications codiff´erentielles ∂^∗ (qui restent homog`ene de degr´e 0) et gr₀(∂^∗).

Preuve de la propri´et´e

1) Un ´el´ement d´ecomposable Z ⊗ A de (g/p)^∗⊗ g = p⊥⊗ g avec Z ∈ gi

pour un i > 0 et A ∈ gj pour un j ∈ {−k, . . . , k}, aura une homog´en´eit´e i + j : soit X ∈ g^l pour l < 0 alors

Z ⊗ A(X) = 0 si l ≥ −i + 1 c’est-`a-dire si X ∈ g⁻ⁱ⁺¹ = (gi)^⊥ ∈ gj si l ≤ −i.

L’´el´ement Z ⊗ A repr´esente donc une application g/p → g qui est (i + j)-homog`ene. De la mˆeme mani`ere si pour tout l ∈ {0, . . . , n} nous avons K_l∈ gⁱlavec i_l > 0 et A ∈ g^j pour j ∈ {−k, . . . , k}, alors l’´el´ement Z₀∧. . .∧Z_n⊗A repr´esente une application Λn+1g/p → g homog`ene de degr´e i<sub>0</sub>+ · · · + i<sub>n</sub>+ j. Mais alors d’apr`es la d´efinition de ∂^∗ et le fait que le crochet de Lie sur g est homog`ene de degr´e 0, nous avons que ∂<sup>∗</sup>(Z<sub>0</sub> ∧ . . . ∧ Z<sub>n</sub>⊗ A) repr´esente une application Λng/p → g homog`ene de degr´e i₀ + · · · + i_n+ j. Ainsi la

codiff´erentielle ∂^∗ pr´eserve bien la filtration de L(Λⁿ⁺¹g/p, g) et est homog`ene de degr´e 0.

2) Soit g ∈ P , Z₀, . . . , Z_n ∈ p⊥ et A ∈ g, le sous-groupe P agit sur Z₀∧ . . . ∧ Z_n⊗ A de la mani`ere suivante :

g · (Z₀∧ . . . ∧ Z_n⊗ A) = Ad(g)(Z₀) ∧ . . . ∧ Ad(g)(Z_n) ⊗ Ad(g)(A).

Ainsi

∂^∗(g · (Z₀∧ . . . ∧ Z_n⊗ A))

= ∂^∗(Ad(g)(Z₀) ∧ . . . ∧ Ad(g)(Z_n) ⊗ Ad(g)(A))

=

n

X

i=0

(−1)ⁱ⁺¹Ad(g)(Z₀) ∧ . . . ∧ ˆ()_i∧ . . . ∧ Ad(g)(Z_n) ⊗ Ad(g)([Z_i, A])

+^X i<j  Ad(g)([Zi, Zj]) ∧ Ad(g)(Z0) ∧ . . . ∧ ˆ()_i∧ . . . ∧ ˆ()_j∧ . . . . . . ∧ Ad(g)(Zn)  ⊗ Ad(g)(A) = g · ∂^∗(Z₀∧ . . . ∧ Z_n⊗ A). 

Remarquons que la codiff´erentielle gr₀(∂^∗) est d´efinie par la mˆeme formule

gr₀(∂^∗)(Z₀∧ . . . ∧ Z_n⊗ A) = n X i=0 (−1)ⁱ⁺¹Z₀∧ . . . ∧ ˆZ_i∧ . . . ∧ Z_n⊗ {Z_i, A} +^X i<j (−1)^i+j{Z_i, Z_j} ∧ Z₀∧ . . . ∧ ˆZ_i∧ . . . ∧ ˆZ_j ∧ . . . ∧ Z_n⊗ A

avec { , } le crochet de Lie sur gr(g). De la mˆeme mani`ere nous voyons donc que gr₀(∂^∗) est P -´equivariante.

D´efinition 46 Nous d´efinissons le Laplacien de Kostant par

 := ∂ ◦ gr0(∂^∗) + gr₀(∂^∗) ◦ ∂ : L(Λⁿgr(g/p), gr(g)) −→ L(Λⁿgr(g/p), gr(g)).

Ce Laplacien est P₀-´equivariant et d´efinit alors un Laplacien

La P₀-´equivariance de  provient simplement de celles de ∂ et de gr0(∂^∗). Dans la partie 3.3.1. du livre de ˇCap et Slov´ak [ ˇCS09, p. 340], ceux-ci construisent un produit scalaire de L(Λngr(g/p), V ), avec V une repr´ esenta-tion de dimension finie de gr(g), pour lequel la diff´erentielle ∂ et la codiff´ e-rentielle gr₀(∂^∗) sont adjoints.

Proposition 47 Soit g une alg`ebre de Lie semi-simple, p une sous-alg`ebre parabolique de g et  ∈ w une structure alg´ebrique de Weyl, c’est-`a-dire un relev´e dans p de l’´el´ement de graduation ₀ ∈ p/p⊥. Notons g = g−⊕ g₀⊕ g₊ = g−k ⊕ · · · ⊕ g_k la d´ecomposition de g qui en d´ecoule. Alors il existe un produit scalaire sur L(Λⁿg−, g) pour tout n de sorte que les op´erateurs ∂ : L(Λng−, g) → L(Λn+1g−, g) et gr₀(∂^∗) : L(Λn+1g−, g) → L(Λng−, g) soient adjoints.

Preuve de la proposition

Rappelons que pour une involution de Cartan σ sur g, la forme bilin´eaire h(X, Y ) = −B(X, σ(Y )) est un produit scalaire sur g avec B la forme de Killing sur g. Montrons que l’involution σ peut ˆetre choisie de sorte qu’elle se restreigne en un isomorphisme lin´eaire p^⊥ = g₊→ g− qui est exactement l’isomorphisme entre g₊ et g^∗₊' g₋ induit par h.

Soit σ une involution de Cartan. Dans une base de g adapt´ee `a la d´ e-composition fournie par notre structure alg´ebrique de Weyl, nous voyons clairement que ad() est diagonale et de valeurs propres r´eelles :  est donc un ´el´ement hyperbolique de g. Nous pouvons alors compl´eter cet ´el´ement pour obtenir une sous-alg`ebre de g commutative form´ee d’´el´ements hyper-boliques et maximale pour ces propri´et´es, c’est-`a-dire en un sous-espace de Cartan a. Par d´efinition de l’´el´ement de graduation nous avons a ⊂ g<sub>0</sub>. Or tout sous-espace de Cartan est conjugu´e `a un sous-espace de Cartan inclus dans {X ∈ g : σ(X) = −X}. Ainsi quitte `a conjuguer notre involution σ par l’´el´ement ad´equat, nous pouvons supposer que a ⊂ {X ∈ g : σ(X) = −X} et en particulier σ() = −. De cette mani`ere nous avons σ(g_i) = g−i pour tout i ∈ {−k, . . . , k} et donc l’isomorphisme pr´ec´edemment souhait´e.

Nous disposons ainsi d’un produit scalaire sur l’espace L(Λng−, g) pour tout n et l’isomorphisme F entre L(Λⁿg−, g), et L(Λⁿg₊, g^∗) induit par ce produit scalaire est donn´e par la formule

(F (φ)(Z₁, . . . , Z_n))(v) = h(v, φ(σ(Z₁), . . . , σ(Z_n))

pour φ ∈ L(Λⁿg−, g), Zi ∈ g+ et v ∈ g. V´erifions que ∂ et gr0(∂^∗) sont duaux pour ce produit scalaire. Soit φ₁ = Z₀ ∧ . . . ∧ Z_n ⊗ A ∈ L(Λn+1g−, g) et

φ₂ ∈ L(Λng−, g) alors h∂φ2, φ1i = (F (∂φ2)(Z0, . . . , Zn))(A) = h(A,Pn i=0(−1)iσ(Z_i) · φ₂(σ(Z₀), . . . , \σ(X_i), . . . , σ(Z_n)) +P i<j (−1)^i+jφ₂([σ(Z_i), σ(Z_j)], σ(Z₀), . . . , ˆ()_i, . . . , ˆ()_j, . . . , σ(Z_n))), d’apr`es l’expression (4.2.1). Or h(σ(X) · Y, Z) = −B([σ(X), Y ], σ(Z)) = B(Y, [σ(X), σ(Z)]) = B(Y, σ(X · Z)) = −h(Y, X · Z), donc h∂φ₂, φ₁i = Pn i=0(−1)i+1h(Z_i· A, φ₂(σ(Z₀), . . . , \σ(X_i), . . . , σ(Z_n))) + h^A,P i<j(−1)i+jφ₂ [σ(Z_i), σ(Z_j)], σ(Z₀), . . . , [σ(Z_i), . . . , . . . , \σ(Z_j), . . . , σ(Z_n)

= F (φ2)(gr0(∂^∗)φ1) = hφ₂, gr₀(∂^∗)φ₁i d’apr`es l’expression (4.2.3). 

Ainsi nous avons la d´ecomposition de Hodge suivante

Th´eor`eme 48 Soit g une alg`ebre de Lie semi-simple, p une sous-alg`ebre parabolique de g et  ∈ w une structure alg´ebrique de Weyl, c’est-`a-dire un relev´e dans p de l’´el´ement de graduation ₀ ∈ p/p⊥. Notons g = g−⊕ g₀⊕ g₊ la d´ecomposition de g qui en d´ecoule.

Alors pour tout n ≥ 0, nous avons la d´ecomposition de L(Λng−, g) en somme direct de P₀-sous-modules suivante

L(Λⁿg−, g) = im(gr₀(∂^∗)) ⊕ ker() ⊕ im(∂)

avec en plus ker(gr₀(∂^∗)) = im(gr₀(∂^∗)) ⊕ ker() et ker(∂) = ker() ⊕ im(∂).

Preuve du th´eor`eme

Soit ψ ∈ ker(gr₀(∂^∗)) ∩ im(∂), alors il existe φ ∈ L(Λ^∗g₋, g) tel que ∂φ = ψ. Or nous avons 0 = hgr₀(∂^∗)∂φ, φi = h∂φ, ∂φi car ∂φ = ψ ∈ ker(gr₀(∂^∗)) et donc ψ = ∂φ = 0. Nous en concluons que ker(gr₀(∂^∗)) ∩ im(∂) = {0}. De la mˆeme mani`ere nous montrons que ker(∂)∩im(gr₀(∂^∗)) = {0}. Comme ∂2 = 0,

im(∂) ⊂ ker(∂) et alors im(gr₀(∂^∗)) ∩ im(∂) ⊂ im(gr₀(∂^∗)) ∩ ker(∂) = {0}. Soit `a pr´esent φ ∈ ker(), alors ∂ ◦ gr0(∂<sup>∗</sup>)φ = −gr<sub>0</sub>(∂<sup>∗</sup>) ◦ ∂φ ∈ im(gr<sub>0</sub>(∂<sup>∗</sup>)) ∩ ker(∂) = {0}. Donc gr<sub>0</sub>(∂<sup>∗</sup>)φ ∈ im(gr<sub>0</sub>(∂<sup>∗</sup>)) ∩ ker(∂) = {0} et donc φ ∈ ker(gr<sub>0</sub>(∂<sup>∗</sup>)). De la mˆeme mani`ere, φ ∈ ker(∂) et nous avons ker() ⊂ ker(∂) ∩ ker(gr₀(∂^∗). L’inclusion r´eciproque est directe d’apr`es la d´efinition du Laplacien  et nous avons donc l’´egalit´e ker() = ker(∂) ∩ ker(gr0(∂<sup>∗</sup>)). Nous avons alors ker() ∩ (im(∂) ⊕ im(gr0(∂<sup>∗</sup>))) = {0} et nous disposons ainsi de la somme directe im(gr<sub>0</sub>(∂<sup>∗</sup>)) ⊕ ker() ⊕ im(∂). Il ne nous reste plus qu’`a montrer que cet ensemble est l’espace L(Λng−, g) dans sa totalit´e.

Notre Laplacien  se restreint sur im(∂) en un endomorphisme de im(∂) qui est bijectif car ker()∩im(∂) = {0}. Notons Q l’inverse de cette fonction. De la mˆeme mani`ere la restriction de  `a im(gr0(∂^∗)) est un automorphisme de im(gr₀(∂^∗)) dont nous notons R l’inverse. Alors soit φ ∈ L(Λⁿg−, g), cet ´

el´ement se d´ecompose comme ceci

φ = Rgr₀(∂^∗)∂φ + (φ − Rgr₀(∂^∗)∂φ − Q∂gr₀(∂^∗)φ) + Q∂gr₀(∂^∗)φ. Or Rgr₀(∂^∗)∂φ ∈ im(gr₀(∂^∗)), Q∂gr₀(∂^∗)φ ∈ im(∂) et

(φ − Rgr0(∂^∗)∂φ − Q∂gr₀(∂^∗)φ) = φ − gr0(∂^∗)∂φ − ∂gr₀(∂^∗)φ = 0. Donc L(Λng−, g) ⊂ im(gr₀(∂^∗)) ⊕ ker() ⊕ im(∂) et nous avons bien la d´e-composition de Hodge voulue.

Le dernier point vient du fait que ker(∂) ∩ im(gr₀(∂^∗)) = {0} alors que ker() ⊕ im(∂) ⊂ ker(∂) et les relations analogues pour gr0(∂^∗). 

De ce r´esultat nous d´eduisons le corollaire suivant

Corollaire 49 1. Pour tout n ≥ 0, nous pouvons naturellement identifier le P₀-module cohomologique Hn(g₋, g) := ker(∂)/im(∂) `a ker() ⊂ L(Λng−, g).

2. Nous pouvons aussi identifier la cohomologie Hⁿ(g−, g) `a l’homologie ker(gr<sub>0</sub>(∂<sup>∗</sup>))/im(gr<sub>0</sub>(∂<sup>∗</sup>)), ce qui fournit une structure de P -module `a Hn(g−, g). Avec cette structure de P -module, le sous-groupe exp(p^⊥) ⊂ P agit trivialement sur la cohomologie : cette structure de P -module est donc simplement l’extension triviale de la structure de P₀-module.

Preuve du corollaire

D’apr`es la d´ecomposition de Hodge nous avons directement que Hⁿ(g₋, g) := ker(∂)/im(∂) = ker() = ker(gr0(∂^∗))/im(gr₀(∂^∗)).

Montrons `a pr´esent que l’action de exp(p^⊥) sur la cohomologie est triviale. Soit Z₁, . . . , Z_n dans p^⊥ = g₊, A dans g et Z₀ ∈ g_j pour j > 0 alors nous avons gr₀(∂^∗)(Z₀∧ . . . ∧ Z_n⊗ A) + Z₀∧ gr₀(∂^∗)(Z₁ ∧ . . . ∧ Z_n⊗ A) = −Z₁∧ . . . ∧ ⊗{Z₀, A} + n X i=1 (−1)ⁱ{Z₀, Z_i} ∧ . . . ∧ ˆZ_i∧ . . . ∧ Z_n⊗ A = −Z₀· (Z₁∧ . . . ∧ Z_n⊗ A).

Ainsi pour tout φ ∈ L(Λng−, g) et tout Z ∈ p^⊥= g₊ nous avons gr₀(∂^∗)(Z ∧ φ) = −Z ∧ gr₀(∂^∗)(φ) − Z · φ.

L’action de Z envoie donc ker(gr₀(∂^∗)) sur im(gr₀(∂^∗)) et ainsi l’action de Z ∈ p^⊥ sur

ker(gr₀(∂^∗))/im(gr₀(∂^∗)) = Hⁿ(g₋, g)

est triviale.