`
A pr´esent d´ecrivons l’espace des twisteurs de notre vari´et´e sym´etrique Gs
2/SO(4). Pour les espaces sym´etriques compacts, l`a encore, les espaces des twisteurs ne sont pas myst´erieux et nous pouvons trouver par exemple dans ˇCap et Slov´ak [ ˇCS09, p. 305] que l’espace des twisteurs correspondant `
a l’espace sym´etrique G2/SO(4) est l’espace homog`ene complexe muni de la structure de contact, c’est-`a-dire l’espace GC
2/PC
{α2}. Pour notre espace de type non-compact Gs2/SO(4), nous pouvons voir son espace des twisteurs plong´e dans l’espace des twisteurs de son espace sym´etrique compact dual G2/SO(4) :
Proposition 77 L’espace des twisteurs associ´e `a Gs2/SO(4) est l’espace Gs2 -homog`ene :
N := Gs 2/U (2)
= {P 2-plan ⊂ C7 : ιPΦ = 0 et Π(P ) est un 4-plan n´egatif} ⊂ GC
2/PC {α2},
avec Π la projection r´eelle et ιPΦ = 0 signifiant que pour tout x, y ∈ P , la 1-forme ιx(ιyΦ) est nulle.
Remarquons avant tout que si nous avons un 2-plan P ⊂ C7 v´erifiant ιPΦ = 0 et tel que sa projection r´eelle soit un 4-plan n´egatif de R3,4, alors la 3-forme Φ est nulle sur cette projection Q := Π(P ). En effet, soit (u1 := x1+ iy1, u2 := x2+ iy2) une base de P et (Re(u1), Im(u1), Re(u2), Im(u2)) = (x1, y1, x2, y2) la base de Q associ´ee. Si Φ n’est pas nulle sur Q alors quitte `
a permuter les indices et `a multiplier les vecteurs uk par i nous pouvons supposer que Φ(x1, y1, x2) 6= 0. Mais alors Φ(x1 + iy1, x2 + iy2, x1− iy1) = −2Φ(x1, y1, y2)+2iΦ(x1, y1, x2) qui est non nul car Φ est une 3-forme r´eelle et Φ(x1, y1, x2) 6= 0. Nous arrivons donc `a une contradiction car Φ(u1, u2, .) = 0 et nous en d´eduisons la remarque souhait´ee. Ainsi l’espace d´ecrit dans le th´eor`eme fibre bien au dessus de l’espace sym´etrique Gs
2/SO(4) et une fibre se d´ecrit de la mani`ere suivante : une fibre au dessus d’un 4-plan Q ∈ Gs
2/SO(4) est l’ensemble des 2-plans P annulant la 3-forme Φ tel que P ⊂ Q ⊗ C.
Preuve de la Proposition
Comme nous l’avons vu l’espace des twisteurs de G/K se retrouve concr` e-tement d’apr`es Salamon [Sal82] comme l’espace homog`ene pour lequel nous rempla¸cons le Sp(1) inclus dans K par U (1). Or ici K = SO(4) = Sp(1)Sp(1)
et l’espace des twisteurs est donc l’espace homog`ene Gs2/U (2). Notons A l’es-pace {P 2-plan ⊂ C7 : ιPΦ = 0 et Π(P ) est un 4-plan n´egatif}. Le groupe r´eel Gs
2 agit bien sur A, car pour M ∈ Gs
2 nous avons Π ◦ M = M ◦ Π. Montrons `a pr´esent la transitivit´e de l’action de Gs2 sur A. Comme Gs2 agit transitivement sur l’espace des 4-plans n´egatifs sur lesquels la 3-forme Φ s’an-nule, nous pouvons grˆace `a la remarque pr´ec´edente nous ramener `a l’´etude de la transitivit´e du sous-groupe SO(4) (qui est le sous-groupe fixant un tel 4-plan) sur l’ensemble des 2-plans de C7 annulant Φ et dont la projection r´eelle est le 4-plan n´egatif sur lequel la 3-forme Φ s’annule, V ect(e4, e5, e6, e7). Soit `a pr´esent P un 2-plan annulant Φ et dont la projection r´eelle est aussi V ect(e4, e5, e6, e7). Il existe donc x ∈ P ⊂ V ectC(e4, e5, e6, e7) tel que Π(x) = e4. Cet ´el´ement x s’´ecrit x = e4 + ide4 + iae5 + ibe6 + ice7 avec (a, b, c, d) ∈ R4. Rappelons que comme P annule la 3-forme Φ, l’´el´ement x ∈ P est isotrope ce qui se caract´erise par les ´egalit´es d = 0 et a2+b2+c2 = 1. Or cet ´el´ement de P suffit `a caract´eriser P . En effet, comme la m´etrique in-duite b(. , .) par Φ n’est pas d´eg´en´er´ee sur le 4-plan V ectC(e4, e5, e6, e7) qui contient P , ce 4-plan ne peut pas contenir le 3-plan totalement isotrope ker(ιxΦ) et P est donc ´egal `a ker(ιxΦ) ∩ V ectC(e4, e5, e6, e7). `A pr´esent en compl´etant la base ((1, 0, 0, 0), (0, a, b, c)) en une base orthonorm´ee de R4 nous obtenons un ´el´ement de SO(4)
M = 1 a ∗ ∗ b ∗ ∗ c ∗ ∗
qui vu dans la base (e4, e5, e6, e7) envoie le 2-plan (e4+ ie5, e6− ie7) sur le 2-plan annulant la 3-forme Φ, demeurant dans V ectC(e4, e5, e6, e7) et caract´eris´e par le vecteur e4+ i(ae5+ be6+ ce7). L’action de SO(4) sur l’ensemble des 2-plans de C7 annulant Φ et dont la projection r´eelle est un 4-plan fix´e, n´egatif et sur lequel la 3-forme Φ s’annule, est ainsi transitive. L’action de Gs
2 sur A est donc transitive.
`
A pr´esent soit M ∈ Gs
2 stabilisant un 2-plan P ⊂ C7 v´erifiant ιPΦ = 0 et tel que sa projection r´eelle soit un 4-plan n´egatif de R3,4 et soit (u1, u2) une base de P alors il existe (λ1, λ2, µ1, µ2) ∈ C4 tel que M (u1) = λ1u1+ λ2u2 et M (u2) = µ1u1 + µ2u2. Ainsi dans la base (Re(u1), Im(u1), Re(u2), Im(u2)) de Π(P ) l’´el´ement M s’´ecrit
M =
Re(λ1) Im(λ1) Re(µ1) Im(µ1) −Im(λ1) Re(λ1) −Im(µ1) Re(µ1) Re(λ2) Im(λ2) Re(µ2) Im(µ2) −Im(λ2) Re(λ2) −Im(µ2) Re(µ2)
.
Regardons `a pr´esent ce que signifie le fait que M |Π(P ) ∈ SO(4) (car M fixe P donc fixe le 4-plan n´egatif Π(P )). Les colonnes de la matrice pr´ec´edente sont de norme 1 signifient que |λ1|2 + |λ2|2 = 1 et que |µ1|2 + |µ2|2 = 1. Notons (X1, X2, Y1, Y2) les colonnes de la matrice pr´ec´edente. Nous avons gratuitement les ´egalit´es X1.X2 = Y1.Y2 = 0. Enfin les ´egalit´es X1.Y1 = 0, X1.Y2 = 0, X2.Y1 = 0 et X2.Y2 = 0 sont ´equivalentes au syst`eme
Re(λ1)Re(µ1) + Im(λ1)Im(µ1) + Re(λ2)Re(µ2) + Im(λ2)Im(µ2) = 0 Re(λ1)Im(µ1) − Im(λ1)Re(µ1) + Re(λ2)Im(µ2) − Im(λ2)Re(µ2) = 0 ⇐⇒ λ1µ¯1 + λ2µ¯2 = 0.
Finalement, M |Π(P ) ∈ SO(4) signifie que λ1 µ1
λ2 µ2
∈ U (2).
L’ensemble des ´el´ements de Gs
2 stabilisant P est donc isomorphe `a U (2) et nous avons bien le r´esultat voulu.
Chapitre 9
Construction d’un espace de
twisteurs
9.1 Sch´ema de construction de l’espace des
twisteurs et des courbes twistorielles
Commen¸cons par l’observation suivante. Lorsque dans l’espace sym´etrique Gs
2/SO(4) nous suivons un chemin allant vers un point ker(ιDΦ)⊥ de F{α1}, alors regardant les courbes dans GC
2/PC
{α2} correspondantes il apparait clai-rement que ces courbes tendent vers {P ∈ GC
2/PC
{α2} : P ⊂ (ker(ιDΦ))⊥} qui n’est autre que l’espace des 2-plans de ker(ιDΦ). Ainsi `a un point de l’espace homog`ene parabolique Gs2/P{α1} est associ´e une courbe, dans une vari´et´e complexe de contact, qui est voisine (limite) des courbes cit´ees dans le th´eor`eme 62. Voici donc comment nous allons proc´eder dans la suite de cette partie pour construire localement un espace quaternion-k¨ahl´erien `a par-tir d’une g´eom´etrie parabolique de type (Gs
2, P{α1}) sur une vari´et´e M . En s’inspirant de la double fibration dans le mod`ele
GC 2/PC ∅ GC 2/PC {α1} GC 2/PC {α2} µ ν ,
nous allons, partant d’une vari´et´e M munie d’une g´eom´etrie parabolique de type (Gs2, P{α1}), montrer que l’espace P(T−1MC) (apr`es une certaine com-plexification de M ) poss`ede une g´eom´etrie parabolique de type (GC
2, PC ∅ ) comme cela nous est sugg´er´ee par la remarque 75. Nous d´efinirons ensuite
l’espace des twisteurs N comme ´etant l’espace des feuilles d’un certain feuille-tage de P(T−1MC). Cet espace des twisteurs N n’aura pas, dans le cas non-mod`ele, de g´eom´etrie parabolique de type (GC
2, PC
{α2}) mais il aura les pro-pri´et´es n´ecessaires pour nous donner une m´etrique quaternion-k¨ahlerienne. Nous aurons le sch´ema suivant :
P(T−1MC)
MC N
µ ν
.
L’id´ee est ensuite de d´eformer les courbes ν(µ−1(x)) = {P ∈ GC 2/PC
{α2} : P ⊂ (ker(ιxΦ))⊥} pour x ∈ GC
2/PC
{α1}, afin d’obtenir les courbes n´ecessaires pour ´
evoquer le th´eor`eme de Le Brun 62. Le point d´elicat, et qui n’apparait pas encore `a ce stade, est que les courbes limites ν(µ−1(x)) du mod`ele sont en fait doubles, c’est-`a-dire qu’elles s’´ecrivent localement v2
1 = v2 = v3 = v4 = 0 dans des coordonn´ees de GC
2/PC {α2}.