Construction d’une connexion de Cartan en partant d’une

Nous avons montr´e qu’une g´eom´etrie parabolique induit bien une struc-ture parabolique infinit´esimale. Nous allons `a pr´esent montrer une r´eciproque, c’est-`a-dire qu’`a partir d’une structure parabolique infinit´esimale nous allons reconstruire une connexion de Cartan. Le probl`eme ´etant, nous allons le voir, que cette construction n’est pas canonique. Il nous restera alors du travail pour ´etablir un th´eor`eme d’unicit´e.

2.4 Construction d’une connexion de Cartan

en partant d’une structure parabolique

infinit´esimale

Donnons-nous, sur une vari´et´e M , une structure parabolique infinit´ esi-male (p₀ : E → M, {TiM }, {θ_i}). Nous cherchons `a construire une connexion de Cartan dont la structure infinit´esimale induite est notre structure initiale. Cependant une telle connexion n’est pas unique et notre construction va donc n´ecessiter un certain nombre de choix.

Pour construire un P -fibr´e principal p : G → M il nous faut une inclusion i : P₀ ,→ P afin de d´efinir G par E ×_iP . De plus pour recoller les θ_i entre eux il va nous falloir un isomorphisme g −→ gr(g). Pour ces deux raisons notre^∼ premier choix va ˆetre celui d’une structure alg´ebrique de Weyl  : g−→ gr(g).^∼ Ensuite nous pouvons voir que mˆeme recoll´ees, les θ_i ne d´efinissent pas une 1-forme sur E car il nous manque une 1-forme dans Γ(L(T0E, g0)) (ici se situe le choix fondamental). Nous allons voir que ces deux choix vont ˆetre suffisants.

Fixons-nous alors une structure alg´ebrique de Weyl  : g −→ gr(g). Cela^∼ nous procure ainsi une inclusion i : P₀ ,→ P . Posons G₀ = i(P₀) et d´efinissons

`

a pr´esent le P -fibr´e principal p : G → M par G := E ×_iP = E ×_G0P . Comme nous avons fix´e cette structure alg´ebrique de Weyl, utilisons-l`a compl`etement, c’est-`a-dire qu’en notant g = g−k⊕ · · · ⊕ g<sub>k</sub> la d´ecomposition de g associ´ee `a notre structure alg´ebrique de Weyl nous consid´erons les ´el´ements θ_i comme ´

etant `a valeur dans g_iet non plus dans gr_i(g/p), nous consid´erons p₀ : E → M comme un G₀-fibr´e principal et non plus comme un P₀-fibr´e principal etc...

Maintenant choisissons une connexion sur p₀ : E → M , c’est-`a-dire la donn´ee d’un espace horizontal HE invariant sous l’action principale de G<sub>0</sub>. Notons γ ∈ Ω1(E , g<sub>0</sub>), la projection sur V E = ker(p<sub>0</sub>) parall`element `

a HE dans T E . Cette 1-forme peut bien ˆetre vue `a valeur dans g<sub>0</sub> car V E = ker(p<sub>0</sub>) = T0E = {ζ<sub>X</sub> : X ∈ p<sub>0</sub>} avec ζ<sub>X</sub> le champ de vecteurs fonda-mental associ´e `a X. Nous avons donc γ(ζ_X) = X pour tout X ∈ g₀ et l’inva-riance de HE se traduit sur γ par une G₀ ´equivariance : (r^g)^∗γ = Ad(g⁻¹) ◦ γ pour tout g ∈ G₀.

Posons HiE := TiE ∩HE pour tout i ∈ {−k, . . . , −1}. Rappelons que TiE est d´efini par p^∗₀(TⁱM ) lorsque nous nous donnons une structure parabolique infinit´esimale. Soit u₀ ∈ E, l’application T_u0p₀ induit un isomorphisme de H_u0 −→ T^∼ _xM avec x = p₀(u₀). Par construction, cet isomorphisme pr´eserve les filtrations.

Cet espace horizontal ainsi que notre structure alg´ebrique de Weyl nous fournissent des projections canoniques de T E sur chaque HiE. Construisons ces projections. Commen¸cons par rappeler que gr(T M ) ' E ×_G0 gr(g/p). Ainsi notre structure alg´ebrique de Weyl  : g −→ gr(g) induit un iso-^∼ morphisme g/p −→ gr(g/p), G^∼ ₀-´equivariant (car G₀ est exactement le sta-bilisateur de  ∈ w) et donc un isomorphisme ˜Ψ : T M −→ gr(T M ).^∼ Comme T p₀ respecte les filtrations nous avons mˆeme un isomorphisme Ψ : HE −→ gr(HE). L’espace tangent T E se d´ecompose donc comme^∼ T E = V E ⊕ HE = V E ⊕ L−1

j=−kΨ⁻¹(gr_j(HE )). Nous pouvons ainsi na-turellement d´efinir les projections annonc´ees π_i : T E → HiE pour tout i ∈ {−k, . . . , −1} comme ´etant les projections sur HⁱE parall`element `a V E ⊕L j<iΨ⁻¹(grj(HE )). Posons `a pr´esent : ˜ θ₀ := γ ˜ θ_i := θ_i◦ π_i ∀i ∈ {−k, . . . , −1}.

Avec notre structure alg´ebrique de Weyl nous pouvons voir ces applications dans g_i et ainsi d´efinir pour tout u₀ ∈ E :

˜ θ(u₀) : T_u0E −→ g−⊕ g₀ ξ 7−→ P−k i=0_θ˜ i(ξ) o`u g₋=L−1 j=−kg_j.

Proposition 24 Soit (p₀ : E → M, {TⁱM }, {θ_i}) une structure parabolique infinit´esimale sur une vari´et´e M . Fixons en plus une structure alg´ebrique de Weyl  : g−→ gr(g) qui nous procure ainsi une inclusion i : P^∼ ₀ ,→ P et fixons une connexion sur p₀ : E → M .

Alors nous avons un P -fibr´e principal sur M donn´e par G := E ×_i P et la 1-forme ˜θ pr´ec´edemment d´ecrite ce prolonge en une unique connexion de Cartan ω sur le P -fibr´e principal G : nous disposons ainsi d’une g´eom´etrie parabolique (p : G → M, ω) sur M de type (G, P ).

Preuve de la proposition

Commen¸cons par ´enoncer le lemme suivant.

Lemme 25 La 1-forme ˜θ est une connexion de Cartan sur E de type (Pop, G₀) avec Pop la composante connexe rencontrant G₀ de {g ∈ G : Ad(g)(g_i) ⊂ g−k ⊕ · · · ⊕ g_i ∀i ∈ {−k, . . . , k}}.

Preuve du lemme

Nous avons trois points `a v´erifier pour voir que ˜θ est une connexion de Cartan sur E . Soit u0 ∈ E, montrons que ˜θ(u0) : Tu0 = E → g− ⊕ g0 est un isomorphisme. Soit ξ ∈ ker(˜θ(u<sub>0</sub>)) alors γ(u<sub>0</sub>)(ξ) = 0 donc ξ ∈ HE est un vecteur horizontal. Or sur HE , π−k est ´egal `a l’identit´e donc θ−k(ξ) = 0 ce qui signifie que ξ ∈ T^−k+1E. R´ep´etons le mˆeme argument qui provient de l’observation que sur HiE, π_i = id. Nous montrons ainsi que ξ ∈ T0E = V E. Finalement, ξ ∈ V E ∩ HE = {0}. Notre application ˜θ est alors injective donc isomorphe par dimension.

Montrons ensuite que ˜θ reproduit les g´en´erateurs des champs de vecteurs fondamentaux. Soit X ∈ g₀, le champ de vecteurs fondamental associ´e `a X est ζX ∈ T0E. Comme il est dans T0E, ˜θi(ζX) = 0 pour tout i < 0. Et par d´efinition de γ, ˜θ₀(ζ_X) = γ(ζ_X) = X, donc ˜θ(ζ_X) = X.

Montrons enfin que ˜θ est G₀-´equivariante. Comme G₀ pr´eserve la d´ ecom-position g−k⊕ · · · ⊕ g0, il suffit de v´erifier la G0-´equivariance pour γ et pour les ˜θ_i de mani`ere ind´ependante. Pour γ cette ´equivariance est d´ej`a connue. Soit i ∈ {−k, . . . , −1}, u₀ ∈ E, ξ ∈ T_u0E et g ∈ G₀ alors

˜

θ_i(u₀· g)(T_u0rg(ξ)) = θ_i(u₀· g)(π_i(T_u0rg(ξ))) = θ_i(u₀· g)(T_u0rg(π_i(ξ)))

car comme G₀ pr´eserve la d´ecomposition g_−k ⊕ · · · ⊕ g₀ et que la structure alg´ebrique de Weyl est G₀-´equivariante, l’action de G₀ pr´eserve la d´ ecom-position T E = V E ⊕ L

G₀-´equivariantes. Reprenons le calcul :

(r^g)^∗θ^˜_i(u₀)(ξ) = θ_i(u₀· g)(T_u0r^g(π_i(ξ))) = Ad(g⁻¹) ◦ θ_i(u₀)(π_i(ξ)) = Ad(g⁻¹) ◦ ˜θi(u0)(ξ).

La 1-forme ˜θ ∈ Ω¹(E , g−⊕ g₀) est donc bien une connexion de Cartan. 

Pour enfin obtenir une connexion de Cartan sur G comme souhait´ee, il faut remonter cette g´eom´etrie parabolique sur G = E ×_i P . Pour cela nous allons invoquer la proposition suivante (qui est une version cibl´ee pour notre probl`eme et non celle plus g´en´erale de ˇCap et Slov´ak [ ˇCS09, p. 105]).

Lemme 26 Soient L un groupe de Lie d’alg`ebre de Lie l, G ⊂ L et K ⊂ L deux sous-groupes ferm´es tels que la G-orbite de eK dans L/K soit ouverte. Posons H = G ∩ K, et i : H ,→ K. Notons Φ : G ,→ L et α = Φ⁰ : g ,→ l. Soit (p : G → M, ω) une g´eom´etrie de Cartan de type (G, H) sur une vari´et´e M .

Alors il existe une unique connexion de Cartan ωα ∈ Ω1(G ×iK, l) de type (L, K) telle que j^∗ω_α = α ◦ ω ∈ Ω1(G, l) avec j : G → G ×_i K qui `a u ∈ G associe la classe de (u, e) dans G ×_iK.

Ce lemme nous dit alors qu’il existe une connexion de Cartan ω ∈ Ω¹(G, g) caract´eris´ee par j^∗ω = ˜θ o`u j : E ,→ G est l’inclusion j(u) = _{J(u, e)K. Pour} finir, montrons que cette connexion de Cartan induit bien la structure pa-rabolique infinit´esimale initiale. Soit u0 ∈ E et ξ ∈ Tu0E alors j(u0) ∈ G, T_u0j(ξ) ∈ T_j(u0)G et par caract´erisation de ω, ω(T_u0j(ξ)) = ˜θ(ξ). Or si main-tenant ξ ∈ TiE pour un i < 0, ˜θ(ξ) = P

j≥iθ_j(π_j(ξ)) et donc [˜θ(ξ)]_i = θ_i(π_i(ξ)) = θ_i(ξ). Reste simplement `a observer que [˜θ(ξ)]_i = [ω(T_u0j(ξ))]_i d´efinit justement la structure parabolique infinit´esimale de ω. 

Pour conclure notre construction de la connexion de Cartan il ne nous reste plus qu’`a d´emontrer le lemme pr´ec´edent.

Preuve du lemme

Pour ´etendre notre connexion de Cartan, trois propri´et´es de α : g ,→ l sont mises en ´evidence : elles sont primordiales et apparaissent clairement dans le cas g´en´eral trait´e par ˇCap et Slov´ak [ ˇCS09, p. 105] . Ces propri´et´es sont directes dans notre cas et sont les suivantes. Pour tout h ∈ H,

En effet, comme la G-orbite de eK dans L/K est ouverte, l’application Φ : G ,→ L induit un diff´eomorphisme local Φ : G/H → L/K et nous avons donc, par nature de l’action adjointe, la relation suivante Ad(Φ(h))(Φ⁰(X)) = Φ⁰(Ad(h)(X)) pour tout X ∈ g. Par d´efinition de α, cette relation est exac-tement celle recherch´ee. La deuxi`eme propri´et´e souhait´ee est que

(2.4.2) α|_h= i⁰ : h → k.

Il est clair que nous avons bien cette propri´et´e car i = Φ|_H et α = Φ⁰. La troisi`eme propri´et´e est que l’endomorphisme induit par α,

(2.4.3) α : g/h → l/k est un isomorphisme lin´eaire, ce qui est le cas car α = T₀Φ.

Ayant rappel´ees les propri´et´es utiles `a α pour construire notre connexion de Cartan sur G ×<sub>i</sub> K, commen¸cons donc cette construction. Notons q : G ×<sub>i</sub>K → M . Soit u ∈ G, l’espace tangent `a T_j(u)(G ×_iK) est engendr´e par des vecteurs verticaux (c’est-`a-dire les ´el´ements de ker(q∗)) et des ´el´ements de T_uj(T_uG) : en effet, q ◦ j = p donc T_j(u)q(T_uj(T_uG)) = T_up(T_uG) = T_p(u)M . Nous d´efinissons alors ω_α(j(u)) par :

(2.4.4) ω_α(j(u))(T_uj(ξ) + ζ_A(j(u))) := α(ω(u)(ξ)) + A

pour tout ξ ∈ T_uG et tout A ∈ k avec ζ_A le champ de vecteurs fondamental engendr´e par A.

Montrons que ωα(j(u)) est bien d´efinie de cette mani`ere grˆace `a la pro-pri´et´e (2.4.2). Si T_uj(ξ) est vertical alors T q ◦ T j(ξ) = T p(ξ) = 0 donc il existe X ∈ h tel que ξ = ζ_X(u). Or par d´efinition de j, pour tout h ∈ H, j(u · h) = j(u) · i(h). Posant h = exp(tX) et diff´erenciant en t = 0 nous obtenons T_uj(ζ_X(u)) = ζ_i0(X)(j(u)). Comme i⁰ = α|_h,

ω_α(j(u))(T_uj(ζ_X(u))) = α(ω(u)(ζ_X(u))) = α(X) = i⁰(X). Ainsi ω_α(j(u)) est bien d´efinie.

`

A ce stade l`a, ω<sub>α</sub>(j(u)) : T<sub>j(u)</sub>(G ×<sub>i</sub>K) → l reproduit les g´en´erateurs des champs de vecteurs fondamentaux. Montrons que c’est un isomorphisme. Puis nous prolongerons cette d´efinition `a tout G ×_iK de mani`ere `a avoir la derni`ere propri´et´e manquante pour d´efinir une connexion de Cartan et cette propri´et´e est la K-´equivariance. Si ω<sub>α</sub>(j(u))(T<sub>u</sub>j(ξ) + ζ<sub>A</sub>(j(u))) = 0, alors projetant sur l/k nous obtenons 0 = α(ω(u)(ξ))+k = α(ω(u)(ξ)+h). Par la propri´et´e (2.4.3) cela nous assure que ω(u)(ξ) = X ∈ h c’est-`a-dire que ξ = ζ_X. En conclusion T_uj(ξ) + ζ_A(j(u)) est un vecteur vertical. Or par construction ω_α(j(u)) est

injective sur les vecteurs verticaux donc T_uj(ξ) + ζ_A(j(u)) = 0. Nous avons donc bien l’isomorphisme souhait´e.

´

Etendons `a pr´esent la d´efinition de ω<sub>α</sub> `a tout G ×_iK. Soit k ∈ K, u ∈ G et η ∈ T_j(u)·k(G ×_iK) posons :

(2.4.5) ω_α(j(u) · k)(η) := Ad(k⁻¹)(ω_α(j(u))(T_j(u)r^k−1η)).

Montrons que ω_α d´efinie ainsi est bien d´efinie. Soit (u, ˜u) ∈ G² et (k, ˜k) ∈ K2 tels que j(u) · k = j(˜u) · ˜k, alors il existe h ∈ H tel que ˜u = u · h. En effet, j(u) = j(˜u)·(˜kk⁻¹) donc il existe h ∈ H tel que ˜kk⁻¹ = i(h⁻¹) et alors j(u) = j(˜u) · i(h⁻¹) = j(˜u · h⁻¹) d’o`u la conclusion par injectivit´e de j. Comme nous venons de voir nous avons aussi la relation ˜k = i(h)k. Revenant `a ω_α nous avons ω_α(j(˜u)·˜k)(η) = Ad(k⁻¹)◦Ad(i(h)⁻¹)(ω_α(j(u·h))(T ri(h)⁻¹◦T rk⁻¹(η))). Ainsi ω_α est bien d´efinie si pour tout η ∈ T_j(u)(G ×_iK) nous avons

Ad(i(h))(ω_α(j(u))(η)) = ω_α(j(u · h))(T r^i(h)−1η). Or si η est de la forme η = ζ_A(j(u)) pour un A ∈ k alors

Ad(i(h))(ω_α(j(u))(η)) = Ad(i(h))(A) = α(Ad(h)(A)) grˆace `a la propri´et´e (2.4.1). Et par ailleurs,

ω_α(j(u·h))(T r^i(h)−1ζ_A(j(u))) = ω_α(j(u·h))(ζ_Ad(h)(A)(j(u·h)) = α(Ad(h)(A)). Maintenant si η est de la forme η = T_uj(ξ) pour un ξ ∈ T_uG alors

T_j(u)r^i(h)−1(η) = T_u(r^i(h)−1 ◦ j)(ξ) = T_u·h−1j(T_ur^h−1(ξ)). Ainsi,

ω_α(j(u))(T ri(h)⁻¹(η)) = α(ω(u · h⁻¹)(T_urh⁻¹(ξ))) = α(Ad(h)(ω(u)(ξ))) = Ad(i(h))(α(ω(u)(ξ)))

grˆace `a la propri´et´e (2.4.1) et nous obtenons donc bien la relation souhait´ee. La 1-forme ωα est donc bien d´efinie sur tout G ×i K. Par construction elle est K-´equivariante. Les autres propri´et´es qui d´efinissent une connexion de Cartan sont v´erifi´ees sur T_j(u)(G ×_i K) puis par ´equivariance sur tout

T (G ×iK). 

Avant de continuer sur notre identification entre g´eom´etrie parabolique et structure parabolique infinit´esimale nous allons d´efinir une notion de r´ e-gularit´e. En effet plus tard nous demanderons aux structures paraboliques que nous regarderons de correspondre pleinement `a la g´eom´etrie gradu´ee de l’espace filtr´e T M .

Chapitre 3

R´egularit´e