a mimer une double fibration
G/Q
G/P G/R,
µ ν
avec P et Q des sous-groupe paraboliques de G et R le sous-groupe para-bolique de G donnant `a G/R une structure de contact [ ˇCS09, p. 298](car l’espace des twisteurs de G/K est inclus dans GC/RC) et avec G/Q → G/R une fibration dont les fibres sont de dimension 1. Les deux prochains chapitres sont consacr´es chacun `a une des ´etapes de cette construction : dans le pro-chain chapitre nous ´etudierons comment se rel`eve une g´eom´etrie parabolique normale et r´eguli`ere de type (G, P ) en une g´eom´etrie parabolique de type (G, Q), puis dans le suivant nous regarderons `a quelles conditions nous avons un feuilletage comme pr´ec´edemment. Dans le dernier chapitre, nous listerons les g´eom´etries paraboliques pour lesquelles nous avons une telle construction.
7.2 Les espaces correspondants
Nous allons ici nous int´eresser au cas o`u Q ⊂ P sont deux sous-groupes paraboliques d’un groupe de Lie semi-simple G. Dans ce cas-l`a, nous dispo-sons de deux espaces homog`enes G/Q et G/P poss´edant chacun une g´ eo-m´etrie parabolique. Les questions que nous allons nous poser concernent les relations entre les g´eom´etries paraboliques de type (G, Q) et (G, P ). Nous verrons qu’en toute g´en´eralit´e nous ne pouvons pas dire grand chose mais que ces questions sont des questions alg´ebriques qui se r`eglent au cas par cas. Je renvoie donc `a la partie 9.3.1 de cette th`ese pour voir l’exemple concret des sous-groupes paraboliques de Gs
2. Nous suivons pour cette partie la pr´ e-sentation de ˇCap et Slov´ak [ ˇCS09, p. 99].
D´efinition 66 Soit G un groupe de Lie et Q ⊂ P ⊂ G deux sous-groupes ferm´es. Soit (p : G → N, ω) une g´eom´etrie de Cartan de type (G, P ). Nous d´efinissons l’espace correspondant CN de N pour Q ⊂ P comme ´etant l’es-pace quotient G/Q = G ×P P/Q.
Nous avons alors les propri´et´es suivantes :
Propri´et´e 67 Soit Q un sous-groupe de P et CN l’espace correspondant `a une g´eom´etrie de Cartan (p : G → N, ω) de type (G, P ) pour ce sous-groupe Q. Alors nous avons :
1. L’espace CN est l’espace total d’un fibr´e sur N de fibre l’espace homog`ene P/Q, et il poss`ede une g´eom´etrie de Cartan (q : G → CN, ω) de type (G, Q).
2. La fonction de courbure κN de (p : G → N, ω) et celle κCN de (q : G → CN, ω) sont reli´ees de la mani`ere suivante : soit u ∈ G et X, Y ∈ g nous avons
(7.2.1) κCN(u)(X + q, Y + q) = κN(u)(X + p, Y + p)
avec q et p les alg`ebres de Lie de Q et P . Ces deux fonctions de courbure sont donc induites par une mˆeme fonction G → L(Λ2g, g).
3. Le sous-espace p/q de g/q induit une distribution V CN := G ×Qp/q ⊂ T CN = G ×Qg/q. C’est exactement l’espace vertical de la projection CN → N . La courbure κCN de CN a la propri´et´e que pour toute section ξ de V CN , ιξκCN = 0.
Preuve de la Propri´et´e
1. L’espace CN est le fibr´e sur N associ´e `a la fibration principale G et `a la fibre P/Q, c’est-`a-dire l’espace G ×PP/Q d’o`u la premi`ere assertion. Comme P agit librement sur G il en est de mˆeme pour Q ⊂ P . Ainsi la projection naturelle q : G → CN = G/Q est un fibr´e principal de groupe de structure Q. Par d´efinition la connexion de Cartan ω ∈ Ω1(G, g) est une trivialisation de T G, P -´equivariante v´erifiant ω(ξX) = X pour tout X ∈ p et ξX le champ de vecteurs fondamental associ´e `a X. Mais comme Q est un sous-groupe de P , ω reste Q-´equivariante et v´erifie ω(ξX) = X pour tout X ∈ q. Nous avons donc bien que (q : G → CN, ω) est une g´eom´etrie de Cartan de type (G, Q). 2. La forme de courbure K ∈ Ω2(G, g) d´efinie par K(ξ, η) = dω(ξ, η) + [ω(ξ), ω(η)] est donc la mˆeme pour les deux g´eom´etries en question. Ainsi les deux fonctions de courbure κN et κCN proviennent de la mˆeme fonction de courbure κ : G → Λ2g∗⊗ g, la premi`ere ´etant vu grˆace `a la propri´et´e 38 dans G → Λ2(g/p)∗ ⊗ g et la deuxi`eme dans G → Λ2(g/q)∗ ⊗ g, d’o`u la relation demand´ee.
3. Comme Q est un sous-groupe de P , nous avons Ad(h)(p) ⊂ p pour tout h ∈ Q. Ainsi l’inclusion p/q ⊂ g/q est Q-invariante et G ×Qp/q est un
sous-fibr´e lisse de G ×Qg/q. Comme ω d´efinit une connexion de Cartan sur q : G → CN , nous savons, d’apr`es l’isomorphisme (2.1.1), que G ×Q g/q est isomorphe `a l’espace tangent T CN de la mani`ere suivante : G ×Qg/q → T CN est donn´ee par Ju, X + qK 7→ Tuq(ω(u)−1(X)). Comme l’identification entre T N et G ×Pg/p provient elle aussi de la connexion de Cartan ω, nous voyons que la projection CN → N correspond `a la projection naturelle g/q → g/p. Ainsi le fibr´e vertical de CN → N correspond au noyau p/q de g/q → g/p. Enfin, soitJu, X + qK une section de V C N = G ×Qp/q alors κCN(u)(X +q, .) = κN(u)(X + p, .) = κN(u)(p, .) = 0 car la forme de courbure pour la g´eom´etrie de N est horizontale d’apr`es la propri´et´e 38.
La question que nous allons nous poser `a pr´esent est de savoir si partant d’une g´eom´etrie parabolique r´eguli`ere (respectivement normale), nous avons que la g´eom´etrie parabolique de l’espace correspondant est aussi r´eguli`ere (respectivement normale). Nous pouvons d´ej`a r´epondre `a cette question pour la notion de normalit´e.
Proposition 68 Soit G un groupe de Lie d’alg`ebre de Lie g, P un sous-groupe parabolique d’alg`ebre de Lie p et Q un autre sous-groupe parabolique d’alg`ebre de Lie q v´erifiant Q ⊂ P . Soit `a pr´esent (p : G → M, ω) une g´eom´etrie de Cartan sur une vari´et´e M de type (G, P ). Comme nous venons de le voir, la vari´et´e CM := G/Q = G ×PP/Q est naturellement munie d’une g´eom´etrie parabolique (q : G → CM, ω) de type (G, Q).
Alors la g´eom´etrie de Cartan (p : G → M, ω) est normale si et seulement si la g´eom´etrie de Cartan (q : G → CM, ω) l’est.
Preuve de la proposition
Les fonctions de courbure κM de (p : G → M, ω) et κCM de (q : G → CM, ω) sont reli´ees par
κCM(u)(X + q, Y + q) = κM(u)(X + p, Y + p)
pour tout u ∈ G et tout X, Y ∈ g. Ce r´esultat est direct lorsque nous pensons au fait que ces deux fonctions de courbure proviennent de la mˆeme courbure K ∈ Ω2(G, g) qui est P donc Q-horizontale. Ces deux fonctions de courbures sont donc identiques lorsqu’elles sont vu comme fonctions G → Λ2g∗ ⊗ g et donc comme fonctions G → Λ2g⊗ g : nous avons ici simplement identifi´e g∗ `a g grˆace `a la forme de Killing sur g. La fonction de courbure κM est `a valeur dans Λ2(g/p)∗⊗g c’est-`a-dire dans Λ2p⊥⊗g ⊂ Λ2q⊥⊗g. Or la codiff´erentielle de Kostant est la r´eduction de ∂∗ : Λ2g⊗ g → g ⊗ g `a Λ2p⊥⊗ g pour p et `a
Λ2q⊥⊗g pour q. Ainsi sur Λ2p⊥⊗g les codiff´erentielles des deux sous-alg`ebres co¨ıncident et donc ∂∗κCM = ∂∗κM.
Pour la question de la r´egularit´e, il n’existe pas de th´eor`eme g´en´eral mais cette question se r`egle au cas par cas grˆace `a la caract´erisation de la r´egularit´e par les fonctions de courbure κ de la proposition 32 et de la relation entre les deux fonctions de courbure en question donn´ee par l’´equation (7.2.1). Si nous ne connaissons pas explicitement notre fonction de courbure initiale κN mais que nous connaissons simplement les types de la g´eom´etrie parabolique de N et CN nous pouvons cependant r´epondre `a cette question lorsque la connexion de Cartan est normale grˆace au th´eor`eme 52 qui relie la premi`ere composante non nulle de κN `a celle de la fonction de courbure harmonique κN
H qui vit dans le fibr´e E ×P0 H2(g−, g) o`u E = G/P⊥. Ce fibr´e est donc caract´eris´e par l’objet alg´ebrique et calculable H2(g−, g). Afin d’´eclairer ceci citons deux exemples aux comportements oppos´es que nous retrouverons par la suite. Observons le groupe de Lie semi-simple Gs
2 et ses trois sous-groupes paraboliques : P{α1} qui fixe une droite isotrope de R3,4, P{α2} qui fixe un 2-plan annulant la 3-forme d´efinissant Gs
2 et P∅ fixant une droite isotrope et un tel 2-plan. Alors toute g´eom´etrie parabolique normale et r´eguli`ere sur M de type (Gs2, P{α1}) se rel`eve en une g´eom´etrie normale et r´eguli`ere sur l’espace correspondant CM de type (Gs
2, P∅). A contrario, il n’y a que la g´eom´etrie parabolique standard de type (Gs
2, P{α2}) qui se rel`eve en une g´eom´etrie nor-male et r´eguli`ere sur l’espace correspondant C(Gs2/P{α2}) de type (Gs2, P∅) car la condition de r´egularit´e requiert l’annulation de la seule composante non nulle de H2(gr(g/p{α2}), gr(g)).