3.2.1
Définitions
L’angle de Lodeθ a été introduit initialement par [Lode, 1926] pour étudier l’impact de l’état de contrainte sur le comportement de métaux tels que l’acier, le cuivre et le nickel. L’état de contraintes y est modélisé par les trois invariants du tenseur de contraintes I1, J2et J3définis par :
p= −σh= − 1 3(σ1+ σ2+ σ3)= − I1 3, (3.1) q= σ = r 1 3S :S= r 1 2((σ1−σ2) 2+ (σ 2−σ3)2+ (σ3−σ1)2)= p 3J2, (3.2) r= 27 2 det(S) 1/3 =27 2 (σ1−σh)(σ2−σh)(σ3−σh) 1/3 =27 2 J3 1/3 , (3.3)
oùσhest la contrainte hydrostatique, (σ1,σ2,σ3) sont les contraintes principales et S est la partie
déviatorique du tenseur des contraintes.
Ainsi, l’angle de Lodeθ est exprimé en fonction de r et q ou de J2et J3par :
θ = arcos 3 r q !3 = arcos 3 √ 3J3 2J3/22 3 . (3.4)
La représentation géométrique de l’angle de Lode est décrite dans la figure 3.1 où 0< θ < π3. L’introduction de cette variable permet de décrire l’état de contrainte, en tout point, à l’aide des trois paramètresσ, Txetθ.
POROSITÉS
Figure 3.1 – Représentation géométrique de l’angle de Lode dans l’espace des contraintes principales (a) et dans le plan déviatorique (b). À partir de [Bai and Wierzbicki, 2008].
Différentes formes de l’angle de Lode θ sont utilisées dans la littérature. La forme normalisée de l’angle de Lodeθ, par exemple, est exprimée par :
θ = 1 − 6θπ = 1 −π2 r q !3 avec − 1< θ < 1. (3.5) [Xue and Wierzbicki, 2009] ont privilégié la définition suivante deθL:
θL= θ −π
6, (3.6)
où −π6 < θL< π6.
Le paramètre de Lodeµ a été introduit par [Lode, 1926]. Il a aussi été utilisé par [Barsoum and Faleskog, 2007], et est défini par les équations 3.7 et 3.8 dans l’intervalle [−1, 1].
θL= arctan(√1
3µ) (3.7)
µ = 2σ2−σ1−σ3
σ1−σ3
avec σ3≤σ2≤σ1 (3.8)
Le paramètre de Lodeµ peut être représenté géométriquement dans le cercle de Mohr comme montré dans la figure 3.2.
Il faut noter que dans le cas de l’hypothèse de chargement axisymétrique, le paramètre de Lodeµ est égal à 1 (car σ1= σ2).
3.2.2
Contexte bibliographique
L’angle de Lodeθ est souvent considéré lors de l’étude de l’endommagement et de la rupture ductile. Il n’a, a priori, jamais été utilisé dans la modélisation des mécanismes de la refermeture de porosités. Ce paramètre est ici utilisé afin de définir l’état de contraintes d’une manière unique à partir des trois invariants du tenseur de contraintes I1, J2et J3. Cela revenant à éliminer l’hypothèse
POROSITÉS
Figure 3.2 – Représentation du paramètre de Lodeµ dans le cercle de Mohr.
[Cao et al., 2014], dans la caractérisation de l’endommagement ductile pour des aciers à hautes performances en utilisant la microtomographie, ont confirmé que la prise en compte de l’angle de Lode était nécessaire dans les cas de triaxialité faible ou négative. [Danas and Castañeda, 2012], ont modélisé l’endommagement de matériaux élasto-plastiques poreux par deux approches. La première pour des triaxialités élevées, le modèle semblant alors indépendant de l’angle de Lode. Par contre, dans le cas de faibles triaxialités, le modèle est fortement dépendant de l’utilisation de l’angle de Lode. [Keshavarz et al., 2014] et [Mirone and Corallo, 2010] ont aussi justifié l’intérêt de l’angle de Lode dans le cas de triaxialités très faibles ou négatives.
La majorité des auteurs confirment ainsi que l’intérêt d’utiliser l’angle de Lode est importante lorsque les triaxialités sont faibles (≈ 0) ou négatives. Dans le cas de refermeture de porosités, la triaxialité des contraintes est souvent négative, car le chargement nécessaire pour refermer est un chargement fortement compressif par nature. Pour cette raison, nous avons jugé utile et nécessaire d’ajouter ce paramètre à (Tx,σ) pour définir l’état de contrainte en écartant l’hypothèse
d’axisymétrie. Dans ce travail, le paramètre de Lodeµ avec la définition donnée par l’équation
3.8 est utilisé. Les intervalles de chargements appliqués au niveau des simulations sur VER ont
été définis en fonction des chargements mécaniques observés dans les procédés industriels des partenaires du projet (voir paragraphe 1.4.1).
3.2.3
Contexte industriel
Une pièce métallique peut subir tout type de chargement lors d’un procédé de mise forme. De plus, ce chargement est souvent variable, tel que nous l’avons montré dans le paragraphe 1.4.1 pour les deux procédés de forgeage et de laminage obtenus de la part des partenaires du projet. Aussi, [Bai and Wierzbicki, 2008] ont établi une cartographie de tests mécaniques conventionnels en fonction de la triaxialité Tx, ici notée parη, et de l’angle de Lode normalisé θ (voir figure
3.3). Nous constatons que l’angle de Lode normalisé prend différentes valeurs dans son espace de définition [−1, 1] pour les tests mécaniques présentés. Aussi, on remarque que différents tests peuvent être réalisés à la même triaxialité mais à différentes valeurs de θ comme déjà discuté.
POROSITÉS
Figure 3.3 – Cartographie de tests mécaniques conventionnels en fonction de la triaxialité Tx, ici
notéeη, et de l’angle de Lode normalisé θ [Bai and Wierzbicki, 2008].
3.2.4
Conditions aux limites
Comme il a été présenté précédemment, le modèle de prédiction est calibré à partir d’une large campagne de simulations en champ complet réalisée à l’échelle du VER. Au niveau du VER, des conditions aux limites sont appliquées afin de produire des chargements mécaniques semblables à ceux observés localement dans les procédés industriels. Ces conditions aux limites sont appliquées dans les calculs EF de la même façon que ce que nous avons présenté dans le paragraphe 1.3.4 : deux contraintesσ1etσ2appliquées sur les surfaces latérales du VER, une vitesse de déformation
dans la direction d’écrasement sur la surface supérieure et trois plans de symétrie sur les trois surfaces restantes. Ces conditions aux limites sont contrôlées par trois paramètres : la contrainte équivalenteσ (équation 1.1), la triaxialité des contraintes Tx(équation 2.7) et le paramètre de Lode
µ (équation 3.8). La vitesse de déformation équivalente ˙ est définie par :
˙ = r 2 3( ˙ 2 xx+ ˙2yy+ ˙2zz), (3.9)
où ˙xx, ˙yyet ˙zzsont les vitesses de déformation dans les trois directions.
L’évolution des contraintesσ1 etσ2 en fonction du temps est obtenue en utilisant un script
qui facilite le calcul, vu que le système d’équations est non-linéaire. L’utilisateur n’a qu’à fixer le chargement mécanique souhaité via le triplet ( ˙, Tx, µ). À l’aide d’algorithmes d’optimisation
prédéfinis sur Python, l’évolution des contraintesσ1etσ2est approchée de façon à vérifier le triplet
voulu tout le long de la déformation.
De cette manière, la condition d’axisymétrie de chargement est éliminée. Tout type de charge- ment peut être modélisé.
POROSITÉS