2.2.1
Échelles micro/macro
Le principe fondamental d’une approche multiéchelles est de séparer l’étude en problèmes différents qui ont lieu à des échelles différentes. L’idée est d’étudier la refermeture des porosités à l’échelle microscopique (échelle de la porosité) en utilisant des simulations à champ complet sur un Volume Élémentaire Représentatif (VER). En effet, la refermeture des porosités peut être traitée comme un problème microscopique grâce à l’hypothèse que la porosité n’affecte le champ thermomécanique de la pièce industrielle que localement. L’analyse de ces porosités à l’échelle micro permet de décrire explicitement ces porosités avec une discrétisation spatiale la plus précise possible au sein d’un VER. Les conditions aux limites des calculs sur VER sont obtenues à partir des chargements mécaniques observés à l’échelle macroscopique des procédés industriels. De cette façon l’utilisation de VER permet de comprendre et décrire la refermeture de la porosité par rapport à différents paramètres relatifs à leurs géométrie et orientation mais aussi par rapport à différent états de contraintes.
Figure 2.1 – Exemple decas de forgeage macroscopique avec prise en compte explicite d’un pore sphérique.
Les figures 2.1 et 2.2 représentent deux configurations à champ complet avec une description explicite d’une porosité sphérique. Le cas décrit dans la figure 2.1 nécessite un maillage non- structuré de 1 271 000 éléments tétraédriques pour représenter correctement la porosité dans un lopin forgé tandis que la représentation microscopique (figure 2.2) ne nécessite que 52 600 éléments dans le VER à précision égale de maillage à l’entourage de la porosité. Cela signifie que le calcul
Figure 2.2 – Calcul sur VER représentatif issu de cas de forgeage de la figure 2.1.
macro coutera approximativement 24 fois plus de temps de calculs qu’un calcul micro à l’échelle d’un VER.
Cependant, il faut d’abord s’assurer que les calculs sur VER décrivent correctement la refer- meture des pores.
2.2.2
Validation des calculs sur VER
[Saby et al., 2015] ont utilisé le même principe pour étudier la refermeture des porosités. Afin d’exploiter des simulations à champ complet à l’échelle de VER, ces dernières ont été validées par des simulations explicites à l’échelle macroscopique pour un procédé de laminage. L’idée étant de comparer les prédictions de la refermeture à l’échelle de calculs sur VER comparativement à quelques calculs macros très lourds prenant en compte explicitement les pores présents dans le lopin.
Figure 2.3 – Description macroscopique du maillage durant le procédé de laminage réel, thèse de [Saby, 2013].
Dans la figure 2.3, le maillage macroscopique de la pièce métallique utilisée pour l’opération de laminage est présenté. Une porosité réelle a été considérée. Dans ce travail, les porosités réelles ont été obtenues en utilisant des images tridimensionnelles issues de microtomographie par rayons X. Ensuite, un VER contenant la même porosité a été utilisé avec des conditions aux limites équivalentes à celles perçues localement par la porosité au cours du laminage. Ces conditions aux limites équivalentes EBC (Equivalent Boundary Conditions) sont détaillées dans le paragraphe suivant (2.2.3). La figure 2.4 présente la comparaison entre l’évolution du volume de la porosité dans le cas de la simulation macroscopique industrielle (courbe noire) et celle obtenue dans le cas du VER utilisé. Sur tout l’intervalle de temps [0,0.1s], les deux courbes sont en très bon accord. Cela valide l’utilisation des simulations à champ complet sur VER dans le contexte considéré au lieu de simulations macroscopiques très couteuses en termes de temps de calcul. Pour le cas présenté en figures 2.3 et 2.4, le calcul macroscopique a nécessité près de 11 jours et 9 heures contre 1 jours et 6 heures pour le calcul sur VER, ce qui signifie approximativement une division par 9 du temps de calcul (les calculs sont effectués sur 32 processeurs).
Figure 2.4 – Comparaison de l’évolution du volume de porosité durant la simulation explicite macroscopique du procédé et la simulation sur VER ([Saby, 2013]).
A partir de ce constat, les simulations à champ complet sur VER sont exploitées afin de déve- lopper un modèle à champ moyen (qui sera utilisé à l’échelle macroscopique) capable de prédire l’évolution du volume des porosités en fonction de plusieurs paramètres. [Saby et al., 2015] et [Yin et al., 2008] ont suivi une méthodologie qui consiste à réaliser une large campagne de simu- lations à champ complet sur VER afin de visualiser l’effet des paramètres d’entrée sur la variable étudiée, afin d’en déduire ensuite un modèle mathématiques qui sera utilisé dans des simulations à champ moyen. [Yin et al., 2008] ont essayé de prédire les propriétés de la loi constitutive d’un matériau (variables étudiées) à partir de différentes microstructures définies par des paramètres tels que la taille des grains, leur densité ou bien la fraction de leur volume (paramètres d’entrée).
[Saby et al., 2015] ont prédit l’évolution du volume de la porosité (variable étudiée) en fonction de la triaxialité des contraintes Tx, de la forme de la porosité et de son orientation (paramètres d’en-
trée). À partir de ces observations, un modèle de prédiction est proposé en utilisant une analyse déterministe de cause à effet sur le comportement de la variable étudiée vis-à-vis des paramètres entrées.
La même approche est utilisée dans ce travail. Nous avons lancé une large campagne de simulations à champ complet sur VER. Dans cette campagne, nous avons fait varier les paramètres d’entrée (paramètres géométriques et mécaniques) et avons recueilli ensuite l’évolution du volume et de la matrice d’inertie de la porosité correspondante à chaque simulation. Toutes ces données ont ensuite été sauvegardées dans une base de données.
Dans le paragraphe suivant, nous allons présenter la méthodologie appliquée afin de définir les conditions aux limites équivalentes pour représenter les chargements mécaniques observés pendant les procédés industriels.
2.2.3
Conditions aux limites équivalentes
Afin de reproduire les chargements mécaniques observés durant les procédés industriels, nous avons placé des capteurs locaux sur la pièce. Les chargements mécaniques observés sur ces capteurs sont utilisés comme des conditions aux limites appliquées au niveau des simulations à champ complet sur VER. Les conditions aux limites utilisées dans ce travail ont été utilisées par [Saby et al., 2013]. Elles sont détaillées dans le paragraphe 1.3.4 (voir figure 1.17). Dans la figure 2.5, nous traçons la comparaison entre les variables obtenues à partir de simulation macroscopique du procédé (traits discontinus) et les variables obtenues à partir de simulations sur VER (pointillés) en utilisant les conditions aux limites détaillées dans la figure 1.17 à savoir que les deux simulations sont à champ complet. Les sous figures montrent respectivement l’évolution des contraintesσXXet
σYY, la déformation suivant la direction d’écrasementZZet finalement la triaxialité des contraintes
Tx. Pour les trois premières variables, on constate que les simulations coïncident parfaitement.
Pour la triaxialité des contraintes Tx, on arrive à retrouver la même évolution sur quasiment tout
le chemin de déformation, sauf à la fin où du bruit est observé au niveau de la simulation du procédé. Aussi, on constate qu’avec cette méthode, on peut reproduire un état de triaxialité de contrainte Txquasi-constant tout au long du chemin de la déformation si nécessaire.
À ce stade, nous avons montré la méthodologie que nous allons suivre pour élaborer les simulations à champ complet sur VER. Dans les sections qui suivent, nous allons montrer comment la porosité réelle est idéalisée en termes de porosité équivalente dans ce travail afin de contourner l’irrégularité de la forme réelle des porosités. Ensuite, nous présenterons la validation des choix de paramètres numériques concernant le VER utilisé dans les simulations à champ complet.
(a)σXX= f (t) (b)σYY= f (t)
(c) = f (t) (d) Tx= f ()
Figure 2.5 – Comparaisons de variables mécaniques issues de capteurs placés lors de simulation de procédés industriels et par simulations explicites sur VER avec les conditions aux limites
définies, à partir de [Saby et al., 2013].