Chargement axisymétrique, µ = 1

Par rapport à la triaxialité Tx:

Dans ce paragraphe nous allons étudier la sensibilité du nouveau modèle Cicaporo2S à la triaxialité des contraintes Tx. À titre de rappel, la triaxialité des contraintes Tx est le paramètre

POROSITÉS

mécanique en plus de la déformation équivalente. Dans la figure 3.11, les prédictions des modèles Cicaporo2S, Cicaporo1, Zhang et STB sont tracées en lignes continues verte, bleue, violette et rouge, respectivement. Les résultats de la simulation à champ complet sont tracés par une ligne continue noire. Cette comparaison est effectuée pour une porosité sphérique de rayon r = 2mm. La triaxialité des contraintes Txest représentée par 3 valeurs : {−1, −0.66, −0.33}.

(a) Tx= −0.33 (b) Tx= −0.66

(c) Tx= −1

Figure 3.11 – Comparaison des prédictions du nouveau modèle Cicaporo2S avec les prédictions des modèles STB, Zhang et Cicaporo1 et des simulations à champ complet pour différentes

valeurs de Txet une porosité sphérique.

Dans la figure 3.11a, la triaxialité étudiée est Tx= −0.33. Le modèle STB donne une prédiction

acceptable pour l’évolution du volume. En effet, la fonction du modèle STB est linéaire par rapport à la déformation équivalente, donc il est incapable de suivre l’évolution quadratique de la simulation numérique. Le modèle de Zhang présente une bonne prédiction dans les premiers stades de refermeture. À partir de = 0.3, la cinétique du modèle s’accélère légèrement et s’éloigne de la simulation numérique. Les modèles Cicaporo1 et Cicaporo2S prédisent très bien le volume de la porosité. Le modèle Cicaporo1 est légèrement plus précis par rapport à Cicaporo2S.

Dans la figure 3.11b, Tx= −0.66, la courbe du volume devient quasiment linéaire, pourtant, le

POROSITÉS

question car elle accélère la cinétique de la refermeture. En effet, ce modèle est calibré sur la base de simulations pour des porosités sphériques et tient compte seulement de Tx, il devrait être plus

précis pour ce cas. Des tests ont été faits avec la valeur Kc = 3 et ils ont aboutit à une prédiction

plus précise (erreur moins de 10%). Dans la suite de cette analyse nous allons quand même garder la valeur par défaut Kc= 5, car de toute façon, les comparaisons à venir concernent des paramètres

qui n’ont pas été considérés lors de l’identification de ce modèle. Le modèle Cicaporo1 prédit très bien le volume et permet de produite une évolution linéaire pour suivre l’allure de la refermeture. La prédiction du modèle Cicaporo2S et du modèle de Zhang sont quasi parfaites.

Dans la figure 3.11c, Tx = −1, les mêmes remarques sont valables pour le modèle STB. Par

contre, la prédiction du modèle Cicaporo1 est moins précise que les configurations précédentes mais cela reste dans l’intervalle d’erreur observé lors de l’identification (< 20% à V/V0 = 0.2).

Les modèles Zhang et Cicaporo2S sont toujours aussi précis. On constate que seul le modèle de Zhang est capable de suivre le ralentissement qui apparait aux derniers stades de la refermeture. Cela est dû au fait qu’il considère un ordre 4 de la déformation équivalente, alors que les modèles Cicaporo1 et Cicaporo2S considèrent seulement un ordre 2. On constate aussi que l’allure de la courbe du volume est passée de concave (Tx = −0.33), à linéaire (Tx= −0.66), à convexe (Tx = 1).

Ce changement de convexité est lié à la triaxialité Tx. En effet, plus faible est la triaxialité, plus

compressif est le chargement et donc plus rapide est la refermeture.

Par rapport à la morphologie de la porosité :

Dans ce paragraphe, nous allons comparer le nouveau modèle Cicaporo2S à des simulations numériques en champ complet avec des modèles de prédiction de la littérature : Cicaporo1, Zhang et STB. Cette fois, nous allons visualiser l’effet de la forme de la porosité sur la prédiction des modèles à champ moyen. Pour cela nous allons utiliser 4 porosités de formes différentes : sphérique, ellipsoidale prolate, ellipsoïdale oblate et ellipsoïdale aléatroire. Les dimensions de chaque porosité sont données dans le tableau 3.3 :

Porosité A B C D

Dimensions (mm) ri (2, 2, 2) (2, 1, 1) (2, 2, 1) (2.36, 1.62, 1.35)

Table 3.3 – Dimensions et morphologie des porosités étudiées pour la comparaison.

Il faut rappeler qu’une forme prolate signifie r1> r2= r3, une forme oblate signifie r1= r2> r3

et une forme aléatoire est représentée par r1> r2 > r3.

Dans la figure 3.12, les configurations étudiées correspondent à Tx = −1 et αi = (0◦, 0◦, 0◦).

POROSITÉS

(a) Sphere, r = 2 (b) Prolate, ri= (2, 1, 1)

(c) Oblate, ri= (2, 2, 1) (d) Aleatoire, ri= (2.36, 1.62, 1.35)

Figure 3.12 – Comparaison des prédictions du nouveau modèle Cicaporo2S avec les prédictions des modèles STB, Zhang et Cicaporo1 et des simulations à champ complet pour différentes

formes de la porosité : (a) sphérique, (b,c,d) ellipsoïdales.

utilisé correspond à la configuration utilisée dans le paragraphe précédent (figure 3.11c) donc les mêmes observations sont valables pour ce cas concernant les prédictions des quatre modèles par rapport à la simulation à champ complet.

Dans la figure 3.12b, une porosité ellipsoïdale prolate, ri= (2, 2, 1)mm, est étudiée. On constate

que les prédictions des modèles STB et Zhang n’ont pas changé. En effet, cela est dû au fait que dans ces modèles, aucune information tenant compte de la forme de la porosité n’est utilisée. Les modèles Cicaporo1 et Cicaporo2S prédisent très bien le volume pour cette configuration.

Dans la figure 3.12c, ri = (2, 2, 1)mm, les modèles STB et Zhang sont toujours inchangés. Les

prédictions fournies par les modèles Cicaporo1 et Cicaporo2S sont acceptables et les déviations sont plus importantes. Cependant, on constate que Cicaporo1 surestime la vitesse de fermeture alors que Cicaporo2S le sous-estime, avec une refermeture au même niveau de la déformation équivalente pour ce dernier modèle.

Dans la figure 3.12d, dans le cas de notre porosité aléatoire on constate que la précision du modèle Cicaporo1 a baissé. Cependant, le modèle Cicaporo2S prédit bien le volume jusqu’à 80%

POROSITÉS

de la refermeture où une pente plus accentuée apparait. Le modèle de Zhang semble être ici acceptable.

Dans ce paragraphe, nous avons remarqué que le modèle Cicaporo2S est capable de s’adapter et de prendre en compte la variation de la forme de la porosité, via les paramètresγi. Le modèle

Cicaporo1 est aussi capable de prendre en compte la forme de la porosité. Cependant, les modèles STB et Zhang sont insensibles à la forme de la porosité, car aucune information liée à la forme de la porosité n’est prise en compte.

Par rapport à l’orientation de la porosité :

Dans ce paragraphe, nous étudions l’influence de l’orientation sur les prédictions du modèle Cicaporo2S. Le modèle est comparé avec les mêmes modèles étudiés dans les paragraphes pré- cédents (Cicaporo1, STB, Zhang) et avec les simulations à champ complet réalisées sous Forge NxT. Nous allons aborder ce point sur deux parties : (a) une rotation autour de la direction ~e1

via l’angleα1, et (b) une rotation autour de la direction~e2 via l’angleα2. La rotation autour de la

direction~e3n’est pas étudiée. En effet, dans le cadre du chargement axisymétrique, une rotation

de la porosité autour de la direction~e3n’influence pas l’évolution de la porosité car~e3est aussi la

direction d’écrasement. — Variation selonα1

Ici, la porosité utilisée est de dimensions ri= (3.2, 2.2, 1.4), Tx= −0.33 et l’angle α1varie dans

l’intervalle [0◦_{, 90}◦

] avec un pas de 15◦

.

Figure 3.13 – Comparaison de la prédiction du nouveau modèle Cicaporo2S avec les prédictions des modèles STB, Zhang et Cicaporo1 et de la simulation champ complet pour différentes

orientations. Présentée ici pourαi= (90◦, 0◦, 0◦).

Dans la figure 3.13, les quatre modèles de prédiction sont tracés en comparaison avec la simulation champ complet pour le casαi= (90◦, 0◦, 0◦). Le modèle STB produit une évolution

POROSITÉS

acceptable. Le modèle de Zhang est aussi acceptable mais il présente une accélération à  ≈ 0.3 qui le fait surestimer la vitesse de refermeture. Cela est dû au terme du 4me _ordre

considéré dans le modèle de Zhang (équation 1.26). Le modèle Cicaporo1 prédit parfaitement l’évolution pour cette configuration tandis que le modèle Cicaporo2S présente une légère sous-estimation de la vitesse de refermeture.

Dans la figure 3.14, la comparaison entre les modèles Cicaporo1 et Cicaporo2S avec les simulations à champ complet est présentée pour le reste de la variation de α1. Ici, les

modèles STB et Zhang ne sont pas présentés car ils ne tiennent pas compte de l’orientation de la porosité, ce qui signifie qu’ils fourniront les mêmes prédictions que celles présentées dans dans la figure 3.13 malgré la variation deα1.

(a)α1= 60 ◦ (b)α1= 45 ◦ (c)α1= 30 ◦ (d)α1= 0 ◦

Figure 3.14 – Comparaison des prédictions du nouveau modèle Cicaporo2S avec les prédictions du modèle Cicaporo1 et des simulations à champ complet pour différentes orientations de la

porosité (variation deα1).

On constate que les deux modèles suivent bien la variation du volume due à la variation de l’orientation. On constate que le modèle Cicaporo1 prédit très bien l’évolution pour tous les cas utilisés sauf pour le casα1 = 0◦. En effet, cette orientation représentait le maximum de

POROSITÉS

aussi bien l’évolution du volume pour tous les cas présentés. Cette aptitude à suivre la variation de l’orientation est possible, pour les modèles Cicaporo1 et Cicaporo2S, grâce à l’utilisation des paramètres pi qui définissent l’orientation de la porosité par rapport à la

direction de l’écrasement. — Variationα2 (a)α2= 0 ◦ (b)α2= 30 ◦ (c)α2= 60 ◦ (d)α2= 90 ◦

Figure 3.15 – Comparaison des prédictions du nouveau modèle Cicaporo2S avec les prédictions du modèle Cicaporo1 et des simulations à champ complet pour différentes orientations de la

porosité (variation deα2).

Dans ce paragraphe, la variation de la rotation suivant la deuxième direction est abordée. Dans la figure 3.15, la porosité utilisée est de dimensions ri = (2, 1.5, 1) avec Tx = −0.33 et

α2varie entre 0◦ et 90◦. Les mêmes observations faites pour le paragraphe précédent sont

valables ici aussi. Cela prouve que le modèle Cicaporo2S est capable de suivre la variation de l’orientation de la porosité. En comparant ces deux modèles, le modèle Cicaporo1 est souvent légèrement plus précis que le modèle Cicaporo2S. En effet, le modèle Cicaporo1 compte six constantes pour prendre en compte la géométrie de la porosité (voir l’équation 1.29) alors que le modèle Cicaporo2S n’en compte que deux associées au paramètre S. Ce choix est fait afin de réduire le nombre de constantes du modèle, tout en gardant une bonne

POROSITÉS précision dans les prédictions.