Invariants adiabatiques

Les particules ´energ´etiques ont assez d’´energie pour ressentir les forces magn´ e-tiques, elles ne sont plus gel´ees dans le plasma et peuvent donc ”d´eriver” de leur ligne de champ magn´etique. Ces particules ´energ´etiques subissent deux types de d´erive magn´etique : la d´erive de gradient et la d´erive de courbure. La d´erive de gra-dient intervient lorsque le champ magn´etique est faiblement inhomog`ene, et poss`ede donc un gradient dans une certaine direction, alors la particule d´erive perpendicu-lairement `a la direction du champ magn´etique et `a celle du gradient. La d´erive de courbure intervient quant `a elle lorsque les lignes de champ magn´etique sont cour-b´ees (la particule subit une force centrifuge), et la d´erive est aussi perpendiculaire

au champ magn´etique et `a sa courbure. Dans un champ dipolaire la courbure et

le gradient du champ magn´etique ´etant dans le mˆeme sens (dirig´es vers la Terre), et le champ magn´etique ´etant dirig´e vers le Nord, ces deux d´erives ont la mˆeme direction et les particules d´erivent en longitude autour de la Terre (voir Fig.2.1). Additionnant les deux d´erives d´ecrites pr´ec´edemment, la d´erive magn´etique totale s’´ecrit : v_B = v_courbe+ v_∇ = (v²_k+ ¹ 2^v 2 ⊥)^B× ∇B ΩB2 (2.1)

o`u Ω est la fr´equence de giration de la particule, v<sub>courbe</sub> la d´erive de courbure et v<sub>∇</sub> la d´erive de gradient. On peut noter que, la fr´equence de giration ´etant d´ependante de la charge, la d´erive magn´etique totale poss`ede un sens diff´erent pour les ´electrons (ouest en est) et pour les ions (est en ouest). La s´eparation de ces charges cr´ee donc un courant toro¨ıdal (annulaire dans la coupe ´equatoriale) sous l’action duquel les particules ont une trajectoire circulaire (ferm´ee) autour de la Terre, d’o`u le nom de ”courant annulaire”.

En r´ealit´e, les particules ne poss`edent pas toutes une orbite de d´erive ferm´ee, car elles subissent aussi une d´erive ´electrique en plus de leur d´erive magn´etique. En effet, en pr´esence d’un champ ´electrique, une particule en giration autour d’une ligne

de champ magn´etique subit une d´erive dite E × B de la forme (voir Baumjohann

v_E = ^E× B

B2 (2.2)

La pr´esence du champ ´electrique de convection (dirig´e vers l’ouest) d´ecrit en Section 1.2.1 induit donc une d´erive vers le cˆot´e jour des particules, en plus de la d´erive annulaire magn´etique.

En plus de tout cela, nous avons vu que la rotation de la Terre sur elle-mˆeme entraˆıne une corotation du plasma environnant, qui ne d´epend donc pas de la charge des particules, ce qui n’est pas le cas de la d´erive magn´etique. Pour les ´electrons, la d´erive magn´etique s’ajoute `a la vitesse de corotation, les trajectoires des ´electrons ´energ´etiques ´etant donc assez proches des ´electrons de basse ´energie (renflement du cˆot´e soir), except´e le fait que la r´egion o`u les trajectoires de d´erive sont ferm´ees s’´etend `a de plus grandes distances radiales pour de plus grandes ´energies ´ electro-niques, comme on peut le voir en Fig.2.2. Cependant, la d´erive magn´etique des ions ´energ´etiques ´etant oppos´ee `a la vitesse de corotation, les trajectoires de ces ions sont similaires `a celles des ´electrons pour les basses ´energies, mais invers´ees (renfle-ment du cˆot´e matin) pour les hautes ´energies ioniques (voir par exemple Lyons and Williams, 1984, p.82).

Pour r´esumer, il y a donc trois forces principales qui sont en comp´etition pour r´egir la trajectoire des particules ´energ´etiques dans la magn´etosph`ere interne : la d´erive magn´etique totale (de courbure et de gradient) due au champ magn´etique dipolaire, la d´erive ´electrique due au champ ´electrique de convection, et la vitesse de corotation du plasma due `a la rotation de la Terre. Comme nous l’avons vu, la balance de ces forces d´epend de l’´energie des particules, mais aussi de la distance `a la Terre. En effet, la d´erive magn´etique et la vitesse de corotation dominent `a faible distance de la Terre, mais la d´erive ´electrique les surpasse `a partir d’une certaine distance radiale. Les trajectoires des particules de basse ´energie, dans la magn´ eto-sph`ere interne, sont donc r´egies principalement par la vitesse de corotation et la d´erive ´electrique, tandis que les trajectoires des particules ´energ´etiques sont r´egies principalement par les d´erives magn´etiques et ´electriques. Ainsi, combinant les deux d´erives et la corotation, la trajectoire typique des ´electrons suprathermiques pour diff´erentes ´energies est montr´ee en exemple en Fig.2.2. Pr`es de la Terre se dessine donc un courant annulaire sym´etrique et asym´etrique (orbites ferm´ees) et dans la r´ e-gion interm´ediaire est pr´esent un courant annulaire partiel (orbites ouvertes), avant

Fig. 2.1:Sch´ema repr´esentant les trois mouvements d’une particule ´energ´etique pi´eg´ee dans le champ magn´etique (ici dipolaire) de la Terre : giration, rebond et d´erive. Le sens de la d´erive magn´etique en fonction de la charge de la particule est montr´e, ainsi que son point miroir de rebond le long de la ligne de champ.

que la d´erive ´electrique ne surpasse totalement les autres forces `a plus large distance radiale.

Nous avons vu dans la Section 1.2.2 que les particules ´energ´etiques (T  0) des ceintures de radiation effectuent simultan´ement trois mouvements diff´erents, leur conf´erent leur forme toro¨ıdale caract´eristique repr´esent´ee en Fig.1.4. Si les varia-tions du syst`eme sont lentes par rapport aux ´echelles de temps de ces mouvements (c’est le cas pour des ceintures de radiation non perturb´ees), alors chacun de ces mouvements est associ´e `a un invariant adiabatique. Ceci signifie que en l’absence de force perturbatrice (une onde par exemple), l’int´egrale d’action

J_i = I

p_idq_i (2.3)

est une constante du mouvement, o`u la paire de variables (p_i, q_i) sont respec-tivement le moment et la coordonn´ee g´en´eralis´es de la m´ecanique Hamiltonienne. L’int´egration doit se faire sur un cycle entier de q_i. Ces trois mouvements sont r´esum´es en Fig.2.1

Fig. 2.2:Trajectoire typique des ´electrons suprathermiques, de diff´erentes ´energies, dans le plan ´equatorial de la magn´etosph`ere interne sous l’effet des d´erives ´electriques et magn´etiques et de la corotation du plasma (d’apr`es Lyons and Williams (1984)).

2.1.1.1 Premier invariant adiabatique

Le premier invariant adiabatique, aussi appel´e moment magn´etique µ d’une par-ticule, repr´esente la quantit´e conserv´ee le long de la trajectoire h´elico¨ıdale de la particule et correspond donc au mouvement de giration des particules autour de la ligne de champ magn´etique. Il est d´efini par

J₁ = ^W⊥

B ⁼

mv²sin²α

2B ^(2.4)

o`u B est l’intensit´e du champ magn´etique, W_⊥ est l’´energie perpendiculaire (au champ magn´etique) de la particule, m et v sont respectivement la masse et la vitesse de la particule, et α est son angle d’attaque α = tan⁻¹(v_⊥/v_k).

J₁ ´etant invariant et l’´energie totale de la particule ´etant une constante du mou-vement, seul l’angle d’attaque peut changer lors de variations de l’intensit´e magn´

e-tique. Dans un champ magn´etique convergent vers les pˆoles comme celui de la Terre, une particule se dirigeant vers les pˆoles, le champ magn´etique augmentant, son angle d’attaque va augmenter aussi et donc son ´energie perpendiculaire W_⊥, au d´etriment de son ´energie parall`ele W<sub>k</sub>. De plus, le rayon de giration de la particule va diminuer progressivement, tel que le flux magn´etique encercl´e par l’orbite de la particule reste constant. Lorsque α atteint 90<sup>◦</sup>, son ´energie parall`ele est nulle et la particule ne peut pas p´en´etrer plus loin et est repouss´ee par la ”force miroir”. Elle est alors r´efl´echie `a son point miroir B<sub>m</sub>, repr´esent´e en Fig.2.1. Dans un champ dipolaire, les lignes de champ convergent aux deux pˆoles Nord et Sud, donc la particule peut effectuer des ”rebonds” entre les deux h´emisph`eres et se retrouve alors ”pi´eg´ee” dans le champ magn´etique.

2.1.1.2 Deuxi`eme invariant adiabatique

Le deuxi`eme invariant adiabatique est associ´e `a ce mouvement de rebond poss´ e-dant une ”p´eriode de rebond” ω_b. Il est parfois appel´e invariant longitudinal et est d´efini par

J₂ = I

mv_kds (2.5)

o`u v<sub>k</sub> est la vitesse parall`ele de la particule, ds est un ´el´ement de la trajectoire du centre de giration. L’int´egration est r´ealis´ee sur une oscillation enti`ere entre les deux points miroirs. Pour des variations ´electromagn´etiques de fr´equence ω  ωb,

le deuxi`eme invariant est donc une constante du mouvement, quels que soient les

changements induits par les variations de champ ´electrique ou magn´etique.

2.1.1.3 Troisi`eme invariant adiabatique

Le troisi`eme invariant J₃, associ´e au mouvement de d´erive des particules, est aussi appel´e invariant de d´erive (parfois not´e Φ). C’est le flux magn´etique encercl´e par l’orbite p´eriodique d’une particule charg´ee pi´eg´ee dans un champ magn´etique asym´etrique (configuration miroir), lorsque cette particule effectue des orbites fer-m´ees. Il est d´efini par

J₃ = I

o`u v<sub>d</sub> est la somme de toutes les vitesses de d´erive perpendiculaire, ϕ est l’angle azimutal, et l’int´egration doit se faire sur une orbite enti`ere de la particule. Lorsque la fr´equence typique des champs ´electromagn´etiques est bien plus faible que la fr´ e-quence de d´erive (ω  ωd), alors J₃ est invariant et ´egal au flux magn´etique tel que

J₃ = ^2πm

q2 M = const (2.7)

o`u M est le moment magn´etique du champ magn´etique asym´etrique.