Intensit´e du signal de cisaillement

Dans le chapitre 3 j’ai pr´esent´e les ´equations de bases de l’effet de lentille gravi- tationnelle. Dans le cadre du weak lensing par un amas de galaxies, les 2 grandeurs utiles sont le cisaillement γ et la convergence κ. Ces 2 grandeurs sont des fonc- tions des d´eriv´ees secondes du potentiel projet´e qui est lui-mˆeme proportionnel via la densit´e surfacique de masse critique Σc `a ce que j’appellerai par la suite le fac-

teur g´eom´etrique β = Dls/Dos, le rapport entre les distances (diam`etre-angulaire)

lentille-source et observateur-source. Ce facteur repr´esente en quelque sorte l’inten- sit´e du signal en fonction de la g´eom´etrie du syst`eme : l’action de l’amas sur la forme d’une galaxie sera d’autant plus efficace si celle-ci est ´eloign´ee de l’amas.

On peut re´ecrire le cisaillement r´eduit g sous une forme faisant intervenir de mani`ere explicit´e cette d´ependance g´eom´etrique (Hoekstra et al. 2000) :

g = γ

1_{− κ} =

βsγ∞

1_{− β}sκ∞

(4.8) o`u βs = β/β∞ et β∞, γ∞, κ∞ sont les fonctions prises pour une galaxie lentill´ee

situ´ee `a l’infini.

Dans le cas de l’estimation de la masse d’un amas `a partir du profil de cisaillement r´eduit, on r´ealise une moyenne du cisaillement individuel port´e par chaque galaxie lentill´ee et donc on mesure le cisaillement r´eduit moy´enn´e sur la distribution en

redshif ts des galaxies :

&g' = /zmax zamas_/ g(z)N (z)dz zmax zamasN (z)dz (4.9) Une simplification peut ˆetre r´ealis´ee ici si l’on suppose ˆetre dans l’approximation

weak lensing, c’est-`a-dire κ << 1, g ∼ γ. Le probl`eme se r´esume alors `a int´egrer le

facteur g´eom´etrique β sur la distribution N (z) des galaxies.

Avant toute chose, regardons la d´ependance de β avec le redshif t de l’amas et celui de la galaxie source. Sur la figure 4.15 sont r´epr´esent´ees les fonctions β(zs) pour

un redshif t d’amas de 0.2, 0.5 et 0.8. On voit clairement sur ce graphique que dans le cas d’amas `a bas redshif t, la d´ependance du cisaillement avec la distance des sources est relativement faible et le probl`eme se r´eduit alors `a avoir une id´ee

Fig. 4.15: Facteur g´eom´etrique β en fonction du redshift de la galaxie source, et ce pour 3

redshif t d’amas diff´erents, zl=0.2, 0.5 et 0.8. La cosmologie utilis´ee pour d´eterminer les distances

angulaire est un univers ΛCDM. Les 2 lignes verticales d´elimitent l’intervalle de redshifts typiques

zs des galaxies d’arri`ere-plan.

du redshif t moyen des galaxies. Autrement dit, on peut faire l’approximation que toutes les galaxies sont au mˆeme redshif t et que _{&β(z)' ∼ β(&z'), avec typiquement}

z ∼ 1 (par exemple, Okabe & Umetsu (2008); Radovich et al. (2008)).

Pour des amas `a plus haut redshif t, il devient n´ecessaire de connaˆıtre N (z). Deux approches diff´erentes peuvent ˆetre utilis´ees pour cela.

La premi`ere consiste `a utiliser une fonction analytique dont les param`etres libres ont ´et´e ajust´es sur des catalogues de galaxies avec des redshif ts connus (spectro- scopiques ou photom´etriques) et s’en servir pour d´eterminer <sub>&β' (par exemple, Seitz</sub> et al. (1996); Hoekstra et al. (1998); Gavazzi et al. (2004)). La seconde option, la plus utilis´ee, fait l’hypoth`ese que la distribution N (z) reste la mˆeme quelque soit le champ d’observation pour des crit`eres de s´elections identiques (variance cosmique n´eglig´ee donc). En triant un catalogue de galaxies de la mani`ere dont on cr´e´e le cata- logue de galaxies lentill´ees, on obtient une distribution de galaxies a priori identique mais avec des redshif ts connus ou estim´es. Par exemple, Cypriano et al. (2004); Hoekstra (2007); Pedersen & Dahle (2007) ont utilis´e les redshif ts du Hubble Deep Field HDF (Fern´andez-Soto et al. 1999), Oguri et al. (2009); Dietrich et al. (2009); Lu et al. (2010) ceux du VVDS (Ilbert et al. 2006).

J’ai adopt´e ici cette seconde approche, `a savoir estimer&β' sur une distribution N(z)

bien connue. Pour cela, je me suis servi des redshif ts photom´etriques du CFHTLS

Deep d´ecrits pr´ec´edemment. A partir du catalogue de galaxies du champ D1, j’ ai

appliqu´e pour chaque amas les mˆemes crit`eres de s´election (21 < mr" < mcomp+ 0.5,

4.4. D ´ETAILS DE L’ANALYSE LENSING 121

&max(0, β(zs))' = (Nback/(Nback + Nf ore))&β'vrai (puisque β(z < zamas) < 0). C’est

ici qu’apparaˆıt le moyen de s’affranchir de la dilution du catalogue de sources par des galaxies d’avant-plan. En effet, si on part du principe que les galaxies de champ sont distribu´ees en redshif ts de la mˆeme mani`ere en tout point du ciel, alors les mˆemes crit`eres de s´elections appliqu´es sur 2 r´egions d’observation diff´erentes doivent abou- tir `a 2 distributions identiques. Que ¸ca soit pour le calcul de gobs _{ou de&β' selon la}

m´ethode indiqu´ee ici, on inclue a priori la mˆeme quantit´e de galaxies d’avant-plan, c’est-`a-dire avec des redshif ts inf´erieurs `a une certaine limite. De plus, si on suppose

g _{≈ γ = &β'.f(M}amas) o`u f (Mamas) repr´esente la partie du cisaillement qui d´epend

uniquement de la masse du d´eflecteur, alors on a :

gobs ≈ &β'obs_{.f (M}obs amas) =

Nback

Nback + Nf ore&β'

vrai_{.f (M}obs amas)

gobs = Nback

Nback+ Nf ore

gvrai = Nback

Nback + Nf ore&β'

vrai_{.f (M}vraie amas)

soit Mobs

amas = Mamasvraie. Le probl`eme de la dilution est donc facilement r´esolu pour

les estimateurs de cisaillement bas´es sur des moyennes sur plusieurs galaxies dans le r´egime weak lensing g ≈ γ. D’o`u le parti pris de ne pas utiliser les redshifts

photom´etriques comme crit`ere de s´election, certes efficaces, mais qui am`enent `a sup- primer un trop grand nombre de galaxies du catalogue final de sources.

Bien que sensiblement plus rigoureuse, cette approche qui consiste `a int´egrer la d´ependance g´eom´etrique du cisaillement sur la distribution en redshif ts des galaxies reste une approximation. En effet, on mesure le cisaillement r´eduit g qui n’est pas lin´eaire en β. On peut toujours se ramener `a ajuster le profil de cisaillement mesur´e par g(&β') = &βs'γ∞/(1− &βs'κ∞), mais cela revient en fait `a l’hypoth`ese que toutes

les galaxies sont `a la mˆeme distance. En effet, on peut d´efinir un redshif t effectif tel que β(zef f) = &β(z)' et alors g(&β') = g(zef f). Ces redshif ts effectifs seront

d’ailleurs utiles lors de l’anaylse `a 2 dimensions.

Cette non-lin´earit´e peut ˆetre estim´ee, du moins au premier ordre et ainsi on peut se faire une id´ee de l’erreur induite (par exemple, Seitz & Schneider (1997); Hoekstra et al. (2000); Medezinski et al. (2007)). Reprenons l’expression du cisaillement r´eduit

g moy´enn´e sur plusieurs galaxies,&g' = &βsγ∞/(1− βsκ∞)'. On peut d´evelopper le

d´enominateur au premier ordre pour avoir :

&g' - &βsγ∞(1 + βsκ∞)' = γ∞&βs'(1 + &β

2

s'

&βs'

κ∞) (4.10) o`u on a utilis´e l’additivit´e de la moyenne. En utilisant l’approximation (1_{− x) -} 1/(1 + x) si x << 1, et en posant f = (βs2)

(βs)2, alors on obtient :

&g' = &γ'

1− f&κ' (4.11)

avec &γ' = &βs'γ∞ et &κ' = &βs'κ∞. On peut ainsi facilement exprimer l’erreur

commise en ajustant les profils de cisaillement par g(_{&β') `a la place de &g(β)' :}

g(_&β') &g(β)' = ' &γ' 1− &κ' ( . ' 1_{− f&κ'} &γ' ( = 1− f&κ' 1− &κ' (4.12)

ce qui donne l’expression donn´ee dans Hoekstra et al. (2000) (en restant au premier ordre toujours) :

g(&β')

&g(β)' = 1 +&κ'(1 − f) < 1 (4.13)

On voit alors qu’ajuster le profil mesur´e_{&g(β)' par le cisaillement au redshift effectif}

g(_{&β') = g(z}ef f) revient `a sur-estimer la masse de l’amas puisque le second est

inf´erieur au premier. Un rapide calcul montre cependant que cet effet est limit´e, mˆeme dans les r´egions centrales et pour les amas les plus massifs. Cet effet sera n´eanmoins corrig´e (les valeurs du facteur de correction f sont obtenues de la mˆeme mani`ere que les β, `a partir des redshif ts du CFHTLS), mˆeme s’il entre en conflit avec le raisonnement tenu plus haut sur la correction de la dilution du signal par les galaxies d’avant-plan, celui-ci n’´etant valable que loin du centre, l`a o`u le cisaillement r´eduit g ≈ γ devient lin´eaire avec β.