Instabilit´e visco´elastique

x y Maillage (4*4)*4 niveaux 1 m 1 m _{C. L. 2 C. L. 2} C. L. 1 C. L. 1 Conditions Limites 1 : σyx = 0 et V_y = 0 2 : σ_xy = 0 et V_x = 0 Propriétés matériaux

Disque : η = 100 Pa.s, µ = 100 Pa. Incompressible, ρ = 10 kg/m³ Fluide : η = 1 Pa.s, µ = 1 Pa.

Incompressible, ρ = 0 kg/m3

- Initialement 16 particules par éléments finis - Appétit de 0,8

- Contraintes sur les poids jusqu'aux termes linéaires

Pesanteur : g = 10 m/s2

FIG. 4.6 – Pr´esentation des conditions limites du d´eplacement d’un disque visco´elastique dans un milieu visco´elastique et des param`etres mat´eriaux.

Dans un premier temps, il est int´eressant d’´etudier la stabilit´e du sch´ema d’int´egration du premier ordre pr´esent´e au paragraphe 3.2.2 pour des mat´eriaux visco´elastiques. Puis, nous ´etudions la stabilit´e du sch´ema d’int´egration dans le temps que nous avons choisi.

(a) (b) (c)

FIG. 4.7 –(a) Configuration initiale, (b) le disque coule dans le milieu visco´elastique et (c) le disque atteint le fond de la boˆıte et se d´eforme sous son poids propre.

Nous mod´elisons un disque visco´elastique baignant dans un fluide visco´elastique moins dense. Le disque se d´eplace sous l’action de la gravit´e. Les conditions limites, le maillage et les caract´eristiques des mat´eriaux sont pr´esent´es `a la figure 4.6. Une couleur diff´erente est attribu´ee `a la partie sup´erieure du fluide pour suivre le processus de d´eformation au cours du temps.

Chapitre 4. Simulations num´eriques 0 200 400 600 800 Temps (s) -50 -40 -30 -20 -10 0

Logarithme du pas de temps

(a) (b)

(c)

FIG. 4.8 –Le pas de temps de l’advection∆ten fonction du nombre de pas de temps. Les trois courbes correspondent `a diff´erentes valeurs pour les pas de temps ´elastiques initiaux :10−6s (a),10−5s (b) et10−4s (c).

Pour le sch´ema d’int´egration du premier ordre, le pas de temps ´elastique ∆te, tel que d´ecrit au para-graphe 3.2.2, est pris identique au pas de temps de l’advection ∆t automatiquement calcul´e dans le code num´erique. Ind´ependamment de la valeur initiale du pas de temps ´elastique, nous observons, sur la courbe en ´echelle logarithmique de la figure 4.8, une baisse brutale des deux pas de temps sur les premiers pas de calcul, puis une baisse lin´eaire au cours du temps.

Pour expliquer cette ´evolution, nous devons analyser les relations qui existent entre les diff´erents param`etres du calcul. A la fin d’un pas de calcul, ∆test calcul´e en fonction du champ des vitesses comme indiqu´e `a l’´equation (2.65). Admettons que ce pas de temps est inf´erieur au ∆te du pas de calcul pr´ec´edent, il fait diminuer la viscosit´e effectiveηeff, et par cons´equent, fait augmenter les vitesses au prochain pas de calcul. Le nouveau ∆t est donc encore plus petit, la viscosit´e effective est plus petite aussi et le champ de vitesse encore plus grand. Ce cercle vicieux m`ene `a une instabilit´e num´erique dans le sens o`u apr`es quelques pas de temps, plus rien ne va bouger par la cause d’un pas de temps infiniment petit.

Une autre interpr´etation de cette diminution des pas de temps est de dire que le code num´erique essaie de capter tous les ph´enom`enes ´elastiques. Comme ceux-ci ont lieu `a une ´echelle de temps infiniment petite, les pas de temps tendent rapidement vers z´ero.

Pour ´eviter cette instabilit´e num´erique, le pas de temps ´elastique ∆te est choisi ind´ependamment de∆t. Dans le cas pr´esent, il est fix´e `a un milli`eme du temps de relaxation des mat´eriaux, soit10−3s. Dans le calcul automatique de ∆tfait par le code, de telle sorte qu’une particule ne traverse pas un ´el´ement en un pas de temps, nous ajoutons la contrainte que∆tdoit ˆetre inf´erieur `a∆te. Nous verrons au paragraphe 4.1.3 le ratio

4.1. Cas tests num´eriques avecellipsis 4 Temps (s) 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 Position de la sph ère (m) 0 1 ₂ 3 Réponse élastique Réponse viscoélastique Réponse visqueuse

FIG. 4.9 –Position du centre du disque en fonction du temps.

entre ces deux param`etres qu’il faut prendre pour obtenir une bonne approximation dans la mod´elisation num´erique.

En effectuant le calcul num´erique, nous trouvons que le processus se d´ecompose en trois phases successives illustr´ees `a la figure 4.9 :

– R´eponse ´elastique instantan´ee du fluide. Initialement (figure 4.7-a) aucune contrainte interne n’est sp´eci-fi´ee dans aucun des mat´eriaux. Si un mat´eriau visco´elastique est charg´e par une force, alors il se d´eforme instantan´ement, d’o`u un d´eplacemement rapide du disque. Cette phase se termine quand le champ des contraintes qui se cr´ee dans le fluide, ´equilibre l’effet de la gravit´e sur le disque.

– D´eplacement du disque `a vitesse constante. Une d´eformation visqueuse du fluide est observ´ee avec re-distribution du champ des contraintes ´elastiques (figure 4.7-b) autour du disque au fur et `a mesure que celui-ci descend. C’est un ph´enom`ene quasi statique o`u la viscosit´e et l’´elasticit´e du fluide jouent un rˆole. – D´eformation visqueuse du disque. Le disque a maintenant atteint le sol (figure 4.7-c) et les contraintes dans le fluide ne jouent plus aucun rˆole. Par cons´equent, la d´eformation du disque est uniquement due `a son poids propre. Les contraintes dans le fluide disparaissent petit `a petit par relaxation du mat´eriau. Le pas de temps ´elastique peut ˆetre modif´e pour une valeur plus petite afin de d´ecrire avec une plus grande pr´ecision le d´eplacement initial. Si ∆te tend vers z´ero, alors la r´eponse tend vers la solution ´elastique instantan´ee. Cette discussion est en relation avec la d´efinition du nombre de DeborahD_ed’un ph´enom`ene physique

De = ^{Temps de relaxation}

Chapitre 4. Simulations num´eriques

Ce nombre permet de diff´erencier un solide d’un fluide. En effet, si le temps d’observation est tr`es grand par rapport au temps de relaxation du mat´eriau, c’est-`a-dire si De est tr`es petit, alors l’observateur a le temps de voir la mati`ere s’´ecouler comme un fluide. C’est pour cela qu’`a l’´echelle g´eologique, les roches sont consid´er´ees comme des fluides visqueux. Dans notre cas, si nous souhaitons capter la r´eponse ´elastique du mod`ele, nous devons choisir ∆te, pas de temps d’observation, plus petit que le temps de relaxation du mat´eriau. Le d´eplacement initial se d´eroule alors sur un temps d’observation tr`es court, beaucoup plus court que le temps de relaxation du mat´eriau. Ceci implique un nombre de Deborah ´elev´e, d’o`u l’obtention de la r´eponse ´elastique.

Nous allons `a pr´esent quantifier exactement la pr´ecision de ce sch´ema d’int´egration dans le temps en com-parant des r´esultats num´eriques avec une solution analytique.