Choix de l’´el´ement fini

2.2 M´ethodes it´eratives de r´esolution de syst`emes lin´eaires . . . . 45

2.2.1 Description . . . . 46 2.2.2 Erreur et taux de convergence . . . . 48

2.3 M´ethodes num´eriques de r´esolution d’´equations coupl´ees . . . . 50

2.3.1 It´erations d’Uzawa . . . . 51 2.3.2 M´ethode du gradient conjugu´e . . . . 52

2.4 M´ethodes multigrilles . . . . 53

2.4.1 Id´ees de base . . . . 54 2.4.2 Description des sch´emas multigrilles . . . . 56

2.5 Hi´erarchisation des ´etapes de r´esolution dans ellipsis . . . . 60 2.6 Implantations num´eriques de la MEFPIL . . . . 63

2.6.1 Int´egration num´erique . . . . 63 2.6.2 Matrices ´el´ementaires . . . . 66 2.6.3 S´eparation et fusion de particules . . . . 66 2.6.4 Correspondance inverse dans un ´el´ement . . . . 69 2.6.5 Advection des particules . . . . 70 2.6.6 Conditions limites Lagrangiennes . . . . 71 2.6.7 Discussion . . . . 72

2.1. Discr´etisation par ´el´ements finis

L’objectif de ce chapitre est de pr´esenter l’algorithme utilis´e dans ellipsis pour r´esoudre des probl`emes de m´ecanique. Dans un premier temps, nous traitons le choix d´elicat du type d’´el´ement fini pour la mod´elisation du comportement des milieux incompressibles. Dans un deuxi`eme temps, une description d´etaill´ee est faite de la m´ethode de r´esolution des ´equations coupl´ees discr`etes du probl`eme. Enfin, nous terminons ce chapitre par la pr´esentation des caract´eristiques num´eriques sur le codage de la MEFPIL par rapport `a la m´ethode classique des ´el´ements finis.

2.1 Discr´etisation par ´el´ements finis

Dans le cas de mat´eriaux incompressibles, comme illustr´e au paragraphe 1.1.2, il est n´ecessaire de traiter la pseudo-pressionqcomme une variable ind´ependante du champ de vitessev. Avant d’appliquer la m´ethode des ´el´ements finis, il reste `a d´eterminer quel type d’´el´ement (forme g´eom´etrique et degr´e d’interpolation) nous allons choisir pour r´esoudre num´eriquement notre probl`eme.

2.1.1 Choix de l’´el´ement fini

Dans la m´ethode des ´el´ements finis, le choix des fonctions d’interpolation est dict´e par la loi de comporte-ment du mat´eriau et par la g´eom´etrie du solide consid´er´e. Pour des mat´eriaux quasi incompressibles, une difficult´e demeure dans le choix du type d’´el´ement. En effet, certains ´el´ements pr´esentent un ph´enom`ene de blocage (”mesh locking”), il faut donc trouver imp´erativement un ´el´ement ne pr´esentant pas de blocage et ayant aussi de bonnes performances num´eriques (convergence).

Nous avons d´ej`a remarqu´e au paragraphe 1.1.4 que la pression peut ˆetre discontinue entre deux ´el´ements. Cela laisse donc une plus grande libert´e de choix pour les fonctions de forme de la pseudo-pression que pour les fonctions de forme de la vitesse qui doivent ˆetre continues et d´erivables.

2.1.1.1 Blocage du maillage

Ce comportement ind´esirable a tr`es largement ´et´e ´etudi´e par des math´ematiciens (Babuˇska, Ladyzhenskaya, etc ...). Nous pr´ef´erons l’illustrer dans le cas particulier classique de l’´el´ement triangulaire (figure 2.1) avec un champ de vitesse lin´eaire et une pression constante.

Etant donn´e les conditions limites en vitesse des ´el´ements I et II, seul le nœud3peut se d´eplacer. D’apr`es la forme variationnelle (1.21), le champ de vitesse `a l’int´erieur de tout ´el´ementedoit v´erifier :

Z Ωe

∇v dV = 0 (2.1)

Ce qui signifie, en d’autres termes, que la surface (le volume en 3D) de chaque ´el´ement doit rester constante. Par cons´equent, la vitesse du nœud3appartenant `a l’´el´ement I doit ˆetre horizontale et de mˆeme la vitesse du nœud 3de l’´el´ement II doit ˆetre verticale. La conclusion pour satisfaire ces deux conditions est que la vitesse du nœud3est nulle.

Chapitre 2. Pr´esentation du codeellipsis 1 ₂ 3 4 5 6 7 8 9 I II III IV V VI VII VIII

FIG. 2.1 –Partie d’un maillage d’´el´ements triangulaires fix´e sur deux cˆot´es (patch test).

Ce r´esultat peut aussi ˆetre d´eduit en remarquant que la vitesse est lin´eaire sur l’´el´ement, ce qui entraˆıne que ∇v est constant. En utilisant la relation (2.1), nous d´eduisons que∇v est nulle en tout point de l’´el´ement. Par cons´equent, d`es qu’un nœud a une condition au limite en d´eplacement nulle, tout l’´el´ement est bloqu´e. De proche en proche, et par le mˆeme raisonnement, nous pouvons conclure que tout le maillage est bloqu´e quelque soit le nombre d’´el´ements utilis´es.

Pour rem´edier `a ce mauvais comportement pour des mat´eriaux incompressibles, il va falloir faire appel `a des ´el´ements finis qui appliquent une contrainte volumique moins forte. En d’autres termes, il va falloir relaxer la condition d’incompressibilit´e lors de l’´ecriture de la formulation faible.

2.1.1.2 Crit`eres de choix

Pour choisir un ´el´ement fini, il faut tenir compte de ses performances num´eriques (convergence), de sa complexit´e g´eom´etrique pour son utilisation dans les sch´emas multigrilles, mais la cl´e de ce choix pour une formulation mixte est la condition n´ecessaire et suffisante de stabilit´e LBB (Ladyzhenskaya-Babuˇska-Brezzi) aussi connue sous le nom de Babuˇska-Brezzi. Malheureusement, la v´erification de cette condition est loin d’ˆetre triviale. Hughes (1987) pr´esente une approche heuristique pour d´eterminer la capacit´e d’un ´el´ement `a mod´eliser un comportement incompressible. Ce d´eveloppement s’appuie sur le calcul du rapport

rd´efini par :

r = ^neq

n_c ^(2.2)

o`u neq et nc sont respectivement le nombre d’´equations de vitesse (degr´es de libert´e) et le nombre de contraintes d’incompressibilit´e. Nous pouvons alors d´eduire la r`egle pratique suivante pour le choix d’un

2.1. Discr´etisation par ´el´ements finis

´el´ement en2D :

r >2 Pas assez de contraintes d’incompressibilit´e

r= 2 Optimal

r <2 Trop de contraintes d’incompressibilit´e

r ≤1 Blocage de maillage

(a)

(d) (e) (f)

(c) (b)

Noeuds de pression _{Noeuds de vitesse}

r = 1 r = 2 r = 4

r = 8/3 _{r = 2 r = 6}

FIG. 2.2 –Quelques ´el´ements finis possibles pour une formulation mixte.

Les rapportsrsont indiqu´es sur la figure 2.2 pour diff´erents ´el´ements finis courants. Les ´el´ements pr´esentant un rapportr plus petit que2ou plus grand que4sont ´elimin´es car ils pr´esentent respectivement un risque de blocage ou une trop grande approximation du champ de pression. Parmi les ´el´ements avec une pression continue, le quadrangle avec vitesse et pression bilin´eaires (figure 2.2-e) est optimal avec r = 2, mais comme tout ´el´ement qui a le mˆeme degr´e d’interpolation pour les deux champs inconnus, il pr´esente une faible convergence et des modes de pression parasites.

Par cons´equent, les ´el´ements avec une pression continue sont ´elimin´es car, soit leur taux de convergence est faible, soit le coˆut num´erique des ´el´ements avec des fonctions d’interpolation d’ordre sup´erieur n’est pas justifi´e par rapport aux lois de comportement que nous voulons utiliser. Parmi ceux avec une pression dis-continue, celui qui est optimal (figure 2.2-d) n’est malheureusement pas retenu pour notre code num´erique, car il compliquerait le transfert des donn´ees dans les sch´emas multigrilles (paragraphe 2.4) et, de plus, ses

Chapitre 2. Pr´esentation du codeellipsis

fonctions de forme d’ordre sup´erieur sont inutiles pour les mod`eles de comportement utilis´es.

Notre choix pour la mod´elisation par ´el´ements finis se portera donc sur le quadrangle avec quatre nœuds de vitesse aux angles, et un nœud de pression au centre qui pr´esente le meilleur compromis entre blocage, convergence et simplicit´e g´eom´etrique. Bien que cet ´el´ement ne v´erifie pas la condition LBB, un taux de convergence optimal peut-ˆetre prouv´e sous certaines conditions. La premi`ere est que le maillage doit ˆetre compos´e de macro´el´ements `a bord droit d’au moins quatre ´el´ements. Cette condition est toujours satisfaite dans notre cas car, comme nous le verrons au paragraphe 2.4, l’utilisation de sch´emas multigrilles est aussi optimale pour des maillages rectilignes. La deuxi`eme condition est que la pression doit ˆetre r´egularis´ee. Ceci est r´ealis´e par les sch´emas multigrilles, car la solution intiale est de grande longueur d’onde et les sch´emas it´eratifs amortissent pr´ef´erentiellement les ondes de courte longueur. Nous avons donc, dans tous les cas, une pression qui reste r´eguli`ere sur tout le maillage.

Cet ´el´ement contient au total neuf degr´es de libert´es, la pseudo-pression et quatre vecteurs vitesses en2D.