Compression et relaxation d’un bloc visco´elastique

x y Maillage (4*4)*4 niveaux 1 m h (t) _{C. L. 2 C. L. 2} C. L. 3 C. L. 1 Conditions Limites 1 : σ_yx = 0 et V_y = -0,1 m.s-1 2 : σ_xy = 0 et V_x = 0 3 : σ_yx = 0 et V_y = 0 Propriétés matériaux η = 1 Pa.s, ξ = 10 Pa.s µ = 1 Pa., K_e = 10 Pa. - Initialement 16 particules par éléments finis - Appétit de 0,8

- Contraintes sur les poids jusqu'aux termes linéaires

FIG. 4.10 – Pr´esentation des conditions limites de la compression-relaxation d’un bloc visco´elastique et des pa-ram`etres mat´eriaux.

La stabilit´e du sch´ema, que nous avons d´evelopp´e, a ´et´e d´emontr´ee dans la section (4.1.2) pr´ec´edente. Main-tenant, il est n´ecessaire de quantifier sa pr´ecision. Dans ce but, un mat´eriau compressible et visco´elastique est mod´elis´e dans une boˆıte initialement carr´ee de cot´e1m (figure 4.10). La condition limite Lagrangienne est mod´elis´ee en utilisant la proc´edure d´ecrite au paragraphe 2.6.6. Ce mod`ele permet de r´ealiser un essai en compression confin´ee.

Une fois que la d´eformation longitudinale a atteint une valeur de90%, ce qui correspond `a une hauteur de

h(t0) = 0,1 m pour la boˆıte, la condition limite en vitesse est supprim´ee pour observer la relaxation du mat´eriau.

4.1. Cas tests num´eriques avecellipsis

Solution analytique La solution analytique est d´eriv´ee de la loi constitutive pour le terme en pression :

˙ P K_e ⁺ P ξ ^{=−εyy =−} V_y h(t) ⁼⁻ V_y h(0) +V_yt ^(4.3)

o`u ξ et K<sub>e</sub> sont respectivement les modules de compressibilit´e de viscosit´e et ´elastique. Il s’agit d’une ´equation diff´erentielle du premier ordre avec second membre. Pendant la phase o`u la vitesse n’est pas nulle, la m´ethode de la variation de la constante est utilis´ee pour obtenir :

P(t) = λ(t)e^−Keξ t pour t < t0 (4.4) o`u λ(t) =− Z _t 0 K_eV_y h(t) ^e Ke ξ tdt (4.5)

La fonction λest num´eriquement int´egr´ee pour obtenir la solution analytique lors de la phase de compres-sion.

Lorsque la d´eformation atteint 90% `a t = t₀, la condition limite en vitesse est supprim´ee et la solution analytique dans ce cas s’´ecrit :

P(t) = P(t0)e^−Keξ (t−t0)

pour t > t0 (4.6)

La solution analytique globale pour ce mod`ele est trac´ee sur la figure 4.11 avec des cercles.

Dans la section pr´ec´edente, il a ´et´e d´emontr´e que le pas de temps d’advection doit ˆetre ind´ependant du pas de temps de la discr´etisation du comportement du mat´eriau, pour obtenir un sch´ema d’int´egration stable. Dans la pr´esente section, nous montrons la pr´ecision de ce sch´ema et plus pr´ecis´ement, nous donnons une id´ee du rapport des deux pas de temps pour obtenir une pr´ecision souhait´ee.

R´esultats Nous aurions pu fixer∆te et ´etudier la variation de la r´eponse num´erique en fonction de∆t. Dans la pratique, chaque mat´eriau visco´elastique poss`ede un temps de relaxation. En fonction de celui-ci, l’utilisateur va choisir∆teafin d’obtenir une repr´esentation pr´ecise du comportement du mat´eriau. D’autre part, nous avons d´ej`a vu que pour optimiser le temps de calcul, une borne sup´erieure pour∆test calcul´ee dans le code en fonction du champ des vitesses et de la taille des ´el´ements (2.65).

Dans le cadre de notre mod`ele, ∆t pr´esente une grande variation au cours du temps. Lors de la phase de compression, ∆tva diminuer avec la taille des ´el´ements puisque la vitesse reste constante. Dans la phase de relaxation la vitesse est nulle,∆tdevient donc th´eoriquement infini. Pour ´eviter cela, nous imposons une borne sup´erieure de0,01s sur∆t.

Pour diff´erentes valeurs de∆te, nous trac¸ons la r´eponse num´erique de la pression au cours du temps sur la figure 4.11. Nous remarquons que pour des valeurs de ∆te sup´erieures ou ´egales au temps de relaxation, c’est-`a-dire10s (figure 4.11-a) et1s (figure 4.11-b), les contraintes sont relax´ees plus vite que ce qu’elles

Chapitre 4. Simulations num´eriques 0 5 10 15 20 Temps (s) 0 1 2 3 4 5 6 Pression (Pa) (a) (b) (c) (d) (e) (f)

FIG. 4.11 – Pression `a l’int´erieur du mat´eriau en fonction du temps pour diff´erentes valeurs du pas ∆t<sup>e</sup> de discr´etisation des effets ´elastiques. La courbe avec des cercles est la solution analytique. Les courbes continues in-dex´ees de (a) `a (f) sont les r´esultats des calculs num´eriques avec les valeurs de∆te suivantes : (a)∆te = 10s, (b)

∆te= 1s, (c)∆te= 0,1s, (d)∆te= 0,01s, (e)∆te= 0,006s et (f)∆te= 0,005s.

sont construites. Par cons´equent, le mat´eriau pr´esente un comportement proche d’un comportement pure-ment visqueux (nombre de Deborah faible). Par contre, pour des valeurs inf´erieures au temps de relaxation, c’est-`a-dire0,1s (figure 4.11-c) et0,01s (figure 4.11-d), la pr´ecision du r´esultat est tr`es satisfaisante tout au long de la courbe en pression. La pr´ecision du r´esultat est d’autant plus grande que le pas de temps∆te

est petit devant le temps de relaxation, car la discr´etisation est de plus en plus fine.

Malheureusement, nous observons pour des valeurs de ∆te inf´erieures au pas de temps d’advection ∆t, c’est-`a-dire0,006 s (figure 4.11-e) et0,005s (figure 4.11-f), des instabilit´es num´eriques. Plus la valeur de

∆teest faible, plus l’instabilit´e se produira tˆot dans le calcul. Cette instabilit´e est identique `a celle pr´esent´ee au paragraphe 4.1.2 o`u le cas particulier ∆te = ∆test trait´e. Lorsque ∆te est plus petit que∆t, le calcul capte des ph´enom`enes ´elastiques que la phase d’advection ne capte pas `a la mˆeme ´echelle de temps, d’o`u l’instabilit´e. Le sch´ema d’int´egration instable du premier ordre doit ˆetre coupl´e avec une proc´edure de lissage sur plusieurs pas de temps d’advection pour ˆetre stabilis´e.

De mani`ere pratique pour tout utilisateur du code ellipsis, ´etant donn´e le temps de relaxation du mat´eriau `a mod´eliser, nous conseillons de choisir une discr´etisation en temps avec un pas∆teinf´erieur au centi`eme du temps de relaxation pour obtenir une bonne pr´ecision de la simulation. De plus, pour ´eviter des probl`emes d’instabilit´e num´erique, il faut sp´ecifier comme borne sup´erieure du pas de temps d’advection∆t, le pas de la discr´etisation comportementale∆te.

4.1. Cas tests num´eriques avecellipsis