Influence des fonctions d’´ evaluation

Dans cette section, nous pr´esentons des r´esultats exp´erimentaux pour ´evaluer l’utilit´e des nouvelles fonctions d’´evaluation.

2.5.2.1 Influence sur l’algorithme Tabou

Une d´emarche simple pour suivre et comprendre l’´evolution d’un algorithme consiste `

a analyser son profil d’ex´ecution. Nous montrons que les nouvelles fonctions d’´evaluation permettent `a la recherche de visiter (en moyenne) des configurations de meilleure qualit´e. La Figure 2.2 montre une ´evolution typique (sur un graphe al´eatoire) du nombre de conflits avec f et ef1 pour les 25,000 premi`eres it´erations. Le profil de ef2-RCTS n’est pas montr´e, car il est habituellement superpos´e au graphique de f -RCTS. Ce test exp´erimental

prouve que ef1− RCTS reste le plus souvent `a un nombre inf´erieur de conflits. Ce type de profil est observ´e sur plusieurs graphes, fournissant un argument pr´eliminaire que ef1 peut mener la recherche vers des configurations de meilleure qualit´e.

200 3300 6400 9500 12600 18800 25000 0 20 40 60 80 Iterations Nr. de conflits

Figure 2.2 – ´Evolution typique du nombre de conflits (profile d’ex´ecution) avec f (en ligne pointill´ee) et ef1 (en ligne continue) de l’it´eration 200 jusqu’`a l’it´eration 25.000. ef1 guide la recherche vers de meilleures colorations.

Le Tableau 2.1 confirme cette remarque : il montre le nombre moyen de conflits apr`es 1.000.000 d’it´erations avec chaque fonction sur plusieurs graphes repr´esentatifs de diff´e- rentes familles. Les diff´erences entre ces moyennes ont ´et´e confirm´ees par un test statistique. Nous avons consid´er´e l’hypoth`ese nulle selon laquelle la moyenne du nombre de conflits obtenus avec ef1 (ou ef2 respectivement) est ´egale `a la moyenne obtenue avec f . Utilisant un niveau de confiance de α = 0.1%, cette hypoth`ese a ´et´e rejet´ee dans la plupart des cas, confirmant que les diff´erences de moyenne ne sont pas dues au hasard – voir les deux derni`eres colonnes du Tableau 2.1.

Le Tableau 2.1 montre que le nombre moyen de conflits est statistiquement plus petit pour ef1 que pour efc; en fait, la diff´erence est statistiquement significative pour tous les graphes sauf pour f lat300 28. Dans le meilleur des cas, la moyenne du nombre de conflits pour ef1-RCTS peut ˆetre ´egale `a la moiti´e de la moyenne pour f -RCTS. La deuxi`eme fonction ef2montre ´egalement une am´elioration sur deux-tiers des instances, mais avec une plus petite amplitude.

Pour le probl`eme de coloration, il n’y a aucune garantie th´eorique que la probabilit´e d’atteindre une solution optimale soit strictement corr´el´ee avec la qualit´e moyenne des solutions visit´ees tout le long de la recherche. Cependant, particuli`erement pour les re- cherches locales, presque tous les algorithmes essayent toujours de guider le processus vers des configurations de plus grande qualit´e (i.e. avec moins de conflits).

2.5 R´esultats et discussions

Graphe k Nombre moyen de conflits Test statistique

e f1 fe₂ f [ ef₁] 6≡ [f ] [ ef₂] 6≡ [f ] dsjc250.5 28 8.138 7.133 9.878 Oui Oui dsjc500.5 48 24.9 28.5 26.6 Oui Oui dsjc1000.5 87 35 32.2 37.7 Oui Oui dsjr500.5 122 5.106 8.875 10.46 Oui Oui r1000.5 234 16.02 25.76 29.09 Oui Oui

f lat300 280 30 21.63 23.87 22.13 Non Non

f lat1000 76 86 30.39 29.02 32.04 Oui Oui

le450 25c 25 9.38 9.524 12.97 Oui Oui

le450 25d 25 9.183 13.94 13.74 Oui Non

Table 2.1 – Moyenne du nombre de conflits apr`es 1.000.000 it´erations avec chaque fonc- tion. En g´en´eral, les fonctions modifi´ees, en particulier ef1, m`enent la recherche vers des colorations avec (statistiquement) moins de conflits.

2.5.2.2 Fonction d’´evaluation avec la liste Tabou vide

Nous sommes convaincus que l’int´erˆet d’une fonction d’´evaluation plus discriminante n’est pas limit´ee `a l’algorithme Tabou ou `a un certain r´eglage de la liste Tabou. Nous avons donc effectu´e un autre test exp´erimental avec un algorithme de Descente Pure (DP) sans param`etres, plus neutre. Techniquement, l’algorithme DP est la mˆeme recherche Tabou de la Section 2.2, mais avec une liste Tabou toujours vide (i.e. T` = 0). Cette descente pure est initialis´ee par une coloration al´eatoire et elle est guid´ee seulement par la fonction d’´evaluation : DP choisit it´erativement le meilleur voisin selon cette fonction. Un nombre tr`es petit d’it´erations (i.e. moins que quelques milliers) est g´en´eralement suffisant pour faire converger la recherche dans des optima locaux. Comme une ´etape d’apprentissage de quelques milliers d’it´erations serait insuffisante pour ef2, ce test ne peut ˆetre effectu´e qu’avec ef1 et f .

Nous avons lanc´e 1000 descentes ind´ependantes (chacune avec une coloration initiale diff´erente) et nous avons compar´e le nombre de conflits des k-colorations finalement ob- tenues avec ef1 et f . La Figure 2.3 montre les distributions de ces nombres de conflit (i.e. l’axe x indique le nombre de conflits et l’axe y indique la fr´equence de ce nombre – le nombre de descentes qui sont arriv´ees `a ce nombre) : la performance avec ef1 est nette- ment sup´erieure et mˆeme la plus mauvaise descente avec ef1 est souvent meilleure que la meilleure avec f . Nous avons observ´e ces distributions pour plusieurs graphes de toutes les familles. La nouvelle fonction permet `a cette descente rudimentaire d’atteindre une solution pour G = le450 25a et k = 25, tandis que la mˆeme descente avec f ne trouve jamais de coloration avec moins de 10 conflits.

Nr. de conflits Nr. éxecutions 40 60 80 100 0 100 G= dsjc250.5 , k= 28 Nr. de conflits 80 120 160 200 0 150 G= dsjc500.5 , k= 49 Nr. de conflits Nr. éxecutions 150 200 250 300 350 0 150 G= dsjc1000.1 , k= 20 Nr. de conflits 250 300 350 400 450 0 150 G= dsjc1000.5 , k= 83 Nr. de conflits Nr. éxecutions 200 250 300 350 400 0 150 G= dsjc1000.9 , k= 224 Nr. de conflits 220 260 300 340 0 150 G= le450_15c , k= 15 Nr. de conflits Nr. éxecutions 0 5 10 15 20 25 0 200 G= le450_25a , k= 25 Nr. de conflits 60 80 100 120 0 150 G= le450_25c , k= 25

Figure 2.3 – Histogrammes du nombre de conflits obtenus avec 1000 descentes pures ind´ependantes, utilisant ef1 (barres simples) et f (barres hachur´ees). La descente pure m`ene toujours `a un plus petit nombre de conflits avec ef1 que avec f .

2.5.2.3 Variation de performance selon les caract´eristiques des instances Nous avons ´egalement observ´e que l’influence favorable de la nouvelle fonction ef1 est plus ´evidente sur certaines instances que sur d’autres. En principe, les meilleures am´e- liorations sont r´ealis´ees sur des instances difficiles de certaines classes sp´ecifiques. Une am´elioration impressionnante est observ´ee sur les graphes g´eom´etriques al´eatoires (i.e. dsjrX.Y et rX.Y ) pour lesquels ef1 domine fortement f sans exception – voir le Tableau 2.1 et ´egalement le Tableau 2.2 avec des r´esultats complets.

Cette variation de performance est due `a la structure des graphes, plus exactement `

a la variation de degr´es de sommets. Par exemple, pour les graphes g´eom´etriques (e.g. dsjr500.5), le degr´e maximum peut ˆetre d’un ordre de grandeur plus grand que le de- gr´e minimum, et ainsi toute diff´erentiation fond´ee sur le degr´e est tr`es efficace. En effet, l’am´elioration des performances apport´ee par ef1 peut ˆetre class´ee en concordance avec la variation des degr´es, du plus haut au plus bas : 1) graphes g´eom´etriques al´eatoires, 2) graphes de Leighton, 3) graphes al´eatoires, 4) graphes flat. Un cas extrˆeme est le graphe

2.5 R´esultats et discussions

du carr´e latin latin square qui est r´egulier (i.e. avec degr´e constant) ; la nouvelle fonction d’´evaluation bas´ee sur le degr´e n’apporte pas de nouvelle distinction entre les sommets de ce graphe.