Entr´ee : (
− |S| (i.e. S = {1, 2, . . . , |S|})
− P1 et P2 comme |S|-vecteurs, i.e. la position x indique P1(x)
Retour : (
− la distance Σ, si la condition du Corollaire 6.4 est satisfaite − IMPOSSIBLE, sinon.
1. Σ = 0
2. k = la valeur maximum dans les vecteurs P1 et P2 3. allocation de matrice T (sans initialisation)
4. init. k−vecteurs M et ¯σ `a 0 (le maximum sur chaque ligne et l’affectation maximale `a construire)
5. init. k−vecteurs |P1| et |P2| `a 0 (cela indique la taille de chaque classe) 6. For x = 1 To |S| – i = P1(x) et j = P2(x) – Tij = 0 7. For x = 1 To |S| – i = P1(x) et j = P2(x) – incr´ementer Tij, |P1i|, |P j 2| – If (Tij > Mi) Then Mi = Tij et ¯σ(i) = j. 8. For i = 1 To k
– If Mi= 0, Then Continue /*avec le prochain i dans la boucle*/ – If 3Mi≤ |P1i| + |P ¯ σ(i) 2 |
Then Return IMPOSSIBLE – Σ = Σ + Ti,¯σ(i)
9. Return Σ
en une version similaire qui correspond aux autres th´eor`emes introduits dans ce chapitre. Le nombre de classes n’a pas besoin d’ˆetre le mˆeme pour P1 et P2, parce que k n’est pas donn´e en entr´ee ; k est calcul´e comme le nombre maximum des classes dans une des deux partitions (voir Pas 2).
Conclusion G´en´erale
Contributions
Nous avons propos´e plusieurs approches algorithmiques pour introduire une forme d’apprentissage dans les strat´egies de recherche, dans le but g´en´eral de rendre les heuris- tiques classiques “mieux inform´ees”. Pour cela, nous avons utilis´e des techniques de fouille de donn´ees (e.g. Multidimensional Scaling) ; de plus, nous avons toujours tent´e de fouiller et exploiter les informations les plus pertinentes pour tout composant d’un algorithme. Quatre algorithmes ont ´et´e test´es dans le cadre exp´erimental tr`es concurrentiel de la co- loration de graphe. En effet, la coloration est l’un des plus ´etudi´es et des plus connus des probl`emes N P -complets, et ainsi, une dizaine de nouveaux algorithmes heuristiques a ´et´e publi´ee uniquement pendant cette th`ese de trois ans.
Selon l’ordre chronologique de d´eroulement de th`ese, notre premier apport concerne un algorithme Tabou de base, qui a ´et´e am´elior´e avec de nouvelles fonctions d’´evaluation “bien inform´ees”. En couplant quelques techniques algorithmiques additionnelles – i.e. une liste Tabou r´eactive – cette recherche Tabou non sophistiqu´ee peut atteindre des r´esultats tr`es performants par rapport `a plusieurs algorithmes plus complexes.
Par la suite, l’analyse de la trajectoire de cette recherche locale nous a conduits (Cha- pitre 3) `a l’hypoth`ese de clusterisation : les meilleures configurations ne sont pas unifor- m´ement dispers´ees dans l’espace de recherche, mais elles sont group´ees en clusters qui peuvent ˆetre confin´es dans des sph`eres de rayon R = 10%|V |. Dans le reste de la th`ese, nous avons consid´er´e que deux colorations distantes de moins de R = 10%|V | sont “trop proches” – il est tr`es facile de passer de l’une `a l’autre. Le rayon R est d´efini en utilisant la distance de transfert entre partitions ; cette distance est ´equivalente au nombre minimum de transitions de voisinage entre colorations, pour notre probl`eme et pour notre voisinage. Au quatri`eme chapitre, nous avons pr´esent´e deux recherches locales guid´ees, fond´ees sur cette distance et sur la notion de sph`ere. Le premier algorithme (TS–Div) “est guid´e” vers la diversification. Il m´emorise sa propre trajectoire `a travers l’espace de recherche en enregistrant les sph`eres visit´ees. De cette mani`ere, il d´etecte l’instant o`u le processus de recherche entre dans une sph`ere d´ej`a visit´ee. Quand cela se produit, TS–Div agit afin d’induire plus de diversification, ce qui permet de quitter plus rapidement cette sph`ere, et d’aller continuellement vers de nouvelles r´egions. Cela peut garantir que TS–Div n’effectue pas trop d’explorations redondantes `a long terme. Comme la liste Tabou interdit des explorations redondantes `a court terme, TS–Div peut couvrir uniform´ement l’espace de recherche.
L’algorithme TS–Int est guid´e pour l’intensification, afin d’explorer minutieusement un p´erim`etre limit´e donn´e, une r´egion prometteuse sp´ecifique. `A partir d’une configuration de d´epart, il lance plusieurs processus de recherche locale qui explorent uniquement l’int´erieur de la sph`ere de la configuration de d´epart. Un tel processus est arrˆet´e d`es qu’il sort de cette sph`ere, et “le point de sortie de sph`ere” est ins´er´e dans une file contenant des centres des sph`eres `a explorer plus tard. Quand les processus lanc´es `a partir d’un centre de sph`ere ne
trouvent plus de configurations distantes de grande qualit´e (l’investigation de la sph`ere est compl`ete), le prochain centre est consid´er´e et TS–Int continue avec une autre investigation de sph`ere (autour de cette nouvelle configuration). Le r´esultat est un parcours en largeur de sph`eres d’un p´erim`etre limit´e ; cet algorithme semble capable d’atteindre toute solution sur une distance de 30%|V | du point de d´epart, avec un taux de succ`es empirique de 100%. Une approche ´evolutionniste est pr´esent´ee au Chapitre 5. Une nouveaut´e est l’intro- duction d’une strat´egie d’´ecart qui empˆeche la population de garder en mˆeme temps deux individus de la mˆeme sph`ere. En utilisant des m´ecanismes de dispersion r´eactive `a base de distances, un ´ecart appropri´e entre les individus est toujours assur´e. De cette fa¸con, la convergence pr´ematur´ee est toujours ´evit´ee ; l’algorithme Evo–Div peut effectivement cr´eer continuellement de la diversit´e utile, et cela sans sacrifice de qualit´e. Un croisement “bien inform´e” est ´egalement pr´esent´e ; il emploie plusieurs informations sur les classes de
couleur des parents afin de choisir les meilleurs g`enes `a passer `a la g´en´eration suivante. Au dernier chapitre, la distance de transfert est ´etudi´ee en d´etail, fournissant plus d’informations sur l’interpr´etation des valeurs de distance. Nous introduisons ´egalement un algorithme exact de type Las Vegas pour calculer efficacement cette distance. Il permet de r´eduire la complexit´e de O(|V | + k3) `a O(|V | + k) si au moins une condition pr´esent´ee est v´erifi´ee. Cet algorithme a apport´e une importante acc´el´eration `a TS–Div, et, de plus, il pourrait ˆetre employ´e dans d’autres applications o`u il faut calculer des distances entre des partitions proches.
Au niveau des r´esultats pratiques, bien que le nombre d’algorithmes de coloration ait accru continuellement ces derni`eres ann´ees, nous avons atteint toutes les meilleures bornes sup´erieures connues (sauf pour le graphe r1000.5) et nous avons mˆeme trouv´e une nouvelle borne sup´erieure pour un grand graphe (C4000.5, k = 271).6 Il pourrait ˆetre int´eressant de noter quelques bornes sup´erieures particuli`erement difficiles :
– (latin square, k = 98), nous avons trouv´e cette solution (avec Evo–Div) pour la pre- mi`ere fois en presque 15 ans – jusqu’`a maintenant, une solution pour cette instance a ´et´e rapport´ee uniquement dans [Morgenstern, 1996] ;
– (dsjc1000.9, k = 223), la th`ese introduit mˆeme algorithmes qui peuvent atteindre cette borne (soit Evo-Div, soit TS–Int avec TS–Div) – un seul autre algorithme a trouv´e une solution tr`es r´ecemment [L¨u and Hao, 2010] ;
– (f lat300.28, k = 28), TS–Int, en combinaison avec TS–Div, peut atteindre assez facilement cette borne – `a ce jour, ce r´esultat avait ´et´e rapport´e uniquement dans [Bl¨ochliger and Zufferey, 2008; Hertz et al., 2008] ;
– (r1000.5, k = 237), bien que ce graphe soit le seul pour lequel nous n’ayons pas atteint la meilleure borne connue, notons qu’il existe tr`es peu d’algorithmes [Prestwich, 2002; Malaguti et al., 2008] qui ont trouv´e le nombre chromatique (234) et ils ont utilis´e des techniques exactes. Les autres algorithmes purement heuristiques ne sont pas descendus sous la barre de k = 245.
6. Toutes les colorations l´egales mentionn´ees dans cette th`ese sont disponibles en ligne : info. univ-angers.fr/pub/porumbel/graphs/bestcol/
Conclusion G´en´erale
Perspectives
L’id´ee d’utiliser des distances pour construire une recherche guid´ee semble, dans une certaine mesure, n´eglig´ee dans l’optimisation combinatoire. Des techniques `a base des dis- tances ont ´et´e appliqu´ees uniquement pour des taches tr`es sp´ecifiques (e.g. croisements de type distances-preserving, indices de difficult´e ou de corr´elation fitness-distance). Cepen- dant, nous pensons que les distances peuvent ˆetre employ´ees d’une mani`ere syst´ematique, `
a la fois pour comprendre l’espace de recherche, et aussi pour ´equiper un processus de recherche avec une “boussole” de navigation/orientation dans l’espace de recherche.
Bien que ces id´ees n’aient ´et´e mises en œuvre et valid´ees que sur le probl`eme de coloration de graphe, certaines techniques sont tr`es g´en´erales et pourraient ´egalement ˆetre test´ees sur d’autres probl`emes. Par exemple, comment peut-on savoir si une recherche locale d’un probl`eme quelconque couvre uniform´ement l’espace de recherche, ou si elle ex´ecute plutˆot des explorations redondantes ? L’enregistrement de granularit´e grossi`ere effectu´e par TS–Div offre une solution potentielle : en enregistrant un ensemble restreint de sph`eres, on peut effectivement inspecter l’´evolution de tout processus de recherche et clarifier ce type de questions. La seule condition pour r´ealiser cela est de pouvoir calculer une distance de voisinage, i.e. une distance qui indique le nombre minimum de transitions de voisinage entre deux configurations – voir plusieurs exemples dans la Section 4.5.
Concernant l’approche ´evolutionniste, il serait tr`es int´eressant de formaliser une stra- t´egie g´en´erique d’´ecart : nous pensons que les id´ees de contrˆole d’´ecart peuvent ˆetre di- rectement utilis´ees dans d’autres algorithmes m´em´etiques. ´Evidement, pour arriver aux meilleurs r´esultats pratiques, il est toujours essentiel d’´etudier les d´etails et les particu- larit´es sp´ecifiques du probl`eme, afin d’adapter l’approche. Cependant, comme cela a ´et´e discut´e en Section 5.4.4, des id´ees similaires ont ´et´e d´ej`a test´ees avec succ`es dans d’autres communaut´es ´evolutionnistes (e.g. optimisation continue multimodale), et ainsi, nous pen- sons que d’autres progr`es importants sont `a pr´evoir.
De plus, un travail plus en profondeur pourrait coupler les id´ees concernant l’enre- gistrement du chemin de la recherche locale avec le contrˆole d’´ecart dans l’algorithme ´
evolutionniste. Tandis que le contrˆole d’´ecart assure qu’il n’y a pas simultan´ement deux individus trop proches dans la population, il n’assure pas de propri´et´e similaire sur des individus appartenant `a des g´en´erations diff´erentes – ce type de probl`eme pourrait ˆetre ´
Liste des figures
1.1 Un exemple d’un enregistrement `a gros grain du chemin d’exploration . . . 12
2.1 Deux colorations avec le mˆeme nombre de conflits mais avec potentiel diff´erent 29 2.2 Evolution typique du nombre de conflits avec plusieurs fonctions d’´´ evaluation . 34 2.3 Histogrammes du nombre de conflits obtenus avec 1000 descentes pures . . . . 36
3.1 Repr´esentation 3D de 350 optima de l’espace multidimensionnel d’un probl`eme 48 3.2 Colorations de grande qualit´e visit´ees par une recherche locale . . . 49 3.3 Histogrammes des distances entre chaque couple des 40, 000 configurations de
grande qualit´e visit´ees par une recherche locale . . . 51
4.1 Exemple sch´ematique d’un processus TS–Div explorant l’espace de recherche . 56 4.2 Repr´esentation MDS d’une ´evolution r´eelle de TS–Int . . . 64
Liste des tableaux
1.1 Bornes sup´erieures DIMACS faciles . . . 18
2.1 Moyenne du nombre de conflits apr`es les 1.000.000 premi`eres it´erations avec f , e
f1 et ef2 . . . 35 2.2 R´esultats d´etaill´es de RCTS avec un temps limite de 10 heures . . . 38 2.3 R´esultats du RCTS et des meilleurs algorithmes les plus performants . . . 40
4.1 Temps et m´emoire consomm´ee par la recherche guid´e TS–Div . . . 61 4.2 Les r´esultats d’algorithme TS–Div guid´e vers la diversification . . . 66 4.3 Les r´esultats d’algorithme TS–Int guid´e vers l’intensification . . . 67 4.4 Comparaison entre TS–Div/TS–Int et les meilleurs algorithmes . . . 73
5.1 R´esum´e des param`etres g´en´etiques. . . 91 5.2 R´esultats d´etaill´es d’Evo–Div avec un temps (CPU) limite de 300 minutes . . . 92 5.3 Les r´esultats d’Evo–Div avec deux limites de temps . . . 93 5.4 Les meilleures colorations trouv´ees par Evo–Div dans moins que 5 heures et les
r´esultats des meilleurs algorithmes . . . 95 5.5 Comparaison d’Evo–Div standard avec cinq versions diff´erentes . . . 96
Liste des figures, tableaux et algorithmes
Liste des algorithmes
2.1 La recherche Tabou pour k-Coloration . . . 27
4.1 La (m´eta) heuristique TS–Div . . . 58
4.2 Pseudo-code TS–Int . . . 62
5.1 Sch´ema de Base de l’Algorithme ´Evolutionniste Evo–Div . . . 78
5.2 Croisement “bien inform´e” entre partitions . . . 81
5.3 La fonction de remplacement (´elimination) d’Evo–Div . . . 87
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