2.4 Exp´ eriences de r´ etrodiffusion coh´ erente dynamique
2.4.3 Influence des corr´ elations entre diffuseurs
Le rˆole des corr´elations entre diffuseurs s’est av´er´e important dans l’´etude du champ coh´erent. Le d´eveloppement diagrammatique expos´e au premier chapitre a permis de d´eterminer rigoureuse- ment l’ordre de grandeur des corr´elations dans notre probl`eme : une correction d’ordre 2 `a la th´eorie classique d’Independent Scattering Approximation. Cette correction d’ordre 2 intervenait explicite- ment dans l’expression de l’op´erateur de masse Σ. Rappellons que Σ est le kernel de l’´equation de Dyson, la relation self-consistante pour le champ ultrasonore moyen.
Vu qu’on s’int´eresse ici au monde probabiliste en intensit´e [2] on pourrait penser que les corr´elations n’interviennent ici qu’`a l’ordre 4 pour corriger la th´eorie de diffusion sans corr´elation. Examinons pourquoi les corr´elations interviennent de mani`ere plus subtile dans notre probl`eme.
Pourquoi les corr´elations n’interviennent-elles pas `a l’ordre 4 en intensit´e ?
Le raisonnement consisterait en quelque sorte `a multiplier les ´equations de Dyson des champs pour obtenir les relations fondamentales d´ecrivant l’intensit´e. Ce faisant, on aboutirait `a la descrip- tion de l’intensit´e du champ moyen r´etrodiffus´e alors que nous ´etudions la moyenne des intensit´es r´etrodiffus´ees. Ce point ´et´e soulev´e en section 2.2.1 o`u nous pr´ecisions que la moyenne sur le d´esordre 11C’est-`a-dire prenant en compte la r´esolution angulaire des capteurs, le niveau de bruit et la zone de d´ecroissance
devait suivre et non pr´ec´eder le produit des fonctions de Green. On constate ainsi que les corr´ela- tion interviennent pour l’intensit´e d`es l’ordre 2. On donne ci-dessous des exemples de diagrammes faisant intervenir les corr´elations `a l’ordre 2 et 3.
Vu que le formalisme que nous avons pr´esent´e en section 2.2.1 est g´en´eral, nous pouvons nous en servir sans ajout pour ´etudier le rˆole des corr´elations. Finalement nous avons restreint notre pr´esentation de la th´eorie du cˆone `a partir de la pr´esentation des diagrammes de ladder et crois´es : il nous faut donc seulement g´en´eraliser les expressions de ces contributions en prenant en compte les corr´elations.
2.4.3.1 Diagrammes de ladder g´en´eralis´es LM : prise en compte des corr´elations Les diagrammes de ladder classiques sont construits en ne conservant que le premier bloc inter- venant dans le d´eveloppement en intensit´e, ce qui donne lieu au d´eveloppement de la section 2.2.3, soit
avec
Lorsque les corr´elations entre diffuseurs existent, il suffit d’ajouter au bloc constitutif pr´ec´edent la premi`ere contribution mettant en jeu les corr´elations en intensit´e, soit le terme d’ordre 2 :
Modification de la contribution incoh´erente du cˆone dynamique
On note IIM l’intensit´e incoh´erente modifi´ee par la prise en compte des corr´elations. L’intensit´e II s’obtient par la somme des diagrammes de ladder classiques. Par analogie, on obtient IIM par le mˆeme processus en faisant intervenir les diagrammes de ladder g´en´eralis´es. La somme des blocs ´
el´ementaires de LM donne lieu `a un d´eveloppement faisant intervenir des suites de bloc classiques et corr´el´es selon
Ce qui donne pour l’intensit´e incoh´erente l’expression int´egrale suivante
IIM(S, D, t) = Z Z G(M1, S) 2 G(D, M2) 2 LM(r1, r2, t)dr1dr2 (2.34) Cette int´egrale n’est pas calculable dans le cas g´en´eral. Certains auteurs [48] ont tent´e de prendre en compte l’importance des corr´elations de mani`ere analytique. Avec un certains nombre de simpli- fications (QCA, mod`ele de Percus-Yevick, particule petite devant la longueur d’onde, corr´elations de courte port´ee) la contribution incoh´erente prend exactement la mˆeme forme analytique que dans le cas classique `a un facteur constant pr`es. Les approximations utilis´ees par ces auteurs ne s’ap- pliquent pas `a nos situations. Le calcul pr´esent´e n’est valable que dans le cas de diffuseurs ayant des corr´elations de tr`es courte port´ee, ce qui n’est pas notre cas.
On constate ici une diff´erence nette avec l’´etude du champ coh´erent. Pour ce dernier, l’´etude des corr´elations a conduit au calcul d’une contribution facilement identifiable dans l’op´erateur de masse. Dans le cas du cˆone de r´etrodiffusion, la prise en compte d’une somme infinie de diagrammes com- plique s´erieusement l’estimation de l’effet des corr´elations entre diffuseurs.
Modification de la contribution coh´erente du cˆone dynamique
L’intensit´e coh´erente contribuant au cˆone dans le cas de diffuseurs d´ecorr´el´es met en jeu la somme des diagrammes crois´es expos´es en 2.2.4. Dans le d´eveloppement de ces diagrammes, il n’y a pas de bloc ´el´ementaire permettant de d´eduire les termes d’ordre de diffusion ´elev´es `a partir des pr´ec´edents. Cela implique qu’il faut ´etudier sp´ecifiquement chacun des termes inclus dans le d´eveloppement diagrammatique pour ´evaluer l’effet des corr´elations. A priori, le probl`eme est in- extricable, mais le principe de r´eciprocit´e va nous permettre de d´eterminer la forme sp´ecifique des diagrammes `a prendre en compte.
Application du principe de r´eciprocit´e
Le principe de r´eciprocit´e nous permet d’associer aux termes du d´eveloppement du kernel r´educ- tible LM leur contribution r´eciproque. Consid´erons par exemple le diagramme sous forme d´evelopp´ee `
a gauche de la figure 2.28 : on peut lui associer le diagramme de droite qui correspond au chemin r´eciproque du pr´ec´edent.
Fig. 2.28: A chaque contribution de diffusion multiple de l’intensit´e incoh´erente g´en´eralis´ee (`a gauche) correspond par r´eciprocit´e un diagramme crois´e contribuant `a l’intensit´e coh´erente g´en´e-
ralis´ee (`a droite).
Ainsi le kernel r´eductible des diagrammes crois´es est enti`erement d´etermin´e en pr´esence de corr´e- lation : il suffit d’associer `a chaque terme de diffusion multiple intervenant dans LM son diagramme r´eciproque.
L’int´erˆet de ce r´esultat est de montrer que les intensit´es coh´erentes et incoh´erentes sont modifi´ees dans la mˆeme mesure par la prise en compte des corr´elations. En premi`ere approche, les corr´elations ne modifient donc pas notre proc´edure d’exploitation du cˆone dynamique.
Les courbes exp´erimentales que nous pr´esentons en 2.4.4 montrent une ´evolution temporelle de
1 ∆xD
2
suivant les pr´evisions de l’approche diffusive. Mˆeme si le calcul explicite des expressions g´en´eralis´ees n’est pas effectu´e, on fait donc l’hypoth`ese de retrouver `a un coefficient pr`es l’expres- sion diffusive des kernels r´eductibles intervenant dans les expressions IIM et ICM. Cette hypoth`ese est justifi´ee rigoureusement lorsque des simplifications sont faites sur la fonction de corr´elation de paire comme dans le cas des corr´elations de tr`es courte port´ee.
La r´eciprocit´e suffit-elle `a compenser tous les termes ?
Le raisonnement pr´ec´edent ne concernait que les diagrammes de diffusion multiple (c.`a.d d’ordre stritement sup´erieur `a 1). En effet, seuls les chemins correspondants peuvent ˆetre associ´es `a leur chemin r´eciproque. N´eanmoins le bloc du kernel des diagrammes de ladder avec corr´elation est un terme de diffusion simple, il n’est donc pas compens´e par une contribution crois´ee et constitue clairement un effet des corr´elations que l’on ne peut ´eliminer. De plus, c’est par construction le terme d’ordre le plus faible mettant en jeu la fonction de corr´elation de paire.
Comme dans le cas classique, ce terme suppl´ementaire de diffusion simple est introduit dans l’ex- pression du cˆone sans ˆetre explicitement calcul´e : on applique `a nouveau les simplifications ´etudi´ees pr´ec´edemment permettant de consid´erer la contribution de diffusion simple comme ´etant constante
−10
0
10
0
0.5
1
−10
0
10
0
0.5
1
Intensité normalisée
−10
0
10
0
0.5
1
Angle (°)
Fig. 2.29: Cˆone dynamique exp´erimental (cercles bleus) et th´eorique (en rouge) pour l’´echantillon de tiges de diam`etre 0.8 mm de concentration 0.29 tige/mm2`a la fr´equence 2.8 M Hz. Du haut vers le bas, les temps correspondants sont 40 µs, 80 µs et 120 µs. La valeur de D est ici de 2.2 mm2/µs.
dans la fenˆetre angulaire d’´etude.