2.5 Th´ eorie classique
2.5.3 Approximation de la diffusion
Lorsque l’on s’int´eresse `a la propagation de l’onde ultrasonore `a des ´echelles de longueur et de temps grandes respectivement par rapport aux libres parcours moyens et aux temps caract´eristiques du syst`eme, on peut simplifier l’ETR et utiliser l’approximation de la diffusion. Le r´egime o`u cette approximation est valable est le r´egime diffusif. Le mot diffusion est `a prendre en compte ici dans la mˆeme acception que dans le terme diffusion de la chaleur. Cela signifie que l’´energie ultrasonore se propage dans le milieu de la mˆeme mani`ere que la chaleur dans un solide. L’int´erˆet de cette approche est qu’elle r´eduit la description des interactions de l’onde avec le milieu multidiffuseur `a un seul param`etre : le coefficient de diffusion D. Le probl`eme `a r´esoudre est ainsi plus simple mais ses solutions ne traduisent plus que les variations spatio-temporelles de l’´energie ultrasonore (et non les variations angulaires comme le permet l’ETR). L’approximation de la diffusion rec`ele certaines subtilit´es quant aux hypoth`eses n´ecessaires `a son obtention ainsi qu’`a la forme de la solution utilis´ee par les diff´erents auteurs. Apr`es avoir pr´esent´e de mani`ere intuitive les param`etres de l’´equation de la diffusion, nous d´etaillerons son obtention `a partir de l’ETR.
2.5.3.1 Premi`ere approche
Consid´erons la propagation d’une onde ultrasonore `a travers une tranche de milieu multiplement diffuseur de longueur infinie et d’´epaisseur L. L’´energie de la partie coh´erente de l’onde va d´ecroˆıtre selon l’´equation 2.46 lors de son exploration du milieu, de telle sorte qu’`a une profondeur z on aura
Ic(z) = Ioexp − Kextz cos(θo) (2.50) Io et θo ´etant respectivement l’intensit´e initiale et l’angle d’incidence.
La d´ecroissance de l’onde coh´erente r´esulte d’une action conjugu´ee de l’absorption et de la diffu- sion : l’onde coh´erente alimente l’onde diffuse. La transformation de l’intensit´e coh´erente en intensit´e diffuse a lieu sur une ´epaisseur de l’ordre du libre parcours moyen : l’´epaisseur de peau introduite en 19Nous restons volontairement impr´ecis sur le domaine de validit´e de l’´equation de la diffusion, ce point ´etant trait´e
section 2.3.2. On suppose dans l’approche diffusive que l’onde incidente est partiellement r´efl´echie et convertie en onde diffuse dans l’´epaisseur de peau. L’´equation r´egissant la propagation de l’intensit´e diffuse ´etant
∂Id(r, t)
∂t = D∇
2I
d(r, t) (2.51)
De plus, on consid`ere que les interactions entre l’onde et le milieu diffuseur sont d´ecrites par une onde diffuse effective qui p´en`etre dans le milieu dans un plan situ´e `a une distance zo `a l’ext´erieur du milieu. Cette distance est la longueur d’extrapolation, sa valeur est ph´enom´enologique mais peut se justifier par une analyse pr´ecise de l’ETR dans un milieu semi-infini. La valeur fr´equemment utilis´ee est zo = 0.7104 l∗ , elle est exacte pour les diffuseurs isotropes. En optique, les travaux de Van de Hulst [63] sur des diffuseurs de section efficaces vari´ees ont montr´e un bon accord num´erique avec cette valeur, et le cas des diffuseurs anisotropes piqu´es vers l’avant [64] conduit `a un ´ecart de l’ordre du pourcent sur zo. Afin de justifier ce processus de transformation de l’onde coh´erente en onde diffuse, il est n´ecessaire de revenir aux ´etapes principales permettant d’obtenir l’´equation de la diffusion.
2.5.3.2 Obtention de l’´equation de la diffusion
Diff´erentes aproches permettent d’obtenir l’´equation de la diffusion `a partir de l’ETR selon le choix des approximations effectu´ees. L’approche la plus couramment utilis´ee est celle d’Ishimaru [26], elle consiste `a ne retenir que le premier ordre du d´eveloppement de l’intensit´e intrins`eque en harmoniques sph´eriques. Nous adaptons cette d´emarche au cas bi-dimensionnel et discutons des limites de cette approche. Nous raisonnons en r´egime stationnaire afin d’all´eger les ´ecritures, ce qui ne r´eduit pas la g´en´eralit´e des calculs.
Lorsque l’on se place dans un r´egime diffusif de propagation, on suppose que l’onde, apr`es la rencontre d’un grand nombre de diffuseurs, est diffus´ee dans toutes les directions. Cela conduit intuitivement `a supposer que l’intensit´e sp´ecifique est angulairement quasi-uniforme. On ne peut supposer une uniformit´e angulaire car cela conduirait `a une annulation du vecteur densit´e de flux diffus´e dans chaque direction.20 L’approximation consiste `a ´ecrire que l’intensit´e intrins`eque peut se d´ecomposer en un terme isotrope (intensit´e moyenne) et une contribution anisotrope (propor- tionnelle `a la densit´e de flux) selon
I(r, u) = U (r) + cF.u (2.53)
La valeur du coefficient c n’est pas arbitraire, elle r´esulte des d´efinitions des termes de cette ´equa-
20
Rappellons que ce flux s’exprime par
F(r) = Z
2π
I(r, u).udΩ (2.52)
tion : F (r) = F(r).uo = Z 2π U (r)u.uodΩ + Z 2π c(F(r).u).(u.uo)dΩ = 0 + Z 2π c(F(r).u).(u.uo)dΩ = cF (r) Z 2π 0 cos2(θ)dθ = cF (r)π On en d´eduit que c = 1 π.
On int`egre ensuite l’ETR selon toutes les directions, ce qui permet d’obtenir une relation reliant le vecteur densit´e de flux `a l’intensit´e moyenne :
∇F(r) = −2πU (r) − 2πUc(r) (2.54)
avec Uc(r) = 2π1 R2πIc(r, u).
On ins`ere 2.53 dans l’ETR, d’o`u
u.∇U + 1 πu.∇(F.u) = −KextU − Kext π F.u + KdifU + Kext π F.up1+ c(r, u) (2.55)
avec p1 = 2π1 R2πp(u, u’)u.u’dΩ qui repr´esente la contribution diffus´ee vers l’avant. On multiplie 2.55 par u et on int`egre sur toutes les directions, ce qui donne l’expression du flux en fonction de l’intensit´e moyenne : F = 1 Kext(1 − p1) −π∇U + Z 2π c(r, u)udΩ (2.56)
La derni`ere ´etape consiste `a ins´erer la derni`ere expression dans 2.54, ce qui conduit `a l’´equation de la diffusion suivante ∇2U (r) − κ2U (r) = −2K difKtrUc(r) + 1 π∇. Z 2π c(r, u)udΩ (2.57)
avec Ktr le coefficient de transport qui s’exprime par Ktr = Kext(1 − p1) et κ2 = 2KabsKtr. On obtient donc l’´equation 2.57 r´egissant l’intensit´e moyenne U et l’on constate deux points importants. Tout d’abord, 2.57 est bien une ´equation de diffusion, ce qui ´etait l’objectif de cette partie. Soulignons ensuite que son second membre n’est pas nul : l’´equation de la diffusion obtenue comporte un terme source d´ependant de l’intensit´e moyenne coh´erente. On ne retrouve donc pas exactement la forme de 2.51, nous y reviendrons par la suite.
2.5.3.3 D´etermination des conditions aux limites
Comme nous venons de le constater l’´equation de la diffusion obtenue est un peu plus complexe que celle introduite au d´ebut de la section. L’´etude de cette sous-section va montrer que la forme “exacte”21des conditions aux limites fait intervenir des contributions souvent n´eglig´ees dans la lit-
t´erature. L’effet de ces contributions sera discut´e `a la partie suivante.
Reprenons la condition aux limites v´erifi´ee par l’intensit´e sp´ecifique dans le cadre de l’ETR en 2.5.2 : elle consistait `a annuler Id sur la surface lorsque la direction ´etait rentrante vers le mi- lieu diffuseur. Lors du raisonnement sur l’obtention de l’´equation de la diffusion, l’expression 2.53 conduit `a une approximation sur la condition aux limites pr´ec´edente.
La condition couramment utilis´ee consiste `a n’imposer que l’annulation du flux total diffus´e vers l’int´erieur du milieu :
Z π/2 −π/2
Id(r, u)(u.n)dΩ = 0 (2.58)
avec n le vecteur unitaire normal `a la surface de s´eparation, dirig´e vers le milieu diffuseur. Notre objectif est d’obtenir la condition aux limites v´erifi´ee par l’intensit´e moyenne U . Nous d´e- composons le flux F selon ses composantes normale Fn et tangente Ft `a la surface, ce qui permet d’exprimer 2.58 selon Z π/2 −π/2 U cos(θ) + 1 πFncos(θ) dθ = 0 (2.59)
soit apr`es un calcul sans difficult´e
U + Fn
4 = 0 (2.60)
On exprime ensuite Fn en fonction de U, selon
Fn= n.F = − π Ktrn.∇U + n.Qc(r) (2.61) avec Qc(r) = Kext 2πKtr Z 2π Ic(r, u’)dΩ0 Z 2π p(u, u’)udΩ soit dans 2.60 U (r) − π 4Ktr ∂U (r) ∂n + n.Qc(r) 4 = 0 (2.62)
Dans le cas de diffuseurs isotropes, cette ´equation se r´eduit `a
U (r) − z0∂U (r)
∂n = 0 (2.63)
avec z0 = π4l∗.
0
10
20
30
40
50
60
70
80
0.5
1
µs
Intensité normalisée
Fig. 2.53: Comparaison des intensit´es coh´erente (en rouge) et totale (en bleu) pour l’´echantillon de tiges de diam`etre 0.6 mm, de densit´e 0.18 tige/mm2, de 40 mm d’´epaisseur et de le = 6.4 mm d’apr`es le premier chapitre. Le signal ´emis est un cr´eneau de 1 µs `a la fr´equence centrale 3.2 M Hz
et la distance entre les capteurs est de 260 mm.