Inducteur à modulation de flux

Une première structure d’inducteur supraconducteur reposant sur le principe de l’écrantage du champ magnétique par des pastilles supraconductrices a été étudiée et réalisée au GREEN pendant les travaux de thèse de P. Masson et E. Ailam [MAS 02], [AIL 06]. La figure 4.21 donne le schéma de principe de l’inducteur. Cet inducteur comporte deux solénoïdes supraconducteurs qui sont alimentés par des courants en oppositions. La mise en place de 4 pastilles supraconductrices HT_c faisant office d’écrans magnétiques permet d’obtenir une modulation du champ magnétique dans l’entrefer. Le champ dans l’entrefer peut atteindre plusieurs Tesla grâce à l’utilisation de bobines supraconductrices et à l’effet de concentration du champ magnétique entre deux pastilles. La figure 4.22 montre le prototype réalisé au GREEN par P. Masson. Les solénoïdes ont été réalisés avec du fil supraconducteur à basse température critique en NbTi. Pour les écrans magnétiques, des pastilles en YBCO ont été utilisées. L’ensemble a été refroidi à la température de l’hélium liquide. Les résultats expérimentaux, en particulier la mesure de l’induction magnétique à la surface des pastilles et entre deux pastilles (figure 4.23), ont démontré la faisabilité de ce système [AIL 06] et ont permis de valider les modèles.

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Figure 4.22 : Inducteur à modulation de flux ; prototype réalisé et sondes de mesure du champ [MAS 02].

Figure 4.23 : Comparaisons entre les calculs et la mesure de l’induction magnétique au niveau des sondes à effet Hall.

Dans [MAS 02], une modélisation numérique 3D de cet inducteur a permis de prévoir avec une bonne précision le taux de concentration du champ entre les pastilles. La difficulté ici consiste à modéliser les pastilles supraconductrices. Le problème est purement 3D et une modélisation numérique prenant en compte la loi de comportement fortement non linéaire des supraconducteurs (4.1) reste difficile. Pour simplifier l’étude, les pastilles ont été considérées comme des écrans magnétiques parfaits. D’un point de vue modélisation, elles ne sont représentées que par des conditions aux limites de type paroi diamagnétique parfaite (B•n=0) et le champ n’est pas calculé à l’intérieur des pastilles. Cette hypothèse est d’autant plus réaliste que la température de refroidissement est basse. Les structures que nous avons étudiées jusqu’à présent sont refroidies à 4.2 K, ce qui justifie l’emploi de ce modèle.

G. Malé a poursuivi l’étude de cette topologie en développant pendant sa thèse un modèle semi-analytique. Comme la topologie de l’inducteur est purement 3D, la modélisation analytique n’est pas simple. Une simplification 2D a été nécessaire. Notre objectif était de disposer d’un modèle capable de prévoir les variations de l’induction radiale sur un contour de rayon R_e, situé dans l’entrefer et positionné au milieu des pastilles dans la direction axiale.

139 Le calcul de l’induction radiale dans l’entrefer se fait alors en trois étapes [MAL 12] :

- Une première étape consiste à calculer l’induction magnétique radiale créée par les deux solénoïdes placés seuls dans l’espace. Cette induction est notée dans la suite Br_source(Re). On trouve dans la littérature des formules analytiques qui permettent de calculer le champ produit par un solénoïde placé seul dans l’espace [DUR 68].

- Dans la deuxième étape, nous utilisons une fonction de modulation λr(Re,θ) résultant de l’introduction des écrans supraconducteurs. Cette fonction de modulation est définie dans le plan de coupe au milieu de l’inducteur et à un rayon Re situé à une certaine distance des écrans. Le calcul de la fonction de modulation représente l’originalité du modèle proposé par G. Malé. Je donne quelques précisions sur son développement dans la suite.

- Enfin, la distribution de l’induction radiale dans l’entrefer est obtenue en multipliant l’induction magnétique radiale créée par les solénoïdes seuls par la fonction de modulation :

r e r _ source e r e

B (R , )θ =B (R )×λ (R , )θ (4.4) Pour déterminer la fonction de modulation λr(Re,θ), le problème 2D représenté sur la figure 4.24 a été résolu analytiquement. Il s’agit d’un modèle comportant plusieurs régions régies par des EDP linéaires et pour lesquelles les conditions aux limites sont simples. Nous supposons que la fonction de modulation est indépendante de la source. Par conséquent, un champ source à répartition sinusoïdale correspondant à une nappe de courant est imposé au rayon Rhs. Pour calculer la fonction de modulation, la méthode consiste à déterminer l’expression mathématique de l’induction radiale en r = Re sans les écrans et avec les écrans et de faire ensuite le rapport entre ces deux expressions. Le calcul analytique du champ radial sans les écrans ne présente pas de difficulté. La mise en place des écrans complique les choses.

140 La méthode présentée dans le chapitre 3 a été suivie par G. Malé pour résoudre le problème avec écran. Le modèle de la figure 4.24 se rapproche beaucoup de celui du réducteur magnétique présenté sur la figure 3.13. La différence entre les deux modèles vient du type de matériau qui assure la modulation du champ. Pour le réducteur magnétique, il s’agit de pièces ferromagnétiques que nous avons considérées comme des parois magnétiques parfaites. Pour l’inducteur à modulation de flux, il s’agit de pièces supraconductrices que nous considérons comme des parois diamagnétiques parfaites. Si nous conservons une formulation en potentiel vecteur magnétique, la différence entre les deux modèles vient des conditions aux limites à imposer sur les parois des matériaux qui deviennent des conditions de Dirichlet homogènes pour les écrans supraconducteurs.

L’expression de la fonction de modulation se trouve dans [MAL 12]. Une fois cette expression établie, on peut l’utiliser dans le problème original en utilisant la relation (4.4). Les résultats du calcul de l’induction magnétique obtenus avec le modèle semi-analytique proposé par G. Malé sont donnés sur la figure 4.23 (méthode proposée). Ces résultats sont comparés à l’expérience et à ceux obtenus avec un modèle numérique 3D. Le calcul de l’induction radiale au milieu des pastilles (suivant l’axe z) est tout à fait acceptable et le calcul est très rapide comparé au modèle numérique 3D.

L’objectif était ensuite de voir si cette fonction de modulation pouvait être utilisée sans trop d’erreurs pour déterminer la distribution de l’induction radiale le long de la longueur utile de l’inducteur. G. Malé a montré dans sa thèse que les résultats restent acceptables à partir du moment où le rayon choisi pour faire le calcul n’est pas trop éloigné des pastilles supraconductrices. Si ce rayon augmente, on constate une erreur de plus en plus importante, en particulier sur les bords des pastilles et un modèle numérique 3D est alors indispensable. La connaissance de la distribution de l’induction radiale suivant z et θ pour un rayon donné permet de calculer le flux sous un pôle et d’en déduire les performances de la machine. Cet outil de dimensionnement nous a permis d’étudier l’influence des paramètres géométriques sur les performances de cet inducteur (taille des solénoïdes et des pastilles, rayon d’entrefer…). Un des objectifs de la thèse de G. Malé était d’étudier l’intérêt de cette topologie pour des machines de fortes puissances.

La taille des pastilles étant limitée pour des raisons technologiques (dimensions maximales d’environ 15 cm), G. Malé a montré dans ses travaux qu’il était possible d’associer plusieurs petites pastilles en YBCO pour créer des écrans magnétiques de grandes dimensions. Cependant, l’existence d’interstices entre les pastilles est à l’origine de fuites magnétiques importantes avec des valeurs de champs élevées. La réalisation d’un écran en damier sur 2 couches à été nécessaire pour limiter ces fuites. Les résultats de mesure ont confirmé la stratégie adoptée. Les résultats relatifs à cette étude sont publiés dans [R24].

Les études sur cette topologie se poursuivent dans le cadre du projet ANR RESUM (Réalisation d’un moteur supraconducteur, 2014-2017) porté par le professeur J. Lévêque et auquel je participe. Une thèse CIFRE, en association avec le groupe SAFRAN et dont j’assurerai le co-encadrement, doit débuter en décembre 2015 sur ce sujet (perspectives).