3.2 Contexte et positionnement
3.3.4 Conditions de passage et conditions aux limites
= −µ + +σ− ∂ + × µr s B A A J rot v rotA ∆ (3.11)
Pour pouvoir résoudre cette équation aux dérivées partielles, les conditions aux limites du problème doivent porter sur le potentiel vecteur.
Nous avons utilisé cette formulation pour résoudre différents problèmes : calcul du champ magnétique dans l’entrefer des machines à aimants permanents [R9], [R11], [R23] ; calcul des courants induits dans les encoches d’une machine [R14] ; étude d’un dispositif de chauffage par induction [R13] ; calcul de la force d’attraction d’un noyau de fer de dimension fini placé à l’intérieur d’un solénoïde [R19]…Nous détaillerons quelques résultats dans la suite.
3.3.4 Conditions de passage et conditions aux limites
Pour pouvoir déterminer la solution analytique du champ électromagnétique à l’intérieur d’un domaine borné (D), nous devons spécifier les conditions vérifiées par le champ (ou le potentiel) sur la frontière (F) du domaine considéré. Il est donc important de rappeler les propriétés du champ magnétique à l’interface entre deux milieux.
La figure 3.2 représente un système simple composé de deux domaines bornés (D1) et (D2) aux propriétés physiques différentes (conductivité et/ou perméabilité). Dans le domaine 1, le champ électromagnétique vérifie une équation générale (E1). Dans le domaine 2, le champ électromagnétique vérifie une équation générale (E2).
La frontière F1 du domaine 1 est composée de deux parties F11 et F12 (la même chose pour le domaine 2). La frontière F12 est commune aux domaines (D1) et (D2), c’est une interface. Sur cette partie de la frontière, on imposera des conditions de passage liant les champs (ou les potentiels) dans les deux milieux de propriétés différentes.
La frontière F11 correspond à la limite du domaine 1 (pas de lien avec un autre domaine). Sur cette partie, on imposera les conditions aux limites pour le domaine considéré.
66 a) Conditions de passage sur le champ magnétique
On définit sur la figure 3.2 le vecteur n, normal en un point (P) de la surface de séparation entre (D1) et (D2). Ce vecteur est orienté du milieu 1 vers le milieu 2. Lorsque l’on passe du milieu 1 au milieu 2, le champ magnétique doit vérifier les relations suivantes qui résultent des équations de Maxwell :
(
−)
=0i 2 1
n B B (3.12)
(
2− 1)
= sn× H H K (3.13)
où Ks (A/m) représente une distribution superficielle de courant.
b) Conditions aux limites
Lorsqu’on borne le domaine d’étude par une frontière artificielle pour en limiter les dimensions, il est nécessaire d’imposer des conditions sur les bords de ce domaine pour résoudre le problème. On peut également être amené à imposer des conditions aux limites pour des raisons de symétries. Enfin, la limite d’un domaine d’étude peut correspondre à une frontière avec un matériau considéré comme parfait, ce qui impose au champ électromagnétique de vérifier certaines propriétés à la surface de séparation.
Le concept purement théorique de matériaux parfaits permet de simplifier la résolution d’un problème en caractérisant ce type de matériaux par des conditions aux limites particulières qui sont issues des relations précédentes. Dans ce cas, le matériau parfait n’est plus considéré comme un domaine d’étude mais n’intervient que par une condition aux frontières. Ces prescriptions, qu’on désigne sous le terme "conditions aux limites", jouent un rôle très important dans l’étude mathématique des solutions, au point qu’on parle souvent de problèmes aux limites pour désigner les modèles mathématiques dans lesquels ces conditions apparaissent. Nous donnerons quelques développements sur ce sujet à la fin de ce chapitre.
♦ Paroi magnétique parfaite (µ→ ∞)
Dans ce mémoire, nous définissons un matériau magnétique parfait comme ayant une perméabilité infinie. Si on considère sur la figure 3.2 que le domaine 1 est tel que µ1 soit infinie, alors le champ magnétique est nul dans cette région (H1 = 0) car l’induction magnétique B1doit rester bornée. A partir de la relation (3.13) et en considérant une densité de courants superficiels nulle à l’interface entre les deux domaines (Ks= 0), nous obtenons :
=
2
n H× 0 (3.14)
Cette relation montre que le champ magnétique H2 est orthogonal à la surface de séparation. La figure 3.3(a) illustre ce phénomène dans le cas d’un aimant permanent placé en face d’un matériau magnétique considéré parfait.
Si une densité superficielle de courant Ks existe à la surface du matériau magnétique parfait (par exemple pour représenter d’une manière simplifiée un induit de machine électrique), nous devons alors écrire :
=
2 s
67 ♦ Paroi diamagnétique parfaite (µ = 0)
Nous définissons un matériau diamagnétique parfait comme ayant une perméabilité magnétique nulle (µ = 0). Si on considère sur la figure 3.2 que le domaine 1 est tel que µ1 soit nulle, alors aucun champ magnétique ne pénètre dans cette région (B1 = 0), on parle parfois d’isolation magnétique ou d’écran magnétique. A partir de la relation (3.12), nous obtenons :
0
= i 2
n B (3.16)
Nous retiendrons que la composante normale de l’induction magnétique est nulle à l’interface avec un matériau diamagnétique parfait. Les lignes de champ magnétique sont tangentes à la surface de ce type de matériaux comme le montre la figure 3.3(b).
Dans le chapitre suivant qui traite des actionneurs supraconducteurs, nous appliquerons ce type de conditions limites pour modéliser simplement les matériaux supraconducteurs massifs faisant office d’écrans magnétiques.
c) Symétries et périodicités
Dans un système électromagnétique, l’exploitation des symétries (distribution symétrique des sources et des matériaux dans l’espace) et des périodicités spatiales permet de réduire astucieusement le domaine d’étude. C’est souvent le cas pour les machines électriques tournantes à géométrie cylindrique. Dans ce cas, la périodicité du champ magnétique est suivant la variable θ dans un système de coordonnées cylindriques.
Les plans de symétrie deviennent alors les nouvelles frontières du domaine sur lesquelles on impose des conditions aux limites appropriées en fonction du type de symétrie (paroi magnétique parfaite, paroi diamagnétique parfaite). On arrive alors à des solutions analytiques plus simples que celles qu’on obtiendrait en considérant l’ensemble du domaine. A chaque fois que cela est possible, il est donc important de repérer les plans de symétrie ou les périodicités d’un système électromagnétique avant de résoudre le problème.
(a) (b)
Figure 3.3 : Allure des lignes de champ : (a) Paroi magnétique parfaite ; (b) Paroi diamagnétique parfaite.
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