Formulation déterministe
Le volume du réservoir à la fin de la période t est donné par :
Vrt= Vr0+X τ ≤t aτr+X g δgrFgτ ! = Vr0+ Atr+X τ ≤t X g δgrFgτ.
L’impact économique du groupe g est donné par le coût : ρg
X
τ ≤H
cτFgτ.
Nous rappelons que ρg < 0 (coefficient de rendement du groupe) pour du turbinage. Le turbinage
décroît les coûts.
L’impact économique de la variation de volume d’eau dans les réservoirs est donné par le coût X r ωr0Vr0− ωrHVrH =X r (ωr0− ωrH)Vr0+X r ωHr (Vr0− VrH).
L’optimiseur arbitre donc à chaque instant entre la conservation de l’eau rémunérée à la valeur de l’eau et l’utilisation de l’eau rémunérée au coût marginal du système (c-à-d le coût de l’unité de production la moins chère à utiliser dans le cas d’une unité de demande supplémentaire). Par la suite, nous omettrons la contribution fixeP
r(ω0r− ωrH)Vr0 et nous utiliserons la notation
ωr = ωrH.
Nous pouvons donc formuler le problème
min z (4.1a) z ≥X g ρg X τ ≤T cτFgτ + X r ωr(Vr0− VrH) (4.1b) Vrt= Vr0+ Atr+X τ ≤t X g δgrFgτ, ∀r, ∀t ≤ H (4.1c) Vtr≤ Vrt≤ ¯Vrt, ∀r, ∀t ≤ H (4.1d) Ftg≤ Fgt ≤ ¯Fgt, ∀g, ∀t ≤ H. (4.1e)
4.3
Incertitude
4.3.1 Incertitude sur les apports d’eau
Nous souhaitons prendre en compte les incertitudes sur les apports hydrauliques dans le problème déterministe. L’apport d’eau au réservoir r et au pas de temps t est une variable aléatoire que nous pouvons écrire
˜
4.3. INCERTITUDE
Nous interprétons atr comme la valeur moyenne, et tr comme le facteur de déviation autour de la moyenne, exprimé comme le multiple de l’écart-type σtr. L’aléa du problème est désormais le bruit blanc tr qui est centré et réduit.
Hypothèse 4.1 Nous supposons que tous les aléas t
r sont indépendants entre eux.
Ce modèle simplifié de l’incertitude a été retenu pour être compatible avec les générateurs de simulation d’apports existants. Nous pouvons cependant envisager des modèles plus complets (comme des modèles autorégressifs) sans rendre la modélisation du problème d’optimisation robuste plus complexe et sans augmenter de manière incontrôlée la taille des problèmes linéaires à résoudre.
Par ailleurs, les apports d’eau sont reçus par pas de temps et par réservoir, mais ne sont pas directement observables par le décideur. Nous effectuons donc l’hypothèse suivante :
Hypothèse 4.2 La seule information sur les apports d’eau qui soit accessible au planificateur
est celle des apports cumulés sur tous les pas de temps d’une journée pour chaque réservoir.
Suivant cette hypothèse, pour un modèle avec 12 pas de temps par jour, l’information disponible durant les pas de temps 25 à 36 est la même en chaque pas de temps et correspond au cumul des apports des jours 1 (pas de temps 1 à 12) et 2 (pas de temps de 13 à 24). Il est commode d’introduire une notation spécifique pour repérer le jour où est révélée la plus récente information sur les apports d’eau. Ce jour se calcule simplement par la formule :
J (t) = t T
− 1,
où dae désigne la partie entière supérieure de a.
Les apports d’eau cumulés dans le réservoir r durant le jour j s’écrivent :
˜ Ajr = jT X t=(j−1)T +1 (atr+ σrtr) = ( jT X t=(j−1)T +1 atr) + σr( jT X t=(j−1)T +1 tr). (4.2)
Nous pouvons récrire cette variable aléatoire ˜Ajr comme une perturbation autour d’une valeur
nominale (tout comme pour tr) :
˜ Ajr = ( jT X t=(j−1)T +1 atr) + σr √ T θrj, (4.3)
où nous pouvons considérer que tous les θrj = PjTt=(j−1)T +1tr sont, comme les tr, des bruits
blancs centrés réduits et indépendants entre eux.
Pour résumer, nous distinguons dans notre modèle deux aléas qui s’avèrent être des bruits blancs centrés, réduits et indépendants entre eux :
4.3. INCERTITUDE
– tr qui représente la réalisation de l’aléa en chaque instant ;
– θrj qui représente l’observation de l’aléa en fin de chaque journée.
Remarque 4.1 En pratique, le modèle d’apports utilisé est un modèle qui génère des pertur-
bations autour d’une moyenne à l’aide d’une loi normale bi-tronquée. Le fait de connaître cette information ainsi que les paramètres de cette loi (écart-type, moyenne) pourra être exploité pour affiner la prise en compte de l’incertitude dans le processus de décision par optimisation robuste.
4.3.2 Les recours
Le problème de détermination des commandes hydrauliques à l’instant initial pour tous les pas de temps de la période d’étude, sans utilisation de l’information acquise au fil du temps, est un problème statique. Or, les commandes du j`eme jour peuvent être logiquement influencées par la réalisation des aléas des jours antérieurs. Au jour j, nous connaissons ces réalisations θrj. Nous
avons donc à disposition de l’information non utilisée qui permettrait d’adapter les commandes. Pour remédier à cela, nous introduisons le concept de recours.
L’incorporation du recours dans la formulation du problème ne va pas sans difficulté. Si nous prenons une approche de type programmation stochastique, les décisions à chaque instant sont des recours, fonctions des aléas passés. Le fait d’avoir à optimiser sur un espace de fonctions très général conduit, pour les problèmes multi-étapes, à une explosion de la dimension. Pour rester dans un environnement numériquement traitable, nous nous proposons de restreindre l’espace des fonctions de recours à celui des fonctions linéaires des aléas observés. Nous parlons alors de
règle de décision linéaire.
Cette restriction nous permet de modéliser le problème de départ dans le cadre de l’optimisation robuste comme un problème de programmation linéaire, certes de grande taille, mais parfaite- ment traitable par des solveurs numériques actuellement disponibles. Le prix à payer pour cette simplification considérable est, bien entendu, une certaine perte d’optimalité de la solution. Mais en l’absence de techniques et d’outils permettant de calculer une solution optimale, cette restriction peut se justifier.
Dans le cadre du problème hydraulique, la règle de décision linéaire ˜Fgt(θ) choisie peut se formuler ainsi : ˜ Fgt(θ) =X j X r xjrθrj. (4.4)
Les nouvelles variables du problème sont désormais les xjr. Ainsi, plus nous insérons de l’infor-
mation dans la régle, plus le nombre de variables du problème croît.
Remarque 4.2 Nous noterons que les recours sont dynamiques, mais que les paramètres xjr
sont fixés en première période et sont donc statiques.
4.3.3 Optimisation, incertitude et validation
Le but des sections suivantes est de présenter une approche opérationnelle de la gestion d’une vallée hydraulique qui prenne en compte explicitement l’incertitude sur les apports d’eau. Pour
4.3. INCERTITUDE
mesurer l’intérêt de cette approche, il faut pouvoir la comparer à d’autres politiques de gestion. Nous en retenons trois. Le premier IP est un idéal qui ne peut pas être mis en œuvre, mais qui donne une borne inférieure au coût de gestion. La deuxième DF est simple, mais comme nous le verrons, irréaliste. La troisième DRP semble assez proche de ce qui est réalisé en pratique. Ces politiques sont détaillées ci-dessous :
La Politique à Information Parfaite (IP) Dans cette approche, nous considérons que les scénarios d’apport d’eau sont connus avant le premier pas de temps. L’optimisation s’effectue en avenir certain sur chacun des scénarios individuels. Cette politique permet de satisfaire exac- tement toutes les contraintes. Elle ne peut pas être mise en œuvre puisque les apports d’eau ne sont connus que progressivement. Il s’agit d’une politique idéale fournissant une borne inférieure aux coûts de gestion.
Politique déterministe fixe (DF) Nous considérons une version déterministe du problème dans laquelle la chronique des apports d’eau est celle des apports moyens. La chronique résultante des décisions de turbinage est mise en œuvre sur des scénarios tirés au hasard.
Déterministe à Révisions Périodiques (DRP) Dans cette approche, un planning est établi sur base d’une projection déterministe des apports d’eau moyens. Ce modèle est utilisé par l’exploitant pour gérer la première journée, avec au besoin une adaptation en temps réel des turbinés pour tenir compte des fluctuations infra-journalières. Au terme de la première journée, un nouveau planning basé sur les niveaux actualisés des réservoirs est calculé pour la période restante. Il est utilisé par l’exploitant comme précédemment. Cette politique de gestion est dit à « révisions périodiques ». La révision périodique du planning introduit une capacité d’adaptation indispensable. Le planning sur les jours restants n’est pas utilisé directement par l’exploitant mais est utile pour garantir que le plan de gestion du premier jour s’inscrit dans une perspective cohérente d’anticipation des prix et des besoins.
Ces politiques serviront de référence pour évaluer les mérites des deux approches robustes que nous proposons :
Robuste à Révisions Périodiques (RRP) Nous procédons aux mêmes opérations que pour la politique DRP à part que l’optimisation n’est plus déterministe mais robuste sur la première journée. La planification pour les jours suivants se fait sur un mode déterministe. Le but est d’introduire dans les décisions du premier jour une certaine vision du futur, sachant que la partie du planning au delà du premier jour sera remise à plat lors de la révision au jour suivant. En résumé, l’optimisation robuste doit assurer une protection contre des violations de contraintes dans la première journée ; la révision, comme précédemment, permet une adaptation.
Robuste à Ajustements Linéaires (RAL) L’approche RAL est plus ambitieuse que l’ap- proche RRP car elle s’efforce d’introduire dans le modèle lui-même la capacité d’adaptation par le biais de règles de décision linéaires sur les turbinages. Ces règles donnent le moyen de gérer le système hydraulique sur toute la période de planification sans réactualisation journalière du modèle. Dans la pratique, un exploitant souhaitera toujours une réactualisation. Il faudrait donc implémenter RAL dans un contexte à révision périodique. Nous ne l’avons pas fait pour des raisons de temps calcul dans les simulations. L’intérêt de cette politique est de voir si les règles de décision linéaires permettent une adaptation efficace et surmontent leur handicap par rapport aux politiques DRP et RRP.
4.4. POLITIQUE DE GESTION ROBUSTE À RÉVISIONS PÉRIODIQUES (RRP) DU PROBLÈME HYDRAULIQUE
4.4
Politique de gestion Robuste à Révisions Périodiques (RRP)
du problème hydraulique
Dans cette section (et la suivante), nous appliquons les résultats du chapitre 3 pour formaliser la politique de gestion RRP. Nous rappelons que dans cette politique, il n’est pas fait appel à des règles de décision linéaires et que seules les contraintes du premier jour sont soumises à une exigence de robustesse. Le mode d’exploitation du modèle se fait par révision périodique. Cela implique que les décisions des jours deux et suivants calculées par le modèle ne sont pas implémentées.
Les aléas considérés sont les aléas instantanés en chaque réservoir tr. Nous choisissons un en- semble d’incertitude `1∩ `∞ comme dans l’exemple précédent. L’ensemble s’écrit :
Θt= {τr| t X τ =1 |τr| ≤ κ√t, |τr| ≤ κ, ∀r ∈ 1, . . . , R, ∀τ ∈ 1, . . . , t} ou Θt= {τr|τr = (τr)+− (τr)−, t X τ =1 |τr| ≤ κ√t, |τr| ≤ κ, (τr)+≥ 0, (τr)−≥ 0, ∀r ∈ 1, . . . , R, ∀τ ∈ 1, . . . , t}.
L’ensemble d’incertitude dépend de t et s’agrandit en fonction de l’information disponible. Nous rappelons que l’ensemble `1 ∩ `∞ nous sert à approximer une boule `2 de dimension n.
Pour calibrer le rayon de la boule κ et définir une probabilité de présence dans cet ensemble, nous calculons le rayon à l’aide d’une loi χ2n à n degrés de liberté (justifié en tant que somme des carrés de n aléas centrés réduits indépendants).
Puisque les valeurs réalisées des aléas θ1r de première journée ne sont révélées qu’à la fin de cette journée, les commandes ne sont pas des recours. Elles sont déterministes et doivent être fixées dès l’instant initial. Les contraintes à rendre robustes sont celles sur les volumes Vtr≤ ˜Vrt≤ ¯Vrt. Nous détaillons uniquement l’équivalent robuste de la première contrainte. L’autre contrainte se déduit facilement. Nous proposons de rendre ces contraintes robustes vis-à-vis des aléas d’apports instantanés τr. La première des deux contraintes s’écrit :
Vr0+X τ ≤t aτr+X τ ≤t σrτr + X τ ≤t X g δgrFgτ ≥ Vtr.
L’équivalent robuste s’obtient en résolvant le problème min { X τ ≤t σrτr | X τ ≤t |τr| ≤ κ√t, |τr| ≤ κ, ∀r ∈ 1, . . . , R, ∀τ ∈ 1, . . . , t}. ou min { X τ ≤t σr(τr)+− (τr)−}
4.5. POLITIQUE DE GESTION ROBUSTE À AJUSTEMENTS LINÉAIRES (RAL) DU