Toutefois, cette approche comporte quelques limites : pour une itération fixée, nous résolvons à chaque instant le problème d’optimisation de la fonction valeur, problème qui dépend du pas de temps suivant. L’erreur d’approximation de la fonction valeur introduite en T se répercute ainsi au fil du temps et même grandit au fil du temps. Donc plus le nombre de pas de temps est important, plus l’approximation des fonctions valeur sur les premiers pas de temps sera grossière. Un nombre de pas de temps trop important est donc problématique, d’autant plus que les temps de calculs en sont fortement influencés. D’autre part, cette approche est heuristique et beaucoup de paramètres doivent être réglés manuellement (comme le choix des points candidats servant de support aux hyperplans). Enfin, les critères de convergence ne renseignent pas sur la distribution des coûts obtenus. En effet, le test d’arrêt ne se concentre que sur l’espérance du coût. Dans une optique de gestion des risques sur des scénarios extrêmes, les stratégies de la SDDP pourraient être très éloignées des stratégies optimales.
2.3.3 Les autres approches
Nous avons présenté des approches dans la cas statique ou à deux étapes. Pouvons-nous les généraliser ?
Pour appliquer l’algorithme du gradient stochastique, l’hypothèse de séparabilité dans le temps est fondamentale. Dans ce cas de boucle fermée, il est donc pas possible d’appliquer ce type d’algorithme. Cependant des premières pistes d’amélioration apparaissent dans la littérature [3].
En fait, à la vue de la difficulté des problèmes à plusieurs étapes, des techniques sous-optimales ont été introduites. C’est le cas des règles de décision. Ce concept de règle de décision a été introduit dans les années 60 dans le contexte du contrôle optimal. Il a été développé pour résoudre des problèmes de planning de production [53] avec un objectif quadratique. Depuis, ces règles de décision linéaires ont été utilisées avec de la programmation stochastique et des contraintes en probabilité [39] mais oubliées depuis. Elles sont réapparues récemment avec les travaux en optimisation robuste ([10, 9, 11, 1, 16]). Il s’agit de remplacer les commandes par des règles de décision linéaires en l’observation de l’aléa puis de construire l’équivalent robuste par rapport à ces aléas (voir chapitre 3). Au sujet des contraintes en probabilité, il semble que ces règles de décision soient à l’heure actuelle la seule façon d’introduire de la dynamique. Mais ceci n’est possible que sous de sévères hypothèses comme la séparabilité de la variable aléatoire. En programmation stochastique, nous pouvons souligner l’introduction de règles de décision constantes par morceaux ([103] et chapitre 6), heuristique qui sera présentée plus longuement dans cette thèse.
2.4
Conclusions
Nous venons de faire un rapide survol de l’optimisation dans l’incertain. Les problèmes d’op- timisation qui concernent cette thèse sont clairement multidimensionnels. La programmation dynamique, à cause de la malédiction de la dimension, et la programmation stochastique, à
BIBLIOGRAPHIE
cause de la difficulté numérique inhérente, ne semblent pas satisfaisantes pour résoudre des pro- blèmes à grande dimension. Or, le cadre industriel de cette thèse réclame la nécessité de proposer des approches qui soient cohérentes mais surtout qui répondent à des besoins particuliers comme des temps de calculs raisonnables. D’autre part, les commandes que nous pouvons chercher à obtenir comme, par exemple, des turbinages de centrales hydrauliques, se doivent de respecter au maximum les contraintes pour que les exploitants n’aient pas à faire des corrections inces- santes et importantes qui, finalement, désoptimisent le système. A la vue de nos objectifs et notamment la volonté d’avoir une approche opérationnelle, deux approches semblent particuliè- rement intéressantes. La première est l’optimisation robuste. L’optimisation robuste permet de s’assurer des contrôles réalisables pour toute réalisation d’un aléa dans un ensemble contenant ses réalisations les plus probables. La particularité principale de cette approche est la volonté affichée de conserver une complexité de l’équivalent déterministe équivalente à celle du problème déterministe original. Nous détaillerons et appliquerons donc cette approche notamment au sein des chapitres 3 et 4. La seconde est la Programmation Stochastique avec Règles de Décision Constantes par Morceaux. Il s’agit d’une heuristique basée sur la programmation stochastique classique sur arbre. Le grand avantage est qu’elle permet de contrôler la taille de l’arbre tout en obtenant des résultats intéressants. Nous présenterons cette approche et l’appliquerons au sein du chapitre 6.
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Deuxième partie
Etude et application de
l’optimisation robuste
Chapitre 3
Introduction à l’optimisation robuste
linéaire
Sommaire
3.1 Introduction . . . . 76 3.2 Problème d’optimisation linéaire avec coefficients incertains . . . . 78 3.3 Satisfaction en probabilité d’une contrainte d’inégalité . . . . 79 3.3.1 Distribution normale . . . 80 3.3.2 Distribution uniforme . . . 80 3.3.3 Distribution générale . . . 82 3.4 Solution robuste pour un ensemble d’incertitude . . . . 83 3.4.1 Contrainte robuste . . . 84 3.4.2 Equivalent robuste d’une contrainte d’inégalité . . . 86 3.5 Probabilité de satisfaction de la contrainte pour une solution robuste 90 3.5.1 Ensemble d’incertitude Ξ = B(0, k)2 . . . 91
3.5.2 Ensemble d’incertitude Ξ = B(0, 1)∞∩ B(0, k)1 . . . 93
3.6 Eléments pour définir l’ensemble d’incertitude . . . . 94 3.6.1 Une approche heuristique basée sur un aléa gaussien . . . 94 3.6.2 Equivalent robuste . . . 95 3.7 Problème général d’optimisation linéaire . . . . 97 3.7.1 Equivalent robuste d’une contrainte d’égalité . . . 97 3.7.2 Performance moyenne et performance garantie . . . 98 3.8 Problèmes dynamiques . . . . 99 3.8.1 Problèmes avec recours fixe . . . 101 3.8.2 Règle de décision linéaire par morceaux avec coefficients de recours fixes 101 3.8.3 Problèmes avec coefficient de recours incertain . . . 102 3.9 Extension du concept de robustesse : violation contrôlée des contraintes103
3.9.1 Définition formelle de la robustesse étendue . . . 103 3.9.2 Robustesse étendue dans le cadre de la programmation linéaire . . . 104 3.10 Conclusion . . . 107 Bibliographie . . . 108
3.1. INTRODUCTION
Ce chapitre est une introduction à l’optimisation robuste, limitée au cadre linéaire. En effet, les grands thèmes de l’optimisation robuste sont basés sur la dualité. Or, la dualité dans le cadre de la programmation linéaire a l’extrême avantage d’avoir des écritures moins lourdes que dans le cadre de la programmation conique. Bien que restreint, nous avons donc fait le choix délibéré de développer cette introduction dans le cadre linéaire afin d’être le plus clair possible. Ce chapitre reprend des principes de base (liens avec les contraintes en probabilité, obtention d’équivalents robustes) mais détaille également des extensions possibles (cas dynamique via des règles de décision, robustesse étendue,...). De plus, ce chapitre contient un énoncé (et sa preuve) de la proposition 3.1, permettant de borner la probabilité de non-satisfaction de la contrainte, plus fort que ce que la littérature fournit actuellement. Cette introduction, permettant de mettre en place des concepts utilisés dans la suite de cette thèse, a donné lieu à une note interne EDF [40] et a été soumis à [41].
3.1
Introduction
L’optimisation robuste traite de problèmes d’optimisation dans lesquels les coefficients des con- traintes et de l’objectif sont incertains. Son but est de fournir une solution opérationnelle à des problèmes de cette classe, en des temps de calcul raisonnables, là où les approches tradition- nelles, basées sur un modèle probabiliste, se heurtent à des difficultés numériques considérables. En effet, il est en général très difficile, voire impossible, de formuler un modèle probabiliste perti- nent pour les paramètres incertains du problème. Lorsque cela est malgré tout possible, le calcul d’espérances mathématiques avec des distributions multidimensionnelles peut être numérique- ment très lourd, voire impossible à effectuer avec une précision raisonnable. Et si ces difficultés sont surmontées, le problème d’optimisation est alors d’une telle dimension ou d’une complexité telle qu’il est impossible à résoudre, en particulier lorsqu’il s’agit de problèmes dynamiques avec plus de 2 périodes.
L’optimisation robuste contourne ces difficultés en stipulant au départ des hypothèses minimales et non probabilistes sur le domaine de variation des paramètres incertains. Le calcul d’espérances mathématiques est ainsi évacué ; il est remplacé par la notion de «pire des cas». Cela conduit à des problèmes d’optimisation de même nature que la version déterministe du problème ori- ginal et de taille modérément supérieure. L’optimisation robuste est donc opérationnelle, là où les approches alternatives se heurtent à des difficultés souvent insolubles de formulation et de résolution numérique, en particulier lorsqu’il s’agit de problèmes multi-étapes et/ou avec aléas multi-dimensionnels.
L’optimisation robuste propose donc une approche de protection contre le «pire des cas». Si le pire des cas est choisi parmi un ensemble trop vaste de possibles, l’exigence peut être trop sévère pour qu’il existe une solution admissible. L’idée est donc de ne choisir le pire cas que dans un ensemble restreint de possibles appelé ensemble d’incertitude. Cela exclut des cas extrêmes qu’une analyse probabiliste aurait sans doute déclaré hautement improbables. Cette formulation par le pire des cas conduit à remplacer la satisfaction d’une contrainte déterministe, par la satisfaction d’un nombre infini de contraintes, chacune de ces contraintes correspondant à une