Le tr`es bon accord avec les pr´edictions post-newtoniennes `a l’ordre 3 montre que l’approche HKV pr´esent´ee au Chap. 26 est meilleure que l’approche num´erique pr´ec´edente d´evelopp´ee par G.B. Cook [101]. Cette derni`ere est la m´ethode du potentiel effectif avec courbure extrins`eque
de Bowen-York (EPBY)1 et a ´et´e pr´esent´ee au § 26.1. Elle a ´et´e utilis´ee par Cook lui-mˆeme [101] et plus r´ecemment (en 2000) par H.P. Pfeiffer, S.A. Teukolsky & G.B. Cook [230] et T.W. Baumgarte [46]. Le d´esaccord (un facteur 2 de diff´erence sur la fr´equence de l’ISCO !) de EPBY avec le post-newtonien avait tout d’abord ´et´e attribu´e `a l’utilisation d’une m´etrique spatiale conform´ement plate, alors que la m´etrique post-newtonienne cesse d’ˆetre conform´ement plate `a partir de l’ordre 2. Le fait que notre approche utilise ´egalement une m´etrique spatiale conform´ement plate montre qu’il ne s’agit pas l`a de la source principale du d´esaccord. Il reste alors deux possibilit´es, c’est-`a-dire deux diff´erences majeures entre les traitements HKV et EPBY (cf. § 26.1 et 26.2) :
• le crit`ere de d´etermination des orbites circulaires ; • la courbure extrins`equeKdes hypersurfaces t = const.
Le crit`ere de d´etermination des orbites circulaires d’EPBY nous paraˆıt moins bien fond´e que le nˆotre, notamment en raison du caract`ere intrins`equement tridimensionnel d’EPBY qui rend douteuse toute d´efinition de vitesse (pas de temps !), contrairement `a HKV o`u la dimension temporelle est prise en compte. Cependant deux ´etudes r´ecentes ont montr´e que les deux crit`eres conduisaient `a des r´esultats semblables. Tout d’abord, ainsi que nous l’avons d´ej`a mentionn´e au
§ 26.3, M. Skoge & T.W. Baumgarte [262] ont compar´e les deux crit`eres dans le cas d’un
probl`eme d’´ecole simple : celui d’une coquille sph´erique mince de particules sans interaction autre que gravitationnelle (poussi`ere) en orbites sph´eriques. Ils ont montr´e que les deux crit`eres conduisent exactement au mˆeme r´esultat. Par ailleurs, M. Shibata [257] a effectu´e l’exp´erience num´erique suivante : il a calcul´e des configurations d’´equilibre irrotationnelles dans le cadre HKV mais en utilisant la courbure extrins`eque de Bowen-York et non celle qui d´ecoule de l’´equation de Killing dans le formalisme HKV. Il a trouv´e des r´esultats proches de EPBY.
Ainsi, il apparaˆıt que la source principale de la diff´erence entre HKV et EPBY est la cour-bure extrins`eque des hypersurfaces t = const. D´ej`a dans l’article [A28], nous sugg´erions au
§ IV.D que c’´etait bien l`a l’origine de la diff´erence entre les deux approches. L’argument est que
l’approche post-newtonienne, bas´ee sur la relation c−1∂/∂t ¿ ∂/∂x, conduit `a un espace-temps
quasi-stationnaire, r´egi par des ´equations elliptiques, et qui a le bon contenu en ondes gravi-tationnelles, g´en´er´ees par toute l’histoire du syst`eme. Tout contenu d’ondes gravitationnelles incorrect provoquerait une ´evolution rapide, incompatible avec l’hypoth`ese c−1∂/∂t ¿ ∂/∂x.
28.3 Importance de la courbure extrins`eque dans les configurations de quasi-´equilibre519 De mˆeme, l’approche HKV et ses ´equations elliptiques s´electionne automatiquement parmi toutes les solutions possibles des ´equations de contrainte, celles qui correspondent au r´egime physiquement quasi-stationnaire. Au contraire, l’approche EPBY s´electionne des solutions des ´equations contraintes via un choix technique, `a savoir une solution analytique simple (Bowen-York) pour l’´equation de contrainte impulsionnelle. Bien qu’obtenant ainsi des solutions parfai-tement exactes des ´equations de contrainte, elle ne conduit pas `a des solutions qui repr´esentent une coupe `a t = const d’un espace-temps physique quasi-stationnaire g´en´er´e par un syst`eme binaire. La proc´edure de minimisation de l’´energie de liaison introduite par Cook [101] est alors vou´ee `a l’´echec, car elle op`ere sur un sous-ensemble de l’espace des configurations qui ne contient pas les solutions physiques (c’est-`a-dire quasi-stationnaires).
Sixi`eme partie
539 Depuis sa cr´eation par Silvano Bonazzola & Jean-Alain Marck au milieu des ann´ees 1980 [71, 72], notre groupe utilise des m´ethodes spectrales [148, 86, 216, 55, 76] pour r´esoudre les ´equations aux d´eriv´ees partielles (EDP) de la relativit´e g´en´erale et de l’hydrodynamique. Jusqu’`a r´ecemment, il s’agissait l`a d’une particularit´e de notre groupe vis-`a-vis des autres groupes de relativit´e num´erique, qui utilisaient tous la m´ethode des diff´erences finies. Mais depuis peu d’autres groupes utilisent ´egalement des m´ethodes spectrales, comme le groupe de Frauendiener `a T¨ubingen [128] ou celui de Teukolsky `a Cornell [229].
Les m´ethodes spectrales que nous employons sont en perp´etuel d´eveloppement, au gr´e des nouvelles EDP ou conditions au contour qui apparaissent lorsque l’on traite de nouveaux probl`e-mes. Cette partie pr´esente quelques uns de ces d´eveloppements. Elle ne constitue en aucun cas une introduction aux m´ethodes spectrales. On pourra trouver des telles introductions dans le cours que j’ai donn´e aux Houches en 1995 [13], dans notre article de revue [19], ou encore en ligne sur la page Web de Lorene : http ://www.lorene.obspm.fr/. Mentionnons ´egalement qu’il existe de nombreuses monographies sur le sujet comme [55, 76, 86, 148, 216].
Chapitre 29
M´ethode spectrale multi-domaine
29.1 M´ethodes de d´ecomposition de domaine
Il est souvent utile de d´ecomposer le domaine physique sur lequel on doit r´esoudre une ´equation aux d´eriv´ees partielles (EDP) en plusieurs sous-domaines. On peut ainsi d´ecrire une g´eom´etrie compliqu´ee. On r´esout l’EDP s´epar´ement sur chaque sous-domaine et on raccorde ensuite les solutions pour obtenir une solution globale. Il y a essentiellement deux m´ethodes de raccord :
• La m´ethode de patch (formulation forte du probl`eme), qui consiste `a assurer la continuit´e
de la solution et sa d´eriv´ee normale `a la fronti`ere entre deux domaines1
• La m´ethode variationnelle (formulation faible du probl`eme), qui consiste `a assurer la
conti-nuit´e sous une forme int´egrale (cf. [76, 209] pour plus de d´etails).
Dans le cas qui nous int´eresse ici, `a savoir les EDP elliptiques issues de la relativit´e g´en´erale, il est n´ecessaire d’avoir un domaine d’int´egration qui recouvre tout l’espace, car ce n’est qu’`a l’infini spatial que l’on peut mettre des conditions aux contours exactes : celle de l’espace-temps plat. Nous avons vu au Chap. 6 que l’erreur commise suite `a l’emploi d’un domaine d’int´egration fini pouvait ˆetre relativement importante. Pour mettre tout l’espace dans un ordinateur de m´emoire finie, il est n´ecessaire d’op´erer une certaine compactification. C’est ce que nous avons fait d`es 1993 [A1] en introduisant la m´ethode spectrale multi-domaine d´ecrite au Chap. 1. L’espace y ´etait d´ecompos´e en domaines sph´eriques, avec une compactification du dernier domaine (Fig. 1.1).