R´esultats obtenus `a l’aide de Lorene

Tous les r´esultats num´eriques de la Partie II (´etoiles de quarks ´etranges) ont ´et´e obte-nus `a l’aide du code Lorene/Codes/Rot Star/rotstar, que j’ai ´ecrit en introduisant la classe Etoile rot dans Lorene. Cette classe est une classe d´eriv´ee de la classe g´en´erique Etoile (dont d´erivent toutes les classes d’´etoiles) et impl´emente les fonctionnalit´es propres aux ´etoiles isol´ees en rotation (comme par exemple la vitesse de rotation Ω ou la m´etrique (1.3) (page 24) sp´ecifique

31.4 R´esultats obtenus `a l’aide de Lorene 595 aux espaces-temps axisym´etriques stationnaires et circulaires. La classe Etoile rot contient elle-mˆeme trois classes d´eriv´ees : Et rot bifluid, ´ecrite par J´erˆome Novak pour les ´etoiles `a deux fluides (en particulier les ´etoiles dont l’int´erieur est superfluide) [237], Et rot diff, ´ecrite par moi pour les ´etoiles en rotation diff´erentielle, et Et rot mag, ´ecrite par J´erˆome Novak et Emmanuel Marcq pour les ´etoiles magn´etis´ees [222].

Les r´esultats du Chap. 19 (point de bifurcation Maclaurin-Jacobi en relativit´e g´en´erale) ont ´et´e obtenus `a l’aide du mˆeme code rotstar, mais en utilisant sa version 3-D.

Tous les r´esultats num´eriques de la Partie IV (´etoiles binaires) ont ´et´e obtenus `a l’aide du code Lorene/Codes/Bin Star/coal, ´ecrit essentiellement par moi-mˆeme, avec des petites am´eliorations apport´ees par Keisuke Taniguchi. Ce code est construit sur les classes Binaire et Etoile bin de Lorene. Tout comme Etoile rot, Etoile bin est une classe d´eriv´ee d’Etoile ; elle impl´emente les fonctionnalit´es propres aux ´etoiles binaires, comme par exemple le potentiel gravitationnel de l’´etoile compagnon. La classe Etoile bin permet de traiter aussi bien les ´etoiles en rotation synchrone que les ´etoiles en mouvement irrotationnel, ainsi que la limite newtonienne. La classe Binaire d´ecrit le syst`eme binaire dans son ensemble et contient ´evidemment deux objets de type Etoile bin.

Tous les r´esultats num´eriques de la Partie V (trous noirs binaires) ont ´et´e obtenus `a l’aide du code Lorene/Codes/Bin Bholes/coal bholes, ´ecrit par Philippe Grandcl´ement et construit sur les classes Bhole binaire et Bhole de Lorene. La classe Bhole d´ecrit un seul trou noir, ´eventuellement en syst`eme binaire, alors que la classe Bhole binaire d´ecrit le syst`eme binaire dans son ensemble.

La m´ethode multi-domaine avec grille adaptative d´ecrite au Chap. 29 a ´et´e mise en œuvre via la classe Map et de Lorene. Cette classe est une classe d´eriv´ee de la classe Map qui d´ecrit tous les changements de variables (ξ, θ0, ϕ0) 7→ (r, θ, ϕ) entre les coordonn´ees “num´eriques” (ξ, θ0, ϕ0) et les coordonn´ees physiques (r, θ, ϕ). La classe Map et impl´emente le changement de variable tel que donn´e par le syst`eme (29.4)-(29.6).

La technique de r´esolution des ´equations de Poisson scalaires et vectorielles pr´esent´ee au Chap. 30 a ´et´e impl´ement´ee via respectivement les m´ethodes Cmp::poisson et

Tenseur::poisson_vect de Lorene.

Enfin, mentionnons que Lorene est actuellement utilis´ee en dehors de notre groupe2 :

• pour r´esoudre des ´equations de Poisson dans un code hydro + gravitation post-newtonienne

par le groupe de F. Rasio `a l’Universit´e Northwestern (Chicago) ;

• ´egalement pour r´esoudre des ´equations de Poisson dans un code hydro pour l’´etude des

oscillations des ´etoiles en rotation, par I. Jones, de l’Universit´e de Southampton, actuelle-ment en post-doc `a l’Universit´e de Pennsylvanie.

• pour r´esoudre les ´equations de type Enrst dans les espaces-temps de trou noir par J.

Frauen-dienner, de l’Universit´e de T¨ubingen.

2Ne figurent pas dans cette liste les groupes avec qui nous avons une collaboration directe et qui utilisent Lorene, `a savoir Varsovie, Valence, Tokyo et Golm

Septi`eme partie

599

D´eveloppement num´erique : m´ethodes spectrales bas´ees sur des

polynˆomes de Legendre

Jusqu’`a pr´esent nous avons toujours employ´e une formulation forte pour r´esoudre les EDP multi-domaines (cf. § 29.1). Or pour des probl`emes d’´evolution temporelle (´equation d’advection ou ´equation d’ondes), la formulation faible r´esulterait dans des sch´emas plus stables [208]. Mais la formulation faible ne peut ˆetre mise en œuvre avec les polynˆomes de Tchebyshev — que nous avons toujours utilis´es jusqu’alors pour la d´ecomposition radiale. La raison est la divergence du poids associ´e aux polynˆomes de Tchebyshev, ω(x) = 1/^√1 − x2, aux extr´emit´es de l’intervalle [−1, 1]. Les polynˆomes de Legendre, pour lesquels le poids est ω(x) = 1, ont un bien meilleur comportement `a cet ´egard. Nous pr´evoyons donc de les introduire pour r´esoudre des EDP en formulation faible. Il convient de noter que la structure modulaire de Lorene est parfaitement adapt´ee `a l’ajout d’une nouvelle famille de polynˆomes pour les d´ecompositions spectrales.

Mod`eles “sophistiqu´es” d’´etoiles `a neutrons

Depuis l’´etude de 1994 ([A5], Chap. 5), des progr`es importants ont ´et´e accomplis dans la physique de la mati`ere dense, d´ebouchant sur de nouvelles ´equations d’´etat. Nous pr´evoyons donc de calculer de nouveaux mod`eles d’´etoiles `a neutrons en rotation, bas´es sur les ´equations d’´etat suivantes :

• Pour l’int´erieur liquide :

– Akmal, Pandharipande & Ravenhall (1998) [29] : mati`ere de neutrons, protons, ´electrons et muons, d´ecrite via le potentiel A18+dv+UIX* ;

– Baldo, Bombaci & Burgio (1997) [44] : mati`ere de neutrons, protons, ´electrons et muons, d´ecrite en approximation Brueckner-Hartree-Fock avec le potentiel de Paris avec des corrections `a trois corps de type Urbana ;

– Balberg (2000) [43] : mati`ere contenant des hyp´erons.

• Pour la croˆute solide :

– mod`ele de Douchin & Haensel (2001) [117] : croˆute interne ; – mod`ele d’Haensel & Pichon (1994) [156] : croˆute externe.

Avec l’aide de J.L. Zdunik, j’ai d´ej`a impl´ement´e ces ´equations d’´etat dans Lorene, en utilisant la technique d’interpolation thermodynamiquement coh´erente pr´esent´ee au § 6.3.

Pour chacun des mod`eles d’´etoiles `a neutrons, nous pr´evoyons de calculer la position de la derni`ere orbite stable (ISCO, § 10.4), ce qui n’avait pas ´et´e fait en 1994, mais est d´esormais pertinent au vu des observations du satellite RXTE (cf. Chap. 10).

Syst`emes binaires et physique nucl´eaire

Les calculs de configurations d’´equilibre d’´etoiles binaires serr´ees pr´esent´es dans la Partie IV ne concernaient que des ´equations d’´etat polytropiques. Nous pr´evoyons d’´etendre ces calculs aux ´equations d’´etat issues de la physique nucl´eaire et mentionn´ees ci-dessus. Une telle ´etude n’a jamais ´et´e faite. De mˆeme, il sera int´eressant d’´etendre les calculs `a la mati`ere de quarks (u, d, s) consid´er´ee dans la Partie II pour voir si les syst`emes binaires d’´etoiles de quarks ´etranges ont des propri´et´es potentiellement observables par VIRGO et qui pourraient les distinguer des

600

syst`emes binaires d’´etoiles `a neutrons, comme par exemple l’ISCO (§ 22.2.2) ou la forme du spectre d’´energie (§ 25.3).

Syst`emes binaires ´etoile `a neutrons - trou noir

Une autre g´en´eralisation int´eressante des calculs pr´esent´es dans les Parties IV et V est celle des configurations d’´equilibre (et des s´equences d’´evolution associ´ees) des syst`emes “mixtes”, `a savoir compos´es d’une ´etoile `a neutrons et d’un trou noir. Nous avons en effet mentionn´e au d´ebut de la Partie IV, page 352, qu’il n’´etait pas facile de connaˆıtre qui des binaires d’´etoiles `a neutrons ou des binaires de trous noirs seront les ´ev´enements les plus fr´equents observ´es par VIRGO. Il se pourrait qu’en fait les syst`emes binaires “mixtes” soient un bon compromis entre la fr´equence par galaxie donn´ee (moins que les binaires d’´etoiles `a neutrons mais plus que les binaires de trous noirs) et l’amplitude du signal (moins que les binaires de trous noirs mais plus que les binaires d’´etoiles `a neutrons). Nous pr´evoyons donc d’effectuer ces calculs, en d´eveloppant un nouveau code qui empruntera au code pr´esent´e au Chap. 21 pour la partie ´etoile `a neutrons et au code pr´esent´e au Chap. 27 pour la partie trou noir.

Au del`a de l’approximation IWM

Tous les calculs de configurations d’´equilibre et de s´equences d’´evolution quasi-stationnaires que nous avons effectu´es jusqu’`a pr´esent, aussi bien pour les binaires d’´etoiles `a neutrons (Par-tie IV) que pour les binaires de trous noirs (Par(Par-tie V) reposent sur l’approximation d’Isenberg-Wilson-Mathews discut´ee au § 21.2.2. Cette derni`ere revient `a ne r´esoudre que cinq des dix ´equations d’Einstein, en supposant la m´etrique spatiale conform´ement plate. Bien qu’il soit au-jourd’hui clair que cette approximation n’est pas `a l’origine de la diff´erence entre les r´esultats post-newtoniens et certains calculs num´eriques (cf. la discussion du § 28.3), il est naturel d’aller au del`a de cette approximation pour effectuer des calculs plus pr´ecis, tout en conservant l’ap-proximation de sym´etrie h´elico¨ıdale (§ 20.2). Il se pose alors un probl`eme de compatibilit´e avec l’hypoth`ese d’espace-temps asymptotiquement plat. Nous ´etudions actuellement divers moyens de traiter ce probl`eme, dont certaines ont ´et´e sugg´er´ees par Isenberg lui-mˆeme dans son article original [170].

Les d´eveloppements mentionn´es ci-dessus se situent dans le cadre du formalisme 3+1. Or Christian Klein, J´erˆome Novak et moi explorons actuellement une voie alternative, `a savoir l’ap-proche vari´et´e quotient. Il s’agit d’une apl’ap-proche naturelle lorsque l’on doit traiter d’un espace-temps avec un vecteur de Killing, comme ici le vecteur de Killing h´elico¨ıdal. Suivant J. Ehlers et R.P. Geroch [139], on r´eduit le probl`eme `a un probl`eme de dimension 3 en effectuant le quo-tient de la vari´et´e d’espace-temps par les orbites du groupe de sym´etrie g´en´er´e par le vecteur de Killing. Il s’agit ensuite de r´esoudre une ´equation de type Enrst [124] sur la vari´et´e quotient.

Dynamique du champ gravitationnel

L’abandon de l’approximation IWM peut ´egalement ˆetre per¸cu comme une pr´eparation `a l’´etude de la dynamique compl`ete du champ gravitationnel, c’est-`a-dire de l’´evolution temporelle avec ´emission d’ondes gravitationnelles. Cela passe par la r´esolution des ´equations d’Einstein dans toute leur g´en´eralit´e. De nombreux groupes d´eveloppent diff´erents codes num´eriques pour r´esoudre les ´equations d’Einstein 3-D dans des situations fortement dynamiques. On peut citer

601

• le code Cactus (http ://www.cactuscode.org/), d´evelopp´e essentiellement `a l’Institut

Albert Einstein `a Golm (Allemagne) et `a l’Universit´e Washington `a Saint-Louis (´ Etats-Unis) ;

• le groupe de M. Shibata, de l’Universit´e de Tokyo (Japon) ; • le groupe de R. Matzner `a l’Universit´e du Texas (´Etats-Unis) ;

• le groupe de S.A. Teukolsky `a l’Universit´e Cornell (´Etats-Unis).

Tous ces groupes emploient le formalisme 3+1 de la relativit´e g´en´erale. On trouvera une discus-sion d´etaill´ee des diff´erents choix de coordonn´ees et de syst`eme d’EDP dans [261]. Nous avons d´ej`a mentionn´e au § 30.1 que les formulations enti`erement hyperboliques, qui avaient ´et´e choisies sur des crit`eres purement techniques, sont aujourd’hui abandonn´ees. Pour notre part, nous nous orientons vers un choix de coordonn´ees du type de la jauge de rayonnement (feuilletage maximal

+ distortion minimale) de Smarr & York [263], peut-ˆetre sous la forme d’une variante constitu´ee

par la jauge de Dirac. L’id´ee de d´epart remonte aux travaux de J.W. York qui a montr´e en 1972 [295] que la dynamique du champ gravitationnel est port´ee par la “m´etrique” conforme :

ˆ

γ_ij := γ^−1/3γ_ij, (31.1)

o`u γ<sub>ij</sub> d´esigne la 3-m´etrique induite par la m´etrique d’espace-temps g<sub>µν</sub> sur les hypersurfaces de temps coordonn´e constant Σ<sub>t</sub>du formalisme 3+1 et γ le d´eterminant des composantes covariantes de cette 3-m´etrique : γ = det γ<sub>ij</sub>. Notons que puisque γ d´epend des coordonn´ees3, la 3-m´etrique conforme d´efinie par (31.1) n’est pas un tenseur, mais une densit´e de tenseur, de poids −2/3. D’un point de vue num´erique, la quantit´e ˆγ<sub>ij</sub>, que l’on va faire ´evoluer dans le temps, est “petite” devant γ<sub>ij</sub>. Cette propri´et´e a notamment ´et´e mise en avant par M. Shibata & T. Nakamura en 1995 [259] pour diminuer l’erreur num´erique globale : une erreur relative sur ˆγ<sub>ij</sub> contribue moins `a l’erreur globale qu’une erreur relative de mˆeme niveau sur γ_ij. Remarquons que le cas conform´ement plat de l’approximation IWM que nous avons utilis´ee jusqu’alors pour les syst`emes binaires (Parties IV et V) correspond `a ˆγ_ij = diag(1, 1, 1) : toute l’information sur la m´etrique spatiale est port´ee par le d´eterminant γ et le champ gravitationnel n’a pas de dynamique propre. Notre projet est d’introduire, en plus de la 3-m´etrique physique γ_ij et de la 3-m´etrique conforme associ´ee, une m´etrique plate f_ij sur l’hypersurface Σ_t. Les autres groupes (cf. [259] et [50]) n’introduisent pas explicitement un tel objet mais r´eduisent leur cadre de travail aux seules coordonn´ees cart´esiennes. Nous pr´ef´erons le point de vue plus covariant d’autoriser tout type de coordonn´ees — par exemple des coordonn´ees de type sph´eriques —, quitte `a introduire une 3-m´etrique plate. Cette derni`ere est en effet n´ecessaire pour d´efinir une m´etrique conforme qui ne soit pas une densit´e de tenseur comme (31.1), suivant

˜ γ_ij := µ γ f ¶_−1/3 γ_ij, (31.2)

o`u f d´esigne le d´eterminant des composantes covariantes de la m´etrique plate f<sub>ij</sub> par rapports aux coordonn´ees choisies. Comme le rapport des deux d´eterminants γ/f est un champ scalaire, l’Eq. (31.2) d´efinit bien un tenseur sur l’hypersurface Σ<sub>t</sub> et donc une vraie m´etrique ˜γ<sub>ij</sub>, en plus de la m´etrique physique γ<sub>ij</sub>. On peut alors introduire l’unique d´erivation covariante ˜D<sub>i</sub> associ´ee `a ˜

γ_ij. Cela n’´etait pas possible pour la densit´e de tenseur (31.1) : on ne pouvait pas lui associer de

3par exemple, pour une m´etrique plate, γ = 1 en coordonn´ees cart´esiennes, alors que γ = r4sin2θ en coor-donn´ees sph´eriques

602

mani`ere unique une d´erivation covariante (ainsi par exemple la d´erivation covariante D<sub>i</sub>associ´ee `a γ_ij v´erifie D_kγˆ_ij = 0).

Dans le cadre du formalisme 3+1, les ´equations d’Einstein se d´ecomposent en les ´equations de contrainte (26.1)-(26.2) et en des ´equations d’´evolution, dont la partie sans trace s’exprime en fonction de ˜γ_ij sous la forme

∂˜γ_ij ∂t ^{= −2N ˜Aij} + £β˜γij −² 3^Dkβ k ˜γ_ij (31.3) ∂ ˜A_ij ∂t ^{= γ} −1/3 · N µ ˜ R_ij− ¹ 3^{R ˜˜γij} ¶ − ˜D_iD^˜_j(γ^1/6N ) +¹ 3^D˜kD˜ k(γ^1/6N ) ˜γ_ij ¸ +£β ˜A_ij− ² 3^Dkβ

k_A˜_{ij + des termes quadratiques, (31.4)} o`u N d´esigne la fonction lapse, β le vecteur shift, ˜A<sub>ij</sub> est conforme `a la partie sans trace du tenseur de courbure extrins`eque (l’´equation (31.3) peut ˆetre vue comme une d´efinition de ˜A_ij),

˜

R_ij est le tenseur de Ricci de la d´erivation covariante ˜D_i et ˜R sa trace vis-`a-vis de la 3-m´etrique

conforme : ˜R := ˜γijR_ij. Par “termes quadratiques”, nous entendons des termes du type ˜D_iγ ˜D_jN

ou encore ˜A_ikA^˜_jl. Dans le cas o`u de la mati`ere est pr´esente dans l’espace-temps, il faut ´egalement ajouter des termes provenant du tenseur impulsion-´energie.

En combinant (31.3) et (31.4), on obtient une ´equation d’´evolution temporelle du second ordre pour ˜γ_ij : 1 N ∂ ∂t µ 1 N ∂˜γ_ij ∂t ¶ = −2γ^−1/3 · ˜ R_ij −¹ 3^{R ˜˜γij−} 1 N^D˜iD˜j(γ 1/6N ) + ¹ 3N^D˜kD˜ k(γ^1/6N ) ˜γ_ij ¸ −² N£β ˜A_ij+ ¹ N ∂ ∂t µ 1 N£β˜γij ¶

+ des termes quadratiques. (31.5) Dans le membre de droite de cette ´equation apparaˆıt la partie sans trace du tenseur de Ricci

˜

R_ij qui s’exprime en terme des d´eriv´ees spatiales de ˜γ_ij suivant : ˜ R_ij−¹ 3^{R ˜˜γij = −} 1 2 h ˜ γ^klD^¯_kD^¯_lγ˜_ij+ ˜γ_ikD^¯_jH^k+ ˜γ_jkD^¯_iH^ki+¹ 3^D¯kH k˜γ_ij

+ des termes quadratiques, (31.6)

o`u ¯D<sub>i</sub> d´esigne la d´erivation covariante associ´ee `a la m´etrique plate f_ij et Hi la divergence de la 3-m´etrique conforme par (rapport `a ¯D_i) :

Hⁱ= ¯D_j˜γ^ij. (31.7)

La jauge de Dirac est d´efinie par

Hⁱ= 0. (31.8)

Elle a ´et´e introduite par P.A.M. Dirac en 1959 [116] dans le cadre de la formulation hamiltonienne de la relativit´e g´en´erale, en vue de sa quantification. Grˆace `a (31.8), les d´eriv´ees secondes de ˜γ_ij

qui apparaissent au membre de droite de (31.6) se r´eduisent au laplacien ˜γkl_D¯_kD¯_{lγ˜ij, de sorte que} l’op´erateur du second ordre agissant sur ˜γ_ij dans (31.5) n’est rien d’autre qu’un d’Alembertien :

1 N ∂ ∂t µ 1 N ∂˜γ_ij ∂t ¶ − γ^klD^¯_kD^¯_l˜γ_ij = γ^−1/3 · 2 N^D˜iD˜j(γ 1/6N ) − ² 3N^D˜kD˜ k(γ^1/6N ) ˜γ_ij ¸ −² N£β ˜A_ij+ ¹ N ∂ ∂t µ 1 N£β˜γij ¶

603 Ainsi la jauge de Dirac paraˆıt bien adapt´ee au traitement du rayonnement gravitationnel. Nous pr´evoyons de r´esoudre l’´equation de d’Alembert (31.9) `a l’aide de la technique spectrale d´evelopp´ee par J. Novak & S. Bonazzola [221] et qui pr´esente des bonnes propri´et´es d’onde sortante.

La jauge de Dirac n’a pas encore ´et´e utilis´ee en relativit´e num´erique. Elle se traduit par une ´equation elliptique (du type laplacien + 1/3 du gradient de la divergence) pour le vecteur shift β, que nous r´esoudrons `a l’aide de la m´ethode spectrale pr´esent´ee au Chap. 30. On peut combiner la jauge de Dirac avec le feuilletage maximal (trace du tenseur de courbure extrins`eque des hypersurfaces Σ_t´egale `a z´ero), auquel cas on doit r´esoudre ´egalement une ´equation elliptique (de type Poisson) pour la fonction lapse N . L’´equation de contrainte hamiltonienne (26.1) peut ˆetre combin´ee avec cette derni`ere pour donner une ´equation elliptique (´egalement de type Poisson) pour la quantit´e γ1/6N .

Si l’on fait le bilan de l’approche envisag´ee, on constate qu’elle comporte une partie elliptique (´equations pour le lapse, pour le shift et pour le d´eterminant combin´e avec le lapse, γ1/6N ) et une

partie hyperbolique (´equation de d’Alembert (31.9)). Loin du syst`eme, la partie hyperbolique se r´eduit `a la propagation d’ondes gravitationnelles en jauge TT (transverse et sans trace, cf. Eqs. (31.7)-(31.8)).

Cette approche doit nous permettre d’´etudier des probl`emes ouverts en astrophysique et o`u la dynamique du champ gravitationnel joue un grand rˆole, comme la fusion de deux trous noirs ou encore divers mod`eles de “moteurs internes” pour les sursauts gamma.

Bibliographie

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