○ DNS de Laurent et al. [117]
𝑘 − 𝜔 Wilcox (1988) [208] + SST avec activation Step. 𝑘 − 𝜔 Menter SST [135] avec activation Step.
𝑘 − 𝜔 Kok [105] + SST avec activation Step.
𝑘 − 𝜔 Wilcox (2006) [207] + SST avec activation Step.
𝑘 − 𝜔 Menter SST [135] avec le modèle de transition 𝛾 − 𝑅𝑒𝜃,𝑡de Menter-Langtry [113].
0 2 4
𝑥𝑅𝑆 = (𝑥 − 𝑥reat)∕(𝑥reat− 𝑥sep) −0.4 −0.2 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 𝑐𝑓 ×10−2 −2 0 2 4 6 8
𝑥𝑅𝑆 = (𝑥 − 𝑥reat)∕(𝑥reat− 𝑥sep) 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 𝑅𝑒𝜃 ×103 0 2 4 6 8
𝑥𝑅𝑆 = (𝑥 − 𝑥reat)∕(𝑥reat − 𝑥sep) 0.00 0.02 0.04 0.06 0.08 𝛿 ∗ ∕(𝑥 reat − 𝑥sep ) −1.5 −1.0 −0.5 0.0 0.5 1.0
𝑥𝑅𝑆 = (𝑥 − 𝑥reat)∕(𝑥reat− 𝑥sep) 0 5 10 15 20 𝐻
FIGURE5.7 – Quantités de couche limite des prévisions RANS des modèles 𝑘−𝜔 avec activation des termes sources à 𝑥𝑅𝑆 = −0.27 (Step), ou activation par équations de transport 𝛾 −𝑅𝑒𝜃,𝑡[114], comparées au résultats DNS de Laurent et al. [117].
685 - Mise en évidence des limitations des méthodes et des modèles de prévision de la transition parbulbe de décollement déplacement, 𝛿∗, et via le facteur de forme 𝐻. Tous les modèles prévoient des valeurs de 𝛿∗ et 𝐻 plus élevées que les données DNS, ce qui est en accord avec le fait que les bulbes RANS sont plus longs que le bulbe DNS. En effet, un bulbe de grandes dimensions a un impact plus important sur le reste de l’écoulement potentiel qu’un bulbe de petites dimensions. Ainsi, les valeurs de 𝛿∗d’un gros bulbe sont plus importantes que celles d’un plus petit bulbe. De même, un bulbe de dimensions plus grandes possède un écoulement de retour plus important, ce qui se manifeste par de fortes valeurs du facteur de forme 𝐻.
À partir de plusieurs longueurs de bulbe en aval du point de recollement, 𝑥𝑅𝑆 ⪆ 3, on peut observer que la valeur de 𝑅𝑒𝜃prévue par chacun des modèles est très différente. Or, en aval de 𝑥𝑅𝑆 ⪆1, tous les modèles prévoient une couche limite turbulente attachée. Comme il sera montré dans le prochain chapitre, ces différences significatives entre chaque modèle sont vraisemblablement liées à l’effet d’histoire du bulbe sur la couche limite turbulente naissante en aval de celui-ci.
Regardons maintenant un peu plus en détail l’écoulement. La figure 5.8 montre les profils de vitesse prévus par les différents modèles RANS ainsi que ceux issus de la DNS. Les données sont présentées en utilisant une échelle naturelle (en haut) et une échelle logarithmique (en bas). Nous pouvons observer que les profils de vitesse diffèrent significativement des données DNS à proximité du bulbe (−0.27 ⪅ 𝑥𝑅𝑆 ⪅ 4), alors que plus en aval (𝑥𝑅𝑆 ⪆ 4) ces différences tendent à diminuer. Cette diminution des différences est cohérente avec le fait que la corrélation des quantités turbulentes entre deux points, l’un situé à proximité du bulbe, et l’autre plus en aval, tend à diminuer avec la distance entre les deux points [181].
L’une des différences principales entre les prévisions RANS et les données DNS est la zone de sillage1de la couche limite turbulente. Alors que la DNS montre un raccord doux (asymptotique) de 𝑢∕𝑢𝑒 →1, les modèles RANS, au contraire, prévoient un raccord plus abrupt.
Sur les profils de vitesse en échelle logarithmique, nous pouvons constater que les modèles tendent à prévoir une région logarithmique en dessous de celle prévue par la DNS et la courbe théorique. Cela est le cas même sur plusieurs longueurs de bulbe en aval du recollement. La littérature [2, 188] montre que les courbes 𝑢+(𝑦+)présentant des valeurs de vitesse inférieures à la théorie dans l’inter-valle de 𝑦+ correspondant à la région logarithmique, reflètent une couche limite turbulente encore peu développée. Par conséquent, grâce aux prévisions 𝑢+(𝑦+)des modèles RANS, nous en déduisons que les modèles RANS prévoient un développement trop lent de la couche limite turbulente. La figure 5.9 montre les lignes de courant et les contours de la composante croisée des tensions de Reynolds, −𝑢′𝑣′∕𝑢2
∞, obtenus par la DNS et par les simulations RANS. À première vue, on peut constater qu’aucun modèle RANS (5.9.b, 5.9.c et 5.9.d) ne reproduit précisément les lignes de cou-rant et les niveaux de tension de Reynolds de la DNS (5.9.a). Le modèle de Menter-Langtry (5.9.b), et le modèle Wilcox 2006 avec limiteur (5.9.c) prévoient un bulbe de dimensions trop importantes par rapport à la DNS. De plus, on constate une sous-estimation des niveaux de tensions de Reynolds et un retard de la concentration maximale des tensions de Reynolds. En effet, le point de concen-tration maximale de tensions de Reynolds de la DNS est localisé à (𝑥𝑅𝑆, 𝑦𝑅𝑆) ≈ (−0.03, 0.033), alors que ce point est prévu par Menter-Langtry à (𝑥𝑅𝑆, 𝑦𝑅𝑆) ≈ (0.24, 0.047) et Wilcox 2006 avec
5.2 - Identification des défauts de précision dans le bulbe 69 limiteur le prévoit à (𝑥𝑅𝑆, 𝑦𝑅𝑆) ≈ (0.44, 0.047). Il se produit une claire amélioration de la pré-cision de la prévision RANS lorsqu’on désactive le limiteur SST (5.9.d). On constate en effet une topologie des lignes des courant plus proche de celle de la DNS (5.9.a), mais les niveaux de tensions de Reynolds ne sont pas encore précisément prévus par rapport à la DNS. Ce constat suggère que le limiteur de shear stress contribue négativement à la précision de la prévision du bulbe. Cela est vraisemblablement dû au fait que le limiteur de shear stress (SST) diminue le taux de croissance de la turbulence, ce qui se traduit par une sous-estimation des tensions de Reynolds. Rappelons que la DNS montre un déséquilibre de production-sur-dissipation de la turbulence (figure 5.6) très prononcé dans la région transitionnelle. Il n’est pas surprenant alors de constater que le limiteur de shear stress contribue à la sous-estimation des tensions de Reynolds, car il réduit le taux de production-sur-dissipation 𝑘∕𝜀 via une limitation de la valeur de 𝜇𝑡, impactant ainsi la valeur de 𝑘.
En résumé, nous constatons un manque de précision des prévisions des modèles RANS existants par rapport aux données DNS. Ce manque de précision se manifeste par les prévisions peu satisfaisantes des quantités de couche limite et des profils de vitesse. En outre, nous constatons une sous-estimation prononcée des tensions de Reynolds dans la région transitionnelle du bulbe qui semble liée aux défauts de précision des prévisions RANS. À l’aide d’un simple test sur l’emploi du limiteur SST, nous avons mis en évidence que les mécanismes qui réduisent le taux de production-sur-dissipation de la turbulence empêchent les tensions de Reynolds de croître au rythme nécessaire, menant à une sous-estimation des tensions de Reynolds qui se traduit par une surestimation de la taille du bulbe. Sur la base de ces observations, on présentera dans le prochain chapitre : (a) les hypothèses de modélisation destinés à corriger les effets observés, (b) la formulation mathématique du modèle et son implémentation numérique, et (c) sa calibration et la vérification de l’apport de précision.
705 - Mise en évidence des limitations des méthodes et des modèles de prévision de la transition parbulbe de décollement
○ DNS de Laurent et al. [117]
𝑘 − 𝜔 Wilcox (1988) [208] + SST avec activation Step. 𝑘 − 𝜔 Menter SST [135] avec activation Step.
𝑘 − 𝜔 Kok [105] + SST avec activation Step.
𝑘 − 𝜔 Wilcox (2006) [207] + SST avec activation Step.
𝑘 − 𝜔 Menter SST [135] avec le modèle de transition 𝛾 − 𝑅𝑒𝜃,𝑡de Menter-Langtry [113].
0 0.5 1 𝑢∕𝑢(𝐷𝑁𝑆)𝑒 0 0.05 0.1 0.15 𝑦∕( 𝑥reat − 𝑥sep ) 𝑥𝑅𝑆 = −0.25 𝑥𝑅𝑆 = −0.1 𝑥𝑅𝑆 = 0 𝑥𝑅𝑆 = 0.15 𝑥𝑅𝑆 = 0.5 𝑥𝑅𝑆 = 1 10−1100101102103 𝑦+ 0 5 10 15 20 25 𝑢+ 𝑥𝑅𝑆 = 0.25 𝑥𝑅𝑆 = 0.5 𝑥𝑅𝑆 = 2 𝑥𝑅𝑆 = 4 𝑥𝑅𝑆 = 6
FIGURE5.8 – Profils de couche limite des prévisions RANS des modèles 𝑘 − 𝜔 avec activation des termes sources à 𝑥𝑅𝑆 = −0.27 (Step), ou activation par équations de transport 𝛾 −𝑅𝑒𝜃,𝑡[114], comparées au résultats DNS de Laurent et al. [117]. Les courbes pointillées fines correspondent aux solutions théoriques 𝑢+ = 𝑦+
et 𝑢+ = 𝜅1ln 𝑦++ 𝐶+, avec 𝜅 = 0.41 et 𝐶+= 5. L’adimensionnement visqueux est pris en utilisant la vitesse de friction issue de la DNS, 𝑢(DNS)𝜏 .
5.2 - Identification des défauts de précision dans le bulbe 71 (a) DNS −𝑢′𝑣′∕𝑢2 ∞ (b) Menter-Langtry (c) Step with shear limiter −1 0 1 𝑥𝑅𝑆 0.00 0.02 0.04 0.06 𝑦𝑅𝑆 (d) Step no shear limiter 0 0.05 0.1 0.15 0.2
FIGURE5.9 – Comparaison des lignes de courant et de la tension de Reynolds adimensionnée par le carré de la vitesse amont −𝑢′𝑣′∕𝑢2
∞ de : (a) la DNS de Laurent et al. [117]; (b) 𝑘 − 𝜔 Menter SST [135] avec le modèle de transition 𝛾 − 𝑅𝑒𝜃,𝑡de Menter-Langtry [113]; (c) 𝑘 − 𝜔 Wilcox (2006) [207] avec activation Step et limiteur SST; et (d) 𝑘 − 𝜔 Wilcox (2006) [207] avec activation Step et sans limiteur SST.
Chapitre 6
Développement de modèles permettant de
prévoir avec précision la transition par
bulbe de décollement
6.1 Objectifs et hypothèses de la modélisation
L’objectif principal de la modélisation présentée dans ce chapitre est de contribuer à l’amélioration de la prévision des tensions de Reynolds dans le bulbe et son voisinage. Puisque le rôle principal des modèles de turbulence est de fournir une approximation la plus précise possible des tensions de Reynolds, il est raisonnable d’espérer que, si ces dernières sont bien modélisées, la topologie de l’écoulement (les profils de vitesse), ainsi que le reste des quantités physiques d’intérêt (quantités de couche limite, frottement, pression) seront mieux prévues par les modèles RANS corrigés. Il est important de souligner que la problématique abordée dans cette proposition de modélisation s’inscrit dans une catégorie de bulbes très précise :
— Bulbes statistiquement bidimensionnels (qui ont lieu, par exemple, sur les voilures d’avion ou des pales d’hélicoptères ou d’éoliennes, ayant un grand allongement).
— Bulbes à décollement laminaire, transition décollée, et recollement provoqué par la turbu-lence. Nous ne nous intéressons pas aux bulbes totalement laminaires (très faible 𝑅𝑒𝑐, ou structure très cohérente comme un tourbillon de bord d’attaque avec grande flèche), ni aux bulbes totalement turbulents (bulbes ayant commencé la transition vers la turbulence en amont du point de décollement).
— Bulbes en régime subsonique (en absence de chocs).
Dans le chapitre précédent (Ch.5, §5.2) il a été mis en évidence une sous-estimation des tensions
de Reynoldsdans la région transitionnelle du bulbe de décollement. Cette activation inadéquate des modèles de turbulence est le principal défaut à corriger. Pour cela, nous émettons l’ensemble des hypothèses suivantes :
74 6 - Développement de modèles permettant de prévoir avec précision la transition par bulbe dedécollement 1. Nous admettons que le point de transition, 𝑠tr, est correctement prévu, a priori, par les
cri-tères de transition AHD [6, 7, 11], Gleyzes [83] et Roberts [160], si l’influence de l’écoule-ment de retour dans le bulbe sur l’écoulel’écoule-ment laminaire est suffisaml’écoule-ment bien modélisé par l’activation du modèle de turbulence.
2. La sous-estimation des tensions de Reynolds dans la région transitionnelle du bulbe observée dans les modèles existants est liée à leur incapacité à prévoir correctement la forte et pro-gressive croissance de la turbulence dans la couche cisaillée. Par conséquent, nous suggérons qu’en limitant l’impact des mécanismes qui empêchent la forte production de la turbulence (limiteurs SST [134, 135], Zheng [217]...) et en contrôlant le déséquilibre de production-sur-dissipation des modèles de turbulence via ses termes sources, il est possible de corriger la dite sous-estimation des tensions de Reynolds dans le bulbe.
3. Nous admettons l’existence d’une échelle caractéristique du processus de croissance de la turbulence dans la région transitionnelle du bulbe, permettant de :
— Localiser précisément la région où la correction des modèles de turbulence intervient. — Employer la modélisation proposée à une large gamme de bulbes (très petits ou très
longs), grâce à une formulation adimensionnelle du processus d’activation des modèles de turbulence.
L’échelle caractéristique identifiée est la longueur laminaire décollée,
𝑙lam ∶= 𝑠tr− 𝑠sep, (6.1)
où 𝑠sep ∶= 𝑠 (𝒖𝒆 ⋅𝝉 = 0) est le point de séparation exactement prévu par les équations
de Navier-Stokes, et 𝑠tr est le point de transition prévu par les critères de transition. Par conséquent, l’échelle 𝑙lamest non-locale.
4. Nous admettons que le phénomène d’éclatement de bulbe menant au décrochage est natu-rellement prévu via le déséquilibre important entre les forces inertielles et la diffusion de la quantité de mouvement due à la production de la turbulence dans la région transitionnelle. Par conséquent, aucun traitement spécifique n’est proposé dans la région transitionnelle afin de prévoir l’éclatement du bulbe.
5. À la différence de certains modèles transitionnels existants [47, 114, 137, 151], dans cette thèse nous ne considérons pas le facteur d’intermittence 𝛾 comme étant le mécanisme d’ac-tivation le plus adéquat des modèles de turbulence RANS. Cela est motivé par l’ensemble suivant d’observations :
— L’emploi du facteur d’intermittence 𝛾 prend tout son sens lorsque le cadre d’étude est basé sur la moyenne conditionnelle [33–35]. Or, les modèles RANS étudiés dans cette thèse sont basés sur une moyenne inconditionnelle.
— L’utilisation éventuelle du facteur d’intermittence 𝛾, dont l’équation de transport exacte a été démontrée par Dopazo [64], afin d’activer les modèles de turbulence RANS exigerait des contraintes de modélisation trop fortes, car :
— Mathématiquement 𝛾 ∈ [0, 1] (cf discussion dans l’annexe A).
— À la frontière des couches turbulentes, 𝛾 → 0 lorsque 𝑦 → 𝛿. Or, vers 𝑦 ≈ 𝛿, où la dif-fusion est dominante [26], les modèles de turbulence sont déjà construits afin d’avoir
6.2 - Formulation mathématique des modèles 75