Vocabulaire de base
1. Généralités 1 Définitions
Unesuite numériqueest une application deN, ou d’une partie deN, dansR.
Siuest une suite numérique, au lieu de u(n), on préfère écrireun (lire
«uindicen»).un est appelé leterme de rangnde la suiteu.
La suite u elle-même est notée (un)n∈N (si elle est définie sur N), ou simplement (un) si il n’y a pas d’ambiguïté sur l’ensemble de départ.
Une suite est un cas particulier de fonction numérique ; on retrouve le même vocabulaire, et en adaptant les définitions on a :
La suiteu=(un)n∈N est dite
•croissante, resp.décroissantessi
∀n∈N, un un+1, resp.∀n∈N, unun+1;
•monotonessiuest croissante ou décroissante ;
•majoréeparM, resp.minoréeparmssi
∀n∈N, unM, resp.∀n∈N, un m; M est alors unmajorant, resp.mest unminorantdeu;
•bornéessiuest majorée et minorée.
Pour les suites, le seul problème de limite qui se pose est la limite deun
quandntend vers +∞:
La suite (un) est diteconvergentessi il existe∈Rtel que
∀´>0,∃n0∈N, nn0⇒ |un−|´
Le nombre réel est alors appelé lalimitede la suite (un), et on dit que la suite (un)convergevers. On dira souvent : « (un) tend vers».
(un) converge versssi, pour tout´>0, il n’y a qu’un nombre fini de termes de la suite en dehors de l’intervalle ]−´,+´[.
Si (un) converge verset sia< <b, alors, pour tous les termes de la suite à partir d’un certain rang :a<un<b.
1.2 Théorèmes de convergence Suites monotones
Théorème 1
Une suite croissante et majorée est convergente.
Une suite décroissante et minorée est convergente.
Théorème admis.
En utilisant le passage à la limite dans les inégalités (voir § 1.1.2 ou ci-dessous, § 2.1.3), on peut préciser :
Si une suite est croissante et majorée parM, alors elle est convergente, et sa limitevérifie M. Si une suite croissante n’est pas convergente, alors lim
n→+∞un=+∞.
Si une suite est décroissante et minorée parm, alors elle est convergente, et sa limite vérifie m. Si une suite décroissante n’est pas conver-gente, alors lim
n→+∞un =−∞.
Soitxun nombre réel fixé dans ]0,1[, et soit (un) la suite définie par
∀n∈N, un = n k=0
1 +xk
La suite (un) estcroissantecar, pour toutn∈N,un 0 et 1+xn+1 1, doncun+1 =un
1 +xn+1 un
La suite (un) estmajorée. Pour toutn∈N, un >0, et on a ln (un)=
n
k=0
ln 1 +xk
n
k=0
xk = 1−xn+1
1−x 1
1−x (Règles de calcul sur les logarithmes, puis utilisation de l’inégalité ln (1 +y)y, valable pour touty>−1 et que l’on établit en étudiant la fonction y → ln (1 +y)−y, puis identité géométrique ; la dernière majoration, évidente car 0 <x < 1, est indispensable car le majorant
de la suite ne doit pas dépendre den.) On a donc
∀n∈N, un e1−1x
La suite (un) est donc croissanteet majorée par M = e1−1x. Elle est doncconvergente, et sa limitevérifieM.
•Ce théorème s’applique si la suite est monotone à partir d’un certain rang.
• Ce théorème donne une condition suffisante, mais non nécessaire, pour qu’une suite soit convergente. En d’autres termes, il existe des suites convergentes qui ne sont ni croissantes ni décroissantes, par exemple la suite (un)n∈N∗ définie par∀n∈N∗, un = (−n1)n, qui converge vers 0.
• Pour montrer qu’une suite est (par exemple) croissante, les tech-niques courantes sont :
– Appliquer la définition.
– Montrer queun+1−un0 ; à utiliser siunse présente sous forme de somme, voir § 2.4.3 « séries ».
– Si les termes de la suite (un) sont positifs, montrer que uun+1
n 1 ;
à utiliser si un se présente sous forme de produit, comme dans l’exemple précédent : avecx>0, on a
∀n∈N, un = n k=0
1 +xk
>0 ; un+1
un
=1 +xn+1 >1 donc la suite (un) est (strictement) croissante.
– Pour une suite du typeun+1 = f(un) (§ 2.2.3) ou pour une suite définie implicitement (§ 2.2.5), voir les techniques spécifiques dans les paragraphes suivants.
• Pour montrer qu’une suite est majorée (par exemple), on fera grand usage des manipulations des inégalités, voir le § 8 de l’intro-duction.
Suites adjacentes
Définition.Les deux suites (un)n∈N et (vn)n∈Nsont dites adjacentesssi une des suites est croissante, l’autre décroissante, et
n→lim+∞(un−vn)=0
Théorème. Si deux suites sont adjacentes, alors elles sont conver-gentes et elles ont même limite.
Soient (un) et (vn) deux suites adjacentes, de limite commune, la suite (un) étant croissante et la suite (vn) décroissante. On a alors
u0· · ·un vn · · ·v0
un est donc une valeur approchée par défaut, etvnune valeur approchée par excès, deà moins devn−unprès.
Soit (un) et (vn) les suites définies par (n∈N∗) : un =1 +1
2 +· · ·+ 1
n−ln (n) ; vn =1 +1
2+· · ·+1
n −ln (n+ 1) Les suites (un) et (vn) sont adjacentes. En effet, la suite (un) est décrois-sante, car pour toutn1,
un+1−un = 1
n+ 1−ln (n+ 1) + ln (n)0
d’après la formule des accroissements finis, appliquée à la fonction ln sur l’intervalle [n, n+ 1]. On démontre de même que la suite (vn) est croissante. La différence (un−vn) converge vers 0, en effet
un−vn=ln (n+ 1)−ln (n)=ln n+ 1
n
=ln
1 +1 n
La limite commune aux suites (un) et (vn) est notéeg(constante d’Eu-ler). Pour toutn, on aun gvn;un est donc une valeur approchée par défaut degà moins devn−un =ln n
n+1
près.
D’autre part, en posant´n =un−g, on obtient : 1 +1
2 +· · ·+1
n =ln (n) +g+´n
avec (´n) qui converge vers 0. Cela montre en particulier que la suite de terme général 1 +1
2+· · ·+1
n tend vers +∞(résultat à retenir, voir
§ 2.4.3).
1.3 Opérations sur les limites
Une suite est cas particulier de fonction numérique : l’ensemble de défi-nition de la suite estN, ou une partie deN. On peut donc utiliser toutes les connaissances et techniques du chapitre 1, grâce à la proposition sui-vante :
Soitf une application définie sur [0,+∞[.
Si lim
x→+∞f (x)=, alors lim
n→+∞f(n)=
On reprend les points essentiels :
•Limites classiques Avecr >0 : lim
n→+∞nr =+∞; lim
n→+∞ 1 nr =0 ;
n→lim+∞ln (n)=+∞
Avecx>1 : lim
n→+∞xn=+∞ Avec −1<x<1 : lim
n→+∞xn=0
•Négligeabilités classiques Aveca>0, x>1 : lim
n→+∞ ln(n)
na =0 ; lim
n→+∞ xn
na =+∞
Aveca>0, −1<x<1 : lim
n→+∞naxn=0
•Limite d’une somme, d’un produit, d’un quotient Soit (un) et (vn) telles que lim
n→+∞un =, lim
n→+∞vn =.Alors
n→lim+∞(un+vn)=+; lim
n→+∞(unvn)=
n→lim+∞
un
vn
=
si de plus=0
•Limite def (un) Si lim
n→+∞un=et si lim
f =L, alors lim
n→+∞f (un)=L En particulier :
Si lim
n→+∞un =∈Ret sifest continue en, alors
n→lim+∞f (un)=f ()
•Passage à la limite dans les inégalités
∀nn0, un vn; lim
n→+∞un =; lim
n→+∞vn =⇒
∀nn0,, unvn wn; lim
n→+∞un= lim
n→+∞wn =⇒ lim
n→+∞vn =
∀nn0|un−|vn; lim
n→+∞vn=0⇒ lim
n→+∞un =
• Équivalents. En adaptant la définition générale, on dit que (un) et (vn) sont équivalentes ssi lim
n→+∞ un
vn =1. On a les mêmes propriétés, et la même utilisation pour la recherche de limite.
Quand un tend vers 0,+∞ ou−∞, l’obtention d’un équivalent pour un permet d’apprécier qualitativement le comportement deun: On a obtenu dans l’exemple donné pour les suites adjacentes :
1 +1