sur un ensemble fini
1. Espaces probabilisés finis 1 Définitions
Espace probabilisable fini
•Uneexpérience aléatoireest une expérience dont le résultat dépend du hasard.
•L’ensemble (non vide) des résultats élémentaires de l’expérience, appelé
« univers des possibles », se note en généralV.
SiVest fini, tout sous-ensemble, ou partie,A, deVest appelé événe-ment.
•AvecVfini, le couple (V,P(V)) est unespace probabilisable fini.
•L’événement «AouB» est la réunionA∪Bdes événementsA, B: A∪B={v ;v∈Aouv∈B}
•L’événement «AetB» est l’intersectionA∩Bdes événementsA, B: A∩B={v ;v∈Aetv∈B}
•L’événement contrairede l’événementAestA, il est défini par : A={v ;v∈Vetv∈/A}
•Les événementsA, Bsont ditsincompatiblesssi leur intersection est l’ensemble vide :
A∩B=∅
•∅est l’événement impossible.
•Vest l’événement certain.
On lance un dé à jouer, dont les faces sont numérotées de 1 à 6.
L’ensemble des résultats élémentaires de l’expérience est V={1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6}
L’ensembleP(V) est de cardinal 26=64.
ÉvénementA: « obtenir un nombre pair » : A={2 ; 4 ; 6}
ÉvénementB: « obtenir un nombre premier » : B={2 ; 3 ; 5}
ÉvénementAouB: « obtenir un nombre pair ou premier » : A∪B={2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6}
ÉvénementAetB: « obtenir un nombre pair et premier » : A∩B={2}
Événement contraire deA: « obtenir un nombre impair » : A={1 ; 3 ; 5}
Les événementsAet{1}: « obtenir la face n◦1 » sont incompatibles.
Probabilité
Soit (V,P(V)) un espace probabilisable fini. UneprobabilitésurVest une application P :P(V)→[0,1] ;A →P (A) telle que :
•P (V)=1 ;
•siA, Bsont deux événements incompatibles (A∩B=∅), alors (pro-priété d’additivité) :
P (A∪B)=P (A) + P (B)
Le triplet (V,P(V),P) est alors unespace probabilisé fini.
1.2 Propriétés
•P (∅)=0 ;
•P A
=1−P (A) ;
•Croissance SiA⊂B, alors
P (A)P (B) et P B\A
=P (B)−P (A)
•Additivité
• Formule du crible, ouFormule de Poincaré pour deux évé-nementsA, B:
P (A∪B)=P (A) + P (B)−P (A∩B) La formuledu crible se généralise :
− pour trois événementsA1, A2, A3:
La propriété d’additivité est d’usage constant. Pour déterminer la probabilité d’un événement, on le décompose en réunion d’événe-ments plus simples, et deux à deux incompatibles.
Vous écrirez par extrapolation la formule du crible pour 4 évé-nements. La formule générale n’a pas à être mémorisée, l’énoncé devrait vous la rappeler le cas échéant.
1.3 Exemples Probabilité uniforme
AvecVfini non vide, l’application P définie surP(V) par P (A)= Card (A)
Card (V)
=« nombre de cas favorables nombre de cas possibles »
est une probabilité, laprobabilité uniformesurV.
On dit aussi qu’on est en situation d’équiprobabilité.
En situation d’équiprobabilité, on utilisera les formules de dénombre-ment vues au § 4 de l’Introduction, en commençant par déterminer Card (V).
Dans le cas de tirages dans une urne, modèle auquel on peut toujours se ramener dans le cas oùVest fini, on a :
•Tirage une à une et avec remise dekboules d’une urne de taillen: Card (V)=nk
•Tirage une à une et sans remise dekboules d’une urne de taillen: Card (V)=n(n−1). . .(n−k+ 1)
•Tirage exhaustif desnboules de l’urne : Card (V)=n!
•Tirage simultané dekboules de l’urne de taillen: Card (V)=n
k
Tirage simultané et tirage une à une sont identiques si on s’inté-resse uniquement au résultat obtenu, et pas à l’ordre d’apparition des boules.
Dans le cas très fréquent de tirage avec remise, vous devez penser à l’indépendance des tirages (§ 7.1.6) ! Et à la loi binomiale, § 7.4.2.
Probabilité définie à partir des événements élémentaires
SiV={v1,. . .,vn}, la donnée dennombres réelsp1,. . ., pn tels que
• ∀i∈1, n,pi0 ;
•
n
i=1
pi=1
permet de définir une probabilité en posant, pour toutA∈ P(V) : P (A)=
{k;wk∈A}
pk
On a pk = P {vk}
. Avec pk = Card(1V), on retrouve la probabilité uniforme.
1.4 Probabilité conditionnelle
Définition.Soit (V,P(V),P) un espace probabilisé fini, etB⊂ Vtel que P (B)=0. Laprobabilité conditionnelle sachantBest l’applica-tion
P :P(V)→[0 ; 1] ; A →PB(A)= P (A∩B) P (B) On vérifie que PBest une probabilité.
On rencontre la notation PB(A) = P A/B
, dangereuse car elle laisse penser queA/Bserait un événement.
Utilisation
Formule des probabilités composées
• SiAest de probabilité non nulle :
P (A∩B)=P (A) PA(B)
•SiA1∩A2∩ · · · ∩An−1est de probabilité non nulle : P (A1∩ · · · ∩An)=P (A1) PA1(A2)· · ·PA1∩···∩An−1(An)
• Un sac contient 5 jetons blancs et 4 jetons noirs. On tire au hasard et sans remise 3 jetons du sac. La probabilité d’obtenir un jeton blanc, puis un noir, puis un blanc, est, avec des notations évidentes :
P (B1∩N2∩B3)=P (B1) PB1(N2) PB1∩N2(B3)
= 5 9 ×4
8× 4 7 = 10
63
résultat qu’on peut établir directement par équiliprobabilité, en calcu-lant Card (V)=9·8·7, puis Card (B1∩N2∩B3)=5·4·4.
•Dans un jeu vidéo, la probabilité de franchir le niveauk(événement Nk) quand on a franchi le niveauk−1 est 1k, pourk1. On part du niveau 0, et le jeu comportenniveaux. La probabilité d’arriver au bout du jeu est :
P (N1∩ · · · ∩Nn)=P (N1) PN1(N2)· · ·PN1∩···∩Nn−1(Nn)
=1·1
2 ·. . .·1 n = 1
n!
1.5 Formule des probabilités totales
Définition.Soit (V,P(V),P) un espace probabilisé fini,I un ensemble fini d’indices.
On dit que(Ai)i∈I est unsystème complet d’événements(sce) ssi :
• ∀i∈I, P (Ai)=0 ;
• ∀i, j ∈I, sii=j, Ai∩Aj=∅;
•
i∈I
Ai=V.
AvecX v.a tel queX(V)={x1,. . ., xn}, les événements (X =x1),(X =x2),. . .,(X =xn)} constituent un sce. Voir § 7.2.
Formule des probabilités totales
Soit (Ai)i∈I, un sce deV. Alors, pour tout événementBdeV: P (B)=
i∈I
P (B∩Ai)=
i∈I
PAi(B) P (Ai) Formule de Bayes
AvecAi0 un des éléments du sce (Ai)i∈I : PB
Ai0
= P
Ai0∩B
P (B) = PAi0(B) P Ai0
i∈IPAi(B) P (Ai)
Démonstration.Formule des probabilités totales :Best la réunion des événements deux à deux incompatiblesB∩Ai. L’additivité de la proba-bilité donne le premier résultat. En appliquant la formule des probaproba-bilités composées à chacune des probabilités P (B∩Ai), on obtient le deuxième résultat.
Formule de Bayes : définition de la probabilité conditionnelle, puis for-mule des probabilités composées pour le numérateur, et forfor-mule des probabilités totales pour le dénominateur. Remarquez que le numéra-teur est un des termes de la somme du dénominanuméra-teur.
La formule de Bayes doit être considérée comme une conséquence facile de la formule de probabilités totales. Pour appliquer celle-ci, l’énoncé doit fournir (par les conditions de l’expérience aléatoire) les probabilités PAi(B),P (Ai), et vous devez reconnaître le système complet d’événements en jeu.
Un sac contient n jetons numérotés de 1 à n. On tire au hasard un jeton. Si on a obtenu le jeton n◦i, on lanceifois une pièce de monnaie équilibrée. On cherche la probabilité de l’événement B : « on obtient 0 pile ».
Le sce est (Ai)1in , avecAi: « obtenir le jeton n◦i» ; en effet, quelle que soit l’issue de l’expérience, un et un seul des événements Ai se
produit. L’énoncé fournit
∀i∈1, n, P (Ai)= 1
n ; PAi(B)= 1
2 i
La formule des probabilités totales donne alors P (B)=
n
i=1
1 n ×
1 2
i
= 1 n×
1−
1 2
n
en utilisant l’identité géométrique.
La formule de Bayes fournit alors, par exemple : PB(A1)= P (A1∩B)
P (B) = PA1(B) P (A1)
P (B) = 1
2
1− 1
2 n
1.6 Indépendance Définition
•Deux événementsA, Bsont ditsindépendantsssi P (A∩B)=P (A) P (B)
ce qui est équivalent à PB(A)=P (A) siBest de probabilité non nulle.
• Les événements A1,. . ., An sont dits indépendants, ou mutuelle-ment indépendants, ssi
∀I ⊂1, n, P
i∈I
Ai
=
i∈I
P (Ai)
Exemples fondamentaux
• Les résultats successifs du jet d’une pièce de monnaie, d’un dé, etc.
sont des événements indépendants.
•Les résultats successifs de tirages AVEC REMISE d’une boule dans une urne sont des événements indépendants.
Propriétés
• Si les événements A1,. . ., An sont indépendants, alors il en est de même des événementsB1,. . ., Bn, avecBi =AiouBi=Ai.
•Les événements∅etVsont indépendants de tout événementA.
•Si les événements A1,. . ., An sont indépendants, alors ils sont deux à deux indépendants. La réciproque est fausse.
Ne confondez pas indépendance et incompatibilité. L’indépendance est une notion probabiliste, pas l’incompatibilité. Si deux événe-ments sont incompatibles, ils ne sont pas indépendants, et s’ils sont indépendants, ils ne sont pas incompatibles, à moins que l’un des deux ne soit de probabilité nulle.