applications linéaires
1. Espaces vectoriels, sous-espaces vectoriels 1 Espaces vectoriels
1.2 Sous-espaces vectoriels
x+x, y+y
; a(x, y)=(ax,ay) On définit de même les evRn pourn∈N(avecR1=R,R0={0}).
•Avecn, pdansN∗, l’ensembleMn,p(R) des matrices réelles ànlignes etpcolonnes est un ev pour l’addition des matrices et la multiplication d’une matrice par un nombre réel, voir § 4.2.2. SiE etF sont des ev, l’ensembleL(E, F) des applications linéaires deEdansFest un ev, voir
§ 5.3.1.
• L’ensemble R[X] des polynômes réels et les ensembles Rn[X] des polynômes réels de degrén(n∈N) sont des espaces vectoriels pour les opérationsP+Q,aP, voir le § 6.2 de l’Introduction. On a d’ailleurs les inclusionsR0[X]⊂R1[X]⊂R2[X]⊂ · · · ⊂R[X].
•L’ensembleRN des suites numériques est un ev pour les opérations : (un)n∈N+ (vn)n∈N =(un+vn)n∈N ; a·(un)n∈N =(aun)n∈N
•Plus généralement,Détant un ensemble non vide, l’ensembleRDdes applications deDdansRest un ev pour les opérations
(f +g) (x)=f (x) +g(x) ; (a·f) (x)=af(x) avecf, g∈RD ; a∈R ; x∈D.
AvecD=N, on a bien l’ev des suites numériques. On retient (avec D =I) que l’ensemble des applications de l’intervalle réel non vide I dansRest un ev.
AvecD=V, où (V,T,P) est un espace probabilisé, on obtient que l’ensemble des variables aléatoires définies surVest un ev.
1.2 Sous-espaces vectoriels
Définition.SoitEun ev. On dit que l’ensembleF est unsous-espace vectorieldeE ssiF est un ev etF⊂E. Abrégé :Fest un sev deE.
• {0E}etEsont des sev de l’evE.
On utilise ce théorème — et jamais la définition — pour montrer qu’un ensemble est un ev, en établissant que l’ensemble en question est un sev d’un ev de référence.
• Pourn ∈ N∪ {∞}, l’ensemble Cn(I) des applications de classe Cn de l’intervalleI dansRest un ev. En effet, d’après § 1.3.1 :
– Cn(I) est inclus dans l’espace vectoriel de référenceRI, et la fonction nulleI →R,x →0 appartient à Cn(I) ;
appartiennent à F et a à R, alors M +M =
appartiennent àF car a+a
• L’ensembleG = {un | ∀n∈N, un+2=−2un+1+ 3un}est un sev de l’evRN des suites numériques, en effet :
– G⊂RN;
L’ensemble de toutes les combinaisons linéaires des vecteurs fixés u1,. . ., up de E est un sev de E, appelé sous-espace vectoriel
1.3 Familles libres, génératrices, bases Définitions.Soitp∈N∗,E un ev etF =
u1,. . ., up
une famille de vecteurs deE. On dit que la familleF est :
•génératrice de E ssi tout vecteur de E est combinaison linéaire des éléments deF :
∀u∈E, ∃
a1,. . .,ap
∈Rp, u=
p
i=1
aiui
On dit aussi queFengendreE ;
•libressi le vecteur nul 0E est combinaison linéaire des éléments deF de façon unique :
a1u1+· · ·+apup =0E ⇒a1=· · ·=ap=0
• une base de E ssi tout vecteur de E est combinaison linéaire des éléments deF de façon unique :
∀u∈E, ∃
a1,. . .,ap
∈Rp,
a1,. . .,ap
unique, u=
p
i=1
aiui
Les réels a1,. . .,ap sont alors les coordonnées du vecteur u dans la baseF, et on dit queEest dedimension finie.
Théorème de la dimension.Dans un espace vectoriel de dimen-sion finie E, toutes les bases ont le même nombre d’éléments. Ce nombre noté dim (E) est appelé ladimensiondeE.
Soit F une famille d’éléments de E de dimension finie n. Les pro-priétés suivantes sont équivalentes :
• F est une base deE;
• F est libre et de cardinaln;
• F est génératrice deEet de cardinaln;
• F est libre et génératrice deE.
On utilise ce théorème principalement pour montrer qu’une famille F est une base deE. On utilisera surtout (avecEde dimensionn) :
libre et de cardinal n⇒base libre et génératrice deE⇒base
•((1 ; 0),(0 ; 1)) est une base deR2, qui est donc de dimension 2 (voir plus loin). SoitB=(u1, u2), avecu1=(2 ; −1), u2=(1 ; 2).
Best une famille libre, de cardinal 2, doncBest une base deR2.
•SoitF =.
(x;y;z)∈R3|x−y+z=0/ .
u=(x;y;z)∈F⇔x=y−z⇔u=(y−z;y;z)⇔u=yu1+zu2, avecu1=(1 ; 1 ; 0), u2=(−1 ; 0 ; 1).
F est donc le sous-espace vectoriel de R2 engendré par la famille de vecteurs B = (u1 ; u2) ; donc F est un espace vectoriel, dont une famille génératrice estB. Comme cette famille est libre,Best une base de l’espace vectorielF (qui est donc de dimension 2).
Quand une famille est libre, on dit que les vecteurs qui la composent sontlinéairement indépendants. Unefamille liéeest une famille non libre. À cause du théorème de la dimension, il est important de recon-naître les familles libres. Dans ce sens on a :
•(u) est une famille libre ssiu=0E.
•Les vecteursu, vde l’evEsont ditscolinéairesssiu=0E ouv=lu, avecl∈R. (u, v) est une famille libre ssiuetvne sont pas colinéaires.
Soient u=(2 ; −1 ; 3), v=(−4 ; 2 ; −6), w =(−4 ; 2 ; 6).u, vsont colinéaires (v=−2u), ils ne forment donc pas une famille libre. (u, w) et (v, w) sont des familles libres.
•Soient F =(u, v, w) une famille de trois vecteurs. Si deux d’entre eux sont colinéaires, alors la familleF est liée, mais la réciproque est fausse.
u=(1 ; 0 ; −1), v=(2 ; 3 ; 5), w=(−1 ; 0 ; 1) : La familleF est liée car les vecteursuetwsont colinéaires.
u = (1 ; 1 ; −1), v = (2 ; −1 ; 2), w = (3 ; 0 ; 1).F est une famille liée car u+v−w=0, alors que les vecteursu, v, wne sont pas deux à deux colinéaires.
Pour montrer qu’une famille de plus de deux vecteurs est libre, on sera amené (très souvent) à résoudre le système linéaire correspondant, qui est un système homogène : la famille est libre ssi le système admet uni-quement la solution nulle.
Exemples de bases et de dimensions
•Avecn∈N∗,Rnest un espace vectoriel de dimensionn. Par exemple, R3est de dimension 3. SoitB=(e1, e2, e3), avec
e1=(1 ; 0 ; 0), e2=(0 ; 1 ; 0), e3=(0 ; 0 ; 1) Best une base deR3, appelée labase canoniquedeR3.
•L’espace vectoriel {0} n’a pas de base, il est de dimension 0.
•SoitE un ev dimensionn. Le seul sev deE de dimension 0 est{0E}, le seul sev de dimensionnestE.
• Les sev de R3 de dimension 1 sont les Vect(u) = {x·u|x∈R} avec u = 0 (droites vectorielles), les sev de dimension 2 sont les Vect (u, v) = {x·u+y·v|x, y∈R} avec u, v non colinéaires (plans illustrée par un exemple, est la suivante :
Avecu=(1 ; 1 ; −1), v=(−1 ; 1 ; 1), w =(−1 ; 1 ; 1) :
On utilisera cette méthode quand on n’a aucun renseignement sur la famille (u, v, w) ; le résultat peut provenir d’autres considérations (matrices inversibles, théorie du changement de base, endomorphismes diagonalisables, voir plus loin).
•Ne confondez pas dimension et cardinal : dans un espace vectoriel de dimensionn, toutes les bases ont le même cardinal, mais ne parlez pas de cardinal d’un espace vectoriel, ni de dimension d’une base.
•Dans un evEde dimensionn, une famille libre a au plusnéléments. Si elle a moins denéléments, on peut la compléter de façon à obtenir une base (théorème de la base incomplète). Si elle a exactementnéléments, c’est une base deE.
• Dans un ev E de dimension n, une famille génératrice a au moins n éléments. Si elle a plus de n éléments, on peut en extraire une sous-famille libre de cardinaln(ou de cardinal maximal si nn’est pas connu), qui est alors une base de E. Si elle a exactement n éléments, c’est une base deE.