Continuité 1 Définitions

SoitI un intervalle deR, et soitx0∈I.

•Soitf une fonction définie surI. On dit quef estcontinue enx0ssi limx0

f =f(x0)

On définit de même la continuité à droite et à gauche enx0.

f est continue enx0∈]a;b[ ssif continue à droite et à gauche enx0.

•On dit quef estcontinue surI ssif est continue en tout point deI.

f est continue sur [a;b] ssif est continue sur ]a;b[, continue à droite en bet continue à gauche ena.

•Soitf un fonction définie surI\ {x0}. On dit quef estprolongeable par continuité enx0ssif admet une limite finie enx0.

En posant f(x0) = lim

x0

f, on obtient un prolongement def à I, et ce prolongement est continu enx0.

2.2 Opérations sur les fonctions continues Théorème

•Les fonctions polynômes, la fonction exponentielle sont continues surR. La fonction ln est continue sur ]0 ; +∞[.

La fonction racine carrée est continue sur [0 ; +∞[, ainsi que les fonctionsx →x^r, avecr >0.

• La somme, le produit, le quotient avec le dénominateur qui ne s’annule pas de deux fonctions continues sur I sont des fonctions continues surI.

• Si uest continue sur I et f continue sur u(I), alors la composée f ◦ uest continue surI.

On utilise ce théorème pour montrer qu’une fonction est continue sur un intervalle. Il s’étend sans difficulté au cas où f est définie sur une réunion d’intervalles (R^∗par exemple). Mais on peut être amené à reve-nir à la définition si la fonctionf est définie de façon particulière en un (ou plusieurs) points, ou s’il y a problème de « raccordement » :

• Définition particulière en un point : soit f la fonction définie sur [0 ; +∞[ par

f(x)= xlnx

x−1 si x∈]0 ; 1[∪]1 ; +∞[ ; f(0)=0 ; f(1)=1

− f est continue sur ]0 ; 1[∪]1 ; +∞[ en tant que quotient de deux fonctions continues avec le dénominateur qui ne s’annule pas.

− f est continue en 0, car lim

x→0xlnx=0, donc lim0 f =0=f (0).

− f est continue en 1, car lnx∼

1 x−1, doncf(x)∼

1 x−→

x→1 1=f(1).

− Doncf est continue sur [0 ; +∞[.

•Problème de raccordement : soitf la fonction définie surRpar f (x)=x(1−x) six∈[0 ; 1] ; f (x)=0 sinon.

− f est continue sur [0 ; 1] ( fonction polynôme) et sur ]−∞; 0[ et ]1 ; +∞[ ( fonction polynôme).

− f est continue en 0 car lim

0⁻ f =lim

0⁺ f =0=f(0).

− f est continue en 1 car lim

1⁻ f =lim

1⁺ f =0=f(1).

− Doncf est continue surR.

Vous utiliserez ce théorème de façon très précise, mais brève :

• Repérer si la fonction est une somme, un produit, une compo-sée. . . de fonctions continues et la traiter en tant que telle.

• Si la fonction est un quotient, ne pas oublier de mentionner – et de vérifier−que le dénominateur ne s’annule pas.

•Si la fonction est une composéef ◦ u, vérifier queu(I) est inclus dans un ensemble sur lequelf est continue.

Exemple : x → x²+ 1 est continueet(strictement)positivesurR, ln est continue sur ]0 ; +∞[, donc la composéex →ln

x²+ 1 est continue surR.

• Ne pas évoquer vaguement « somme, produit et quotient » de fonctions continues, ou « composée » de fonctions continues (« com-posée » a ici un sens précis), ou encore les « fonctions usuelles », qui ne sont pas toutes continues partout !

• Enfin, ne pas entrer trop dans les détails, sous peine d’avoir une rédaction interminable où le risque d’erreur augmente. L’essentiel est que vous ayez compris comment on « fabrique » une fonction continue à partir de fonctions continues plus simples.

2.3 Propriétés des fonctions continues Théorème des valeurs intermédiaires

L’image d’un intervalle par une fonction continue est un intervalle.

Entre deux valeurs que prend une fonction continue sur un inter-valle, la fonction prend toutes les valeurs intermédiaires. Théorème admis.

Corollaire : théorème de la bijection monotone

Soit f une fonction continue et strictement monotone sur l’intervalle I. Alors f réalise une bijection de l’intervalle I sur l’intervalleJ =f (I). De plus la bijection réciproque :

f⁻¹ :J →I ; y →f⁻¹(y)=x tel que f (x)=y est continue, strictement monotone, de même sens de variations que f. Dans un repère orhonormé, les courbes représentatives def etf⁻¹ sont symétriques par rapport à la droite d’équationy=x.

Application 1 : existence et étude d’une fonction comme réci-proque d’une bijection.

Exemple de la fonction exponentielle.

On vérifie les hypothèses du théorème :

La fonction ln est continue et strictement croissante sur l’intervalle ]0 ; +∞[.

On donne les éléments nécessaires pour déterminer l’intervalle d’arri-vée :

xlim→0lnx=0, lim

x→+∞lnx=+∞.

On donne les conclusions, en citant le théorème utilisé :

Donc, d’après le théorème de la bijection monotone, La fonction ln est une bijection de ]0 ; +∞[ sur ]−∞; +∞[=R.

La bijection réciproque

exp :R→]0 ; +∞[, y →exp (y)=x tel que lnx=y est continue et strictement croissante surR.

Cln et Cexp sont symétriques par rapport àDd’équationy=x.

À partir de ces éléments, on peut donner le tableau de variations de la fonction exponentielle.

Vous pouvez procéder au même travail de définition et d’étude de la fonction racine carrée.

Vous adapterez l’utilisation (fréquente) de ce théorème à la question posée.

Application 2 : existence de solutions à une équation.Une grande variété de situations est possible, donnons quelques exemples :

•Équationf (x)=k,kfixé dansR. Soitf(x)=e^x−x. On a

x −∞ 0 +∞

f(x) +∞ 1 +∞

f réalise une bijection de ]−∞; 0] sur [1 ; +∞[, donc, pour toutkdans ]1 ; +∞[, il existe un uniqueuk négatif tel quef (uk)=k. De même il existe un uniquevk positif tel quef(v_k)=k.

• Équation f (x) = 0. On peut utiliser, en l’adaptant, la proposition suivante :

Proposition.Soitf une fonction continue et strictement monotone sur l’intervalle [a;b], avecf (a)f (b)< 0. Alors l’équationf(x) = 0 admet une unique solution dans ]a;b[.

Exemple.En étudiantf définie parf (x)=x³−3x²+ 1, on obtient

x −∞ 0 2 +∞

f (x) −∞ 1 −3 +∞

On applique trois fois la proposition précédente :

Sur ]−∞; 0], f est continue et strictement croissante, f (0) > 1 et

−∞limf = −∞ , donc l’équationf (x) = 0 admet une unique solution.

Rédaction analogue pour ]0 ; 2[ et ]2 ; +∞[.

On montre ainsi que l’équationf (x)=0 admet exactement trois solu-tionsa, b, c, aveca<0<b<2<c.

Méthode de dichotomie pour une valeur approchée de la solution.

On est dans les hypothèses de la proposition ci-dessus. Pour fixer les idées, on supposef strictement croissante, et doncf (a)<0<f (b).

On omet la partie déclarative du programme, y compris la déclara-tion de la foncdéclara-tion :

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4!

8 9 :

9 :

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036-2.4 Image d’un segment par une fonction continue UnsegmentdeRest un intervalle fermé borné.

L’image d’un segment par une fonction continue est un segment.

SiI =[a;b], on a donc, avecf continue surI :f(I)=[m;M]. metM sont respectivement leminimumet le maximumdef surI. On note

m= min

t∈[a;b]f(t) ; M = max

t∈[a;b]f (t)

La détermination def (I) se fait en utilisant le tableau de variations.

Exemple

x −2 0 3 5

f (x) 5 −3 8 3

En supposant f continue, l’image de l’intervalle [−2 ; 5] est l’inter-valle [−3 ; 8] Sans cette supposition, on pourrait affirmer seulement f ([−2 ; 5])⊂[−3 ; 8].

3. Calcul différentiel