applications linéaires
1. Théorie du changement de base
2.2 Endomorphismes et matrices diagonalisables Définitions
dans la base canonique, il serait très maladroit de suivre la démarche précé-dente, alors qu’il suffit d’effectuer
−19 6 9 pour la valeur propre 1.
2.2 Endomorphismes et matrices diagonalisables Définitions
L’endomorphismef deL(E) est ditdiagonalisablessi il existe une base deEdans laquelle la matrice def est diagonale, ou de façon équivalente :
Un endomorphismef deEest diagonalisable ssi il existe une base de E formée de vecteurs propres def.
SoitA =Mat (f,B). On dit que la matriceA est diagonalisable ssif est diagonalisable. D’après la théorie du changement de base, on a de façon équivalente :
La matriceA de Mn(R) est diagonalisable ssi il existe une matrice diagonaleD et une matrice inversibleP deMn(R) telles que
A=PDP−1
Vous ferez un effort particulier pour comprendre et mémoriser ces définitions encadrées.
Critères pour la diagonalisation
Théorème. Soient u1,. . ., up des vecteurs propres associés à des valeurs propres distinctesl1,. . .,lpde l’endomorphismef. Alors la famille
u1,. . ., up
est libre.
Démontrons ce théorème dans le cas particulier oùp=2. Soienta1,a2 des réels tels que a1·u1 +a2 ·u2 = 0E. En appliquant f on trouve a1l1·u1+a2l2·u2=0E. Maisa2·u2=−a1·u1, donc
a1l1·u1−a1l2·u1=0E,a1(l1−l2)·u1=0E.
u1 est non nul,l1est différent del2, c’est donca1qui est nul, puisa2
aussi, caru2est non nul. La famille (u1, u2) est donc libre.
On démontre ce théorème dans le cas général par récurrence.
On déduit immédiatement de ce théorème une condition suffisante de diagonalisation :
Soit f un endomorphisme de E, ev de dimension n. Si f admet nvaleurs propres distinctes, alorsf est diagonalisable.
En effet, les vecteursu1,. . ., un associés auxnvaleurs propres distinctes forment une famille libre. Comme elle est de cardinaln, et queEest de dimensionn, c’est une base deEformée de vecteurs propres def.
Attention, il s’agit d’une condition suffisante pour quef soit diago-nalisable, mais pas nécessaire : il existe des endomorphismes de R3 diagonalisables avec 2 valeurs propres distinctes, ou une seule.
On évitera donc d’écrire « f ∈ L R3
n’admet pas trois valeurs propres distinctes,f n’est donc pas diagonalisable. »
Voici une condition nécessaire et suffisante de diagonalisation :
Soitf un endomorphisme deE, ev de dimensionn.f est diagonali-sable ssi la somme des dimensions des sous-espaces propres def est égale àn.
Propriété admise.
On a les théorèmes analogues pour la matriceAdeMn(R) :
Les vecteurs colonnes propres deAassociés à des valeur propres distinctes deAforment une famille libre deMn,1(R).
SiAadmetnvaleur propres distinctes, alorsAest diagonalisable.
Aest diagonalisable ssi la somme des dimensions des sous-espaces propres deAest égale àn.
•Soitf ∈ L R3
de matriceA=
1 1 1
0 2 2
0 0 3
dans la base canonique deR3.f admet 3 valeurs propres distinctes, les réels 1,2,3. (En effet,l est valeur propre def ssiA−lI3n’est pas inversible.) Doncf est diago-nalisable. En résolvant les systèmes triangulaires (A−lI3)X =0 avec l=1,2,3, on touve respectivement les sep Vect (u1),Vect (u2),Vect (u3), avec
u1=(1,0,0), u2=(1,1,0), u3=(3,4,2)
C =(u1, u2, u3) est une base de R3formée de vecteurs propres def. La matrice def dans cette base estD =
1 0 0
0 2 0
0 0 3
.
D’après la théorie du changment de base, la matrice P =
1 1 3
0 1 4
0 0 2
est inversible, etA=PDP−1.
•Avecf ∈ L R3
de matriceA=
1 0 1
0 2 0
1 0 1
dans la base canonique deR3, on a trouvé précédemment :
0 vap def, sep associéF0=Vect ((−1,0,1)).
2 vap def, sep associéF2=Vect ((1,0,1),(0,1,0))
La somme des dimensions des sous-espaces propres de f est égale à 1 + 2=3, doncf est diagonalisable.
C =((−1,0,1),(1,0,1),(0,1,0)) est une base deR3 formée de vec-teurs propres def. La matrice def dans cette base estD=
0 0 0
0 2 0
0 0 2
. D’après la théorie du changment de base, la matriceP=
−1 1 0
0 0 1
1 1 0
est inversible, etA=PDP−1.
Notez dans ces deux exemples comment on évoque la théorie du changement de base, ce qui permet de montrer rapidement que la matrice P est effectivement inversible :P est inversible car c’est la matrice de passage de la base canonique B à la baseC, etC est une base deR3carf (ouA) est diagonalisable.
•Soitf ∈ L R3
diagonalisable avec une seule valeur proprel. Alors la dimension du sep associé est égale à 3, le sep associé estR3lui-même.
Donc pour toutu∈R3,f(u)=l·u. La matrice def dans toute base de R3 estlI3. En dehors de ce cas, un endomorphisme de R3possèdant une seule valeur propre n’est pas diagonalisable.
SoitA ∈ M3(R) diagonalisable avec une seule valeur proprel. Alors il existe Pinversible telle queA=P(lI3)P−1=lI3. En dehors de ce cas, une matrice avec une seule valeur propre n’est pas diagonalisable.
• Avec f ∈ L R3
de matrice A =
−2 5 7
−1 6 9
0 −2 −3
dans la base canonique deR3, on trouve
−1 vap def, sep associé Vect ((2,−1,1)).
1 vap def, sep associé Vect ((1,2,−1)).
La somme des dimensions des sous-espaces propres est égale à 2, donc f ∈ L
R3
n’est pas diagonalisable. (Le fait que f ait deux valeurs propres ne suffit pas pour conclure.)
Propriétés diverses
Soitf un endomorphisme de l’evE de dimensionn. Alors f admet au plusnvaleurs propres distinctes.
A∈ Mn(R) admet au plusnvaleurs propres distinctes.
En effet, une famille libre dans un ev de dimensionnest de cardinal au plusn.
Si, dans la recherche des valeurs propres def ∈ L R3
, vous trouvez 4 valeurs propres, il y a une erreur, à ne pas laisser passer !
On peut généraliser ce résultat en disant que la somme des dimen-sions des sous-espaces propres d’un endomorphisme deEde dimen-sionnest au plus égale àn. Ainsi, si l’énoncé met en évidence, pour f ∈ L
R3
, deux valeurs propres, les sous-espaces propres associés étant de dimension 1 et 2, il est inutile de chercher d’autres valeurs propres, et on peut conclure quef est diagonalisable.
Les valeurs propres d’une matrice triangulaire sont les éléments de sa diagonale.
En effet,lest valeur propre deAssiA−lInn’est pas inversible. SiAest triangulaire,A−lIn l’est aussi, et une matrice triangulaire est inversible ssi il n’y a pas de zéros sur sa diagonale.
L’endomorphismef est bijectif ssi 0 n’est pas valeur propre def. La matriceAest inversible ssi 0 n’est pas valeur propre deA.
En effet,lest valeur propre def ssif −l·IdE n’est pas bijectif.
• Propriété très importante, qui correspond à une question souvent posée. Si on connaît l’ensemble des valeurs propres def, alors il est inutile d’utiliser l’algorithme du pivot, ou toute autre méthode, pour dire sif est bijectif.
• Ne confondez pas matrice diagonalisable et matrice inversible ! Il n’y a aucune relation d’implication entre ces deux propriétés.
1 0 0 1
est diagonalisable et inversible, 0 0
0 0
diagonalisable et non inversible,
1 1 0 1
non diagonalisable (sinon, avec 1 pour seule valeur propre, la matrice serait égale à PI3P−1 = I) et inversible (0 n’est pas valeur propre),
0 1 0 0
non diagonalisable et non inver-sible.
Toute matrice symétrique réelle est diagonalisable.
Propriété admise, et qui ne peut donner lieu qu’à une question de cours (« montrer sans calculs queAest diagonalisable »).
On dit que le polynôme P(X) est unpolynôme annulateurde la matrice carréeAssiP(A)=0.
SoitP(X) un polynôme annulateur deA. Alors toute valeur propre deAest racine de ce polynôme.
•SoitA une matrice deM3(R),différente deI3, telle que A3−A2+A−I3=O3.
A admet pour polynôme annulateur le polynôme P(X)=X3−X2+X−1
(En effet, 1=X0. En remplaçantX parA, on obtientA0=I3.) Toute valeur propre deAest racine deP(X).
Or P(X)=(X −1)
X2+ 1
admet pour seule racine le nombre réel 1. On ne sait pas si 1 est effectivement valeur propre de A, mais on peut dire que A n’est pas diagonalisable : sinon, sa seule valeur propre serait 1, on aurait doncA=PI3P−1=I, ce qu’on a supposé être faux.
Remarquons d’autre part queAest inversible et que le polynôme annu-lateur permet d’exprimerA−1en fonction deA:
A3−A2+A−I3=O3, donc A3−A2+A=I3, A
A2−A+I3
=I3, doncAest inversible, et A−1=A2−A+I3.
•SoitA=
⎛
⎜⎝
1 1 −1 −3
1 1 1 −2
0 −1 0 1
1 1 0 −2
⎞
⎟⎠.A2=−I4, doncA2+I4=O4.
A admet le polynôme annulateur X2+ 1, qui n’a pas de racine réelle.
Donc A n’admet pas de valeur propre réelle.A n’est donc pas diago-nalisable, et elle est inversible (sinon, elle aurait 0 pour valeur propre).
On peut préciser ce dernier résultat en écrivant :
A2=−I4, doncA(−A)=I4, doncAest inversible, etA−1=−A.
• SoitA =
1 0 −1 1 0 −1 0 1 −1
. A2 = O3, A3 = O3. A admet pour poly-nôme annulateurP(X)=X3, dont la seule racine est 0. Donc silest valeur propre de A, alors l = 0. Attention, cela ne prouve pas que 0 est effectivement valeur propre deA. MaisAn’est pas inversible (sinon on auraitA−1A3 = O3A3 = O3,A2 =O3, orA2 = O3), donc 0 est valeur propre de A, et c’est la seule, donc A n’est pas diagonalisable (sinon auraitA=PO3P−1=O3).
On voit sur ces trois exemples l’utilisation qui est faite d’un poly-nôme annulateur deApour déterminer siAest inversible, et calcu-ler éventuellement son inverse. On peut aussi utiliser un polynôme annulateur deApour calculerAn, c’est ce qu’on a fait dans l’exemple 2 du § 4.2.4, où le polynôme annulateur était
P(X)=X3−X2−2X.
On rappelle que si A = Mat (f,B), alors An = Mat (fn,B), avec f0 = IdE, et fn = f ◦ · · · ◦ f (n termes). Un polynôme annulateur deAest donc aussi un polynôme annulateur def, et on peut dire :
Si l’endomorphismef admet un polynôme annulateurP, alors toute valeur propre def est racine de ce polynôme.
Démontrons cette propriété. SoientP(X) = p
k=0akXk un polynôme annulateur def (doncp
k=0akfk(v)=0Epour toutv),u=0Eetl∈R tels quef(u)=l·u. Alors
f2(u)=f (f(u))=f(lu)=lf(u)=llu=l2u, puis, par récurrence : fk(u) = lku, puis p
k=0aklku = 0E, puis p
k=0aklk =0 caru=0E,P(l)=0.