Autres réductions — Applications 1 Autres réductions

. A² = O3, A³ = O3. A admet pour poly-nôme annulateurP(X)=X³, dont la seule racine est 0. Donc silest valeur propre de A, alors l = 0. Attention, cela ne prouve pas que 0 est effectivement valeur propre deA. MaisAn’est pas inversible (sinon on auraitA⁻¹A³ = O3A³ = O3,A² =O3, orA² = O3), donc 0 est valeur propre de A, et c’est la seule, donc A n’est pas diagonalisable (sinon auraitA=PO3P⁻¹=O3).

On voit sur ces trois exemples l’utilisation qui est faite d’un poly-nôme annulateur deApour déterminer siAest inversible, et calcu-ler éventuellement son inverse. On peut aussi utiliser un polynôme annulateur deApour calculerAⁿ, c’est ce qu’on a fait dans l’exemple 2 du § 4.2.4, où le polynôme annulateur était

P(X)=X³−X²−2X.

On rappelle que si A = Mat (f,B), alors Aⁿ = Mat (fⁿ,B), avec f⁰ = IdE, et fⁿ = f ◦ · · · ◦ f (n termes). Un polynôme annulateur deAest donc aussi un polynôme annulateur def, et on peut dire :

Si l’endomorphismef admet un polynôme annulateurP, alors toute valeur propre def est racine de ce polynôme.

Démontrons cette propriété. SoientP(X) = p

k=0akX^k un polynôme annulateur def (doncp

k=0akf^k(v)=0Epour toutv),u=0Eetl∈R tels quef(u)=l·u. Alors

f²(u)=f (f(u))=f(lu)=lf(u)=llu=l²u, puis, par récurrence : f^k(u) = l^ku, puis p

k=0akl^ku = 0E, puis p

k=0akl^k =0 caru=0E,P(l)=0.

3. Autres réductions — Applications

Si l’endomorphismef (resp. la matrice carréeA) n’est pas diagonalisable, on peut chercher une base de E (resp. une matrice P inversible) telle que la matrice def dans cette base (resp. la matrice A = PAP⁻¹) soit

« simple », en général triangulaire. Aucune connaissance spécifique n’est exigible, on donne quelques exemples.

•On a vu que l’endomorphismef deR³de matriceA= deuxième exemple du § 6.2.2).

Soit´1=e1,´2=f (´1),´3=f (´2), etC=(´1,´2,´3).

. Elle est triangulaire sans zéros sur la diagonale, donc inversible, donc Cest une base de R³. La matrice def dans la baseCestN = inférieure, et les propriétés def se voient clairement sur la matriceN : Sa seule valeur propre est 0, f n’est donc pas bijective. Et puisque f (´1)=´2, f (´2)=´3, f (´3)=0, on aN³=O3,f³=0.

•Soitf l’endomorphisme deR³dont la matrice relativement à la base canoniqueBdeR³estA= l’endomorphismeh=f−3 Id_R3admet 0 pour seule valeur propre, puis quef admet 3 pour seule valeur propre :

siu=0,f(u)=l·u⇔h(u)=(l−3)·u⇔l−3=0.

f n’est pas diagonalisable, sinon, avec 3 pour seule valeur propre, on auraitf(u)=3·upour toutu∈R³.

. L’ensemble des résultats obtenus conduit alors àA=PAP⁻¹, avec

3.2 Applications

Puissances d’une matrice, utilisation en probabilités

Supposons la matrice carrée A diagonalisable : A = PDP⁻¹, avec P inversible etDdiagonalisable. Alors, pour toutp∈N^∗ :

A^p =

(ce qu’on peut aussi établir par récurrence). Le calcul deA^p peut alors être effectué : on calculeD^p, puisP⁻¹, puisPD^pP⁻¹. A sont vecteurs propres de A pour les valeurs propres respectives 1,1−4p,2p−1,2p−1. Ils constituent donc une base de M1,4(R) formée de vecteurs propres deA.Aest donc diagonalisable, et

A=PDP⁻¹, avec D=

Le calcul de Aⁿ n’est plus alors qu’une question de patience. (Dⁿ est la matrice diagonale dont les éléments de la diagonale sont, dans l’ordre, 1,(1−4p)ⁿ,(2p−1)ⁿ,(2p−1)ⁿ.)

On est amené à calculer la puissance n-ème de certaines matrices, par exemple en utilisant la méthode donnée ci-dessus, pour une utilisation en probabilités dont nous donnons les grandes lignes. Le vocabulaire est donné à titre d’information, aucune connaissance spécifique n’est exi-gible.

•Un mobile se déplace aléatoirement (marche aléatoire). À chaque instant n(n∈N), sa positionXn est une variable aléatoire qui prend ses valeurs dans l’ensemble{1,. . ., r}(r entier naturel fixé2).

•Pour touti, jappartenant à{1,. . ., r}, on suppose que laprobabilité de transition pi,j =P_(X

n=i)(X_n+1=j) ne dépend pas den. On appellevecteur d’état à l’instant nla matrice colonneCn dont les termes successifs sont les probabilités P (Xn=1),. . .,P (Xn=r).

•Soit la matriceA= pi,j

1ir 1jr

, appeléematrice de transition.

La formule des probabilités totales, appliquée aux événements P(Xn+1=1),. . .,P(Xn+1=r), avec le sce (Xn=i)_1ir, conduit à :

Xn+1 =AXn

•On en déduit alors, par récurrence : ∀n ∈ N, Cn = AⁿC0. Le calcul deAⁿ et la donnée deC0 conduisent alors à la connaissance deCn. Un éventuel passage à la limite permet de prévoir ce qui se passe pour les

« grandes » valeurs den.

Notons qu’il n’est pas toujours nécessaire d’expliciter Aⁿ (voir l’exemple), et que la matrice de transition définie ici est la transposée de la matrice de transition telle qu’elle est définie dans l’enseigne-ment de spécialité « pratique des graphes » de terminale ES.

On vérifie que la matrice A de l’exemple ci-dessus est la matrice de transition pour la marche aléatoire ainsi définie :

« Les sommets d’un carré sont numérotés 1, 2, 3 et 4 de telle façon que les côtés du carré relient le sommet 1 au sommet 2, le sommet 2 au sommet 3, le sommet 3 au sommet 4, le sommet 4 au sommet 1, les diagonales reliant elles le sommet 1 au sommet 3 ainsi que le sommet 2 au sommet 4.

Un pion se déplace sur les sommets de ce carré selon le protocole sui-vant :

•Le pion est sur le sommet 1 au départ.

• Lorsque le pion est à un instant donné sur un sommet du carré, il se déplace à l’instant suivant vers un sommet voisin (relié par un côté) avec la probabilitépou vers un sommet opposé (relié par une diagonale) avec la probabilité 1−2p. »

On a donc

Cn =AⁿC0= 1

4PDⁿPC0

Le pion est sur le sommet 1 au départ, doncC0=

En explicitant les probabilités P (Xn =i), on s’aperçoit que leur limite quand ntend vers +∞ est égale à 1/4. En effet, p ∈ !

Puissances d’une matrice, utilisation pour l’étude d’une suite

• Calcul deAⁿ. Soitf l’endomorphisme deR³dont la matrice dans la base canoniqueBdeR³estA=

On montre alors, par récurrence : Tⁿ =

1 0 0

•Utilisation pour l’étude d’une suite. Soit (un) la suite définie par : - u0=1 ; u1=−1 ; u2=1

∀n∈N, un+3=5un+2−8un+1+ 4un

AvecYn = On achève les calculs, et la troisième ligne de la matrice obtenue donne, pour toutn∈N:un =9−8·2ⁿ+ 6n·2ⁿ⁻¹.

Équation matricielle

Soit à résoudre un problème du type n

k=0akX^k = A, où la matrice A=PDP⁻¹est diagonalisable, etXest une matrice à déterminer. L’idée générale est la suivante : on poseY =P⁻¹XP. On a alorsX =PYP⁻¹ et l’équation proposée est équivalente à

n obtenu est plus simple à résoudre, carDest diagonale.

SoitA = L’équation Y² = D n’est pas simple à résoudre directement, mais on remarque que si Y²=D, alorsYD=DY. En effetYD=YY²=Y³, etDY =Y²Y =Y³.

On résout l’équation YD = DY, en cherchant Y sous la forme Y =

a a a b b b c c c

. On trouve ( facilement) que Y est une matrice

diagonale. L’équation Y² =D fournit alors Y =

0 0 0

0 g 0

0 0 2g

, avec

g,g ∈ {−1,1}. On a obtenu : siX²=A, alorsX =PYP⁻¹, avecY de la forme indiquée.

(Synthèse) Dans le raisonnement précédent, on a perdu l’équivalence.

Il importe donc de vérifier que les matrices trouvées vérifient l’égalité X²=A, ce qui est bien le cas :

X²=

PYP⁻¹2

=PY²P⁻¹=PDP⁻¹=A

•On étudie l’équationMA=AM,M∈M3(R). SoitY=P⁻¹MP.

On aM =PYP⁻¹. L’équation proposée est équivalente à : PDP⁻¹PYP⁻¹=PYP⁻¹PDP⁻¹ ; PDYP⁻¹=PYDP⁻¹ ;

DY =YD ; Y =

a 0 0

0 b 0

0 0 c

=aE1,1+bE2,2+cE3,3

avecEi,jla matrice dont tous les termes sont nuls sauf le terme eni-ème ligne etj-ème colonne qui est égal à 1.

M commute donc avecAssi M =PYP⁻¹=P

aE1,1+bE2,2+cE3,3

P⁻¹=aM1+bM2+cM3, avec Mi = PEi,iP⁻¹. L’ensemble des M qui commutent avec A est donc un espace vectoriel, le sous-espace vectoriel F de M3(R) engendré par la famille (M1, M2, M3), qui est une famille libre (aM1 + bM2 + cM3 = O implique M = O, puis Y = O, puis a=b=c =0). Cette famille est donc une base deF, qui est donc de dimension 3.

Probabilités

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