L’analyse géotechnique des matériaux prisent en compte dans la formulation du banco a été faite par des essais d’identifications (analyse granulométrique, sédimentométrie, limites d’Atterberg, masse volumique en vrac (densité apparente ou poids spécifique), la masse volumique réelle pré-séchée (densité absolue), essai de retrait, essai de cône d’Abrams, absorption des tiges de riz, essai Proctor, masse volumique du matériau composite, mesure du taux d’humidité), et de résistances (essai de traction par flexion et de compression).
4.2.1. Essais d’identification
4.2.1.1. Analyse granulométrique par tamisage
L’analyse granulométrique nous a permis de connaitre le pourcentage de fines présents dans notre échantillon. De nos résultats, il ressort que notre échantillon à un pourcentage de fines supérieur à 35 %. En comparant ce
pourcentage de fine à celui d’un sol pouvant servir pour le banco, nous constatons que notre échantillon remplit bien un premier critère (CNERTP, Février 1993).
Le second critère pour un sol pouvant servir à faire du banco est que le sol doit avoir un pourcentage en sable compris entre 50% et 80% (Rural Structures in the Tropics, Rome 2011) ce qui est le cas ici car notre échantillon à près de 65% de grains dont le diamètre est supérieur à 0,2 mm.
4.2.1.2. Analyse granulométrique par sédimentométrie
L’essai de sédimentometrie nous a permis de connaitre le pourcentage d’argile de silt contenu dans notre échantillon. De nos résultats, il ressort que la hauteur qu’occupe l’argile + Silt est de4,6cm, la hauteur initiale est de13cmet le pourcentage qui équivaut à cela est de 35,38%. Cette valeur est comprise entre 20% et 50% alors nous constatons que notre échantillon remplit bien le critère (Rural Structures in the Tropics, Rome 2011) qui renseigne sur la classification du sol pouvant servir à faire du banco.
4.2.1.3. Limites d’atterberg
Ce sont des essais qui consistent à faire varier la teneur en eau des éléments fins du sol en observant leur consistance. On utilise principalement deux limites :
la limite de liquidité
WL ou teneur en eau, exprimée en pour/cent. Elle est la limite au-dessus de laquelle le sol s'écoule comme un liquide sous l'influence de son poids propre ; la limite de plasticité
WP ou teneur en eau, exprimée en pour/cent. Elle correspond au passage de l'état solide à l'état plastique.La différence entre les deux limites est l'indice de plasticité :
IP WL WP
Cet indice donne une mesure de l’étendue de la zone pour laquelle le matériau plastique est susceptible de grandes déformations.
Nous avons pour la terre de barre provenant du campus d’Abomey- Calavi:
WL 47 %
4.2.1.4. Essais de retrait ou bar shrinkage test
L’essai de retrait (bar shrinkage test) nous a permis de voir le comportement du sol lorsqu’il est séché après avoir été humidifié avec un pourcentage d’eau légèrement au-dessus de la limite de liquidité du matériau. Après analyse des résultats de l’essai, nous constatons que nos échantillons ont un pourcentage de retrait inférieur à 10%. Selon les recommandations de l’essai, ce sol est susceptible d’être stabilisé.
4.2.1.5. Slump test (essai au cône d’Abrams)
Après cet essai, conformément au protocole d’essai (Rural Structures In The Tropics Design And Dévelopement, Rome, 2011) un affaissement de 3cm a été mesuré. Cet affaissement étant inférieur à 4cm, le matériau est alors ferme de classe S1.
4.2.1.6. Essai Proctor
A l’issu de cet essai, nous avons tracé la courbe Proctor afin de déterminer la teneur en eau optimale et la densité sèche maximale.
Densité sèche maximale : 1,8 t/m3 Teneur en eau optimum : 15,85%
4.2.1.7. Autres essais d’identification
- Masse volumique en vrac (densité apparente ou poids spécifique) 1,12 mg/m3
a intégrant à la fois les grains et les vides.
- Masse volumique réelle pré-séchée (densité absolue) 2.65 mg/m3
s qui exclut les vides entre les grains - Masse volumique du matériau composite
La masse volumique du banco tourne en moyenne autour de 1565 kg/m3et ne change pas vraiment avec l’âge
- Le poids spécifique du matériau
Qui se défini comme le poids du matériau par unité de volume qu’occupent ses particules solides.
- Pourcentage d’absorption
Les tiges de riz présentent un pourcentage d’absorption relativement élevé (près de 252%). On retrouve une cinétique d’absorption classique avec une vitesse croissante dans les premières heures et une stabilisation à la fin - Taux d’humidité Les essais effectués sur le taux d’humidité du banco
montrent que ce taux varie en fonction de l’âge. Elle diminue quand l’âge augmente.
4.2.1.8. Interprétation
Les essais d’identification montrent que la terre de barre du campus d’Abomey Calavi est un sol argileux pouvant être utilisé pour le banco.
4.2.2. Formulation du banco
Deux méthodes expérimentales de formulation peuvent être utilisées :
La méthode utilisant les références Proctor
La méthode des masses volumiques absolues
Les constituants du mélange sont la terre de barre séchée, les tiges de riz, l’eau et l’infusion de néré. La quantité d’infusion de néré nécessaire pour la construction ne pouvant être assuré, nous avons choisi faire notre formulation sans ce constituant.
La première méthode de formulation est celle qui sera retenue dans le cadre de notre étude.
- Les références Proctor du composite sont : γdmax = 1,8 kg/l, Wopt = 15,85%
- Volume V=1 =1000 =1000kg=1000 l - caractéristiques de la paille
La quantité de paille représente 2% de la masse sèche du sol argileux. Ce pourcentage offre la meilleure résistance en compression (AMBARKA, 2010).
+ La masse totale humide d’une éprouvette s’exprime par :
opt dmax
V (100 w )
Mth 100
+ La masse d’eau s’exprime par :
dmax opt
Tableau 4-1: La quantité des constituants du composite pour 1 , cas de la première méthode.
4.2.3. Essais de résistance : Essai de traction par flexion et de compression
De l’analyse de tous les résultats de 14, 21 et 28 jours, nous constatons que les résistances en traction par flexion et en compression s’accroissent avec l’âge.
La plus grande valeur enregistrée en traction par flexion sur les éprouvettes sans infusion de néré est de 2,098 MPa tandis que celle obtenue sur les éprouvettes avec infusion de néré est de 2,386 MPa. De même la plus grande résistance en compression enregistrée sur les éprouvettes sans infusion de néré est de 3,140 MPa et celle obtenue sur les éprouvettes avec infusion de néré est de 4,968 MPa.
La résistance en traction par flexion enregistrée est en baisse comparativement à la résistance moyenne en traction simple des tiges de riz (15,1805 MPa).
En général, nous pouvons dire que le matériau banco résiste plus en compression qu’en traction par flexion. La baisse de la résistance en traction par flexion par rapport à celle de la traction simple des tiges de riz peut s’expliquer
Elément du composite Masse (Kg/
m
3)Terre de barre 1764.70
Paille de Riz 35.294
Eau de gâchage 285.3
par le fait que les tiges une fois introduites dans le mélange absorbent une partie de l’eau contribuant ainsi à la faiblesse de celles-ci. Aussi les tiges de riz n’ont pas été alignées dans le sens de la traction par flexion. Ces tiges ont été mélangées de façon désordonnée au sol argileux, et enfin nos éprouvettes n’ont pas été soumises à la traction directe comme les tiges de riz.
Il est à noter que nos résistances mécaniques obtenues en compression comme en traction par flexion sont dans les normes exigées dans la construction en voûte nubienne qui recommande une résistance en compression comprise entre 2 MPa et 5 MPa du matériau banco (Raphaël Dauphin, 2007). Alors notre matériau banco du campus d’abomey calavi peut servir dans la construction d’habitat avec toiture en voûte de banco car possède les caractéristiques mécaniques requises.
4.2.4. Essais thermiques
Les valeurs des propriétés thermiques obtenues pour le matériau banco sont résumées dans le tableau suivant :
Tableau 4-2: Valeurs des propriétés thermiques du banco.
Source :(T.ADAGBE, 2014)
Chapitre 5
MODELISATION DE LA TOITURE EN BANCO ET METHODE DE CALCUL DES
OUVRAGES ELEMENTAIRES DE LA
STRUCTURE PORTANTE
5.1. Définition de la forme idéale d’une voûte
La forme idéale d’une structure dépend bien évidemment du chargement que l’on y applique. En effet, une forme n'est idéale au sens strict que pour un seul cas de charge donné. Cependant, tout autre cas de charge ne doit pas signifier la ruine. Une bonne structure est une structure qui résiste à tous les cas de charges imaginés.
Sous son seul poids propre, la chaînette est une courbe qui assure en tout point la seule et unique présence de l’effort normal. Elle correspond à la forme prise par un fil pesant, flexible, infiniment mince, homogène et inextensible suspendu entre deux points. Ni effort tranchant, ni effort de flexion ne sont engendrés. On lui donne aussi le nom de vélaire. Cette définition suppose toutefois que le câble, la corde ou la chaine n’exerce aucune force élastique de flexion (ni de friction aux surfaces transversales de contacts des mailles de la chainette). La chaînette ne peut transmettre ses efforts sous son poids propre que par ses maillons qui n’ont la capacité de transmettre ni effort tranchant, ni flexion.
C’est-à-dire qu’ils transmettent l’effort par traction uniquement.
On suppose que quelle que soit la forme de la chainette, celle-ci reste confinée sur toute sa longueur dans le plan formé par la position de ses extrémités et la direction constante du champ gravitationnel : toutes les forces d’action ou de réaction s’exercent alors dans ce plan sans qu’intervienne aucune force de torsion supplémentaire ( ou que les forces d’action exercées hors de ce plan sur toute section de la chainette sont partout et constamment équilibrées par la réaction des forces de torsion égales en module et opposées en direction aux forces d’action, de sorte que les éventuelles forces de torsion, élastiques ou non, n’entrent pas en jeu dans la forme obtenue de la chainette dans ce plan).
Lorsque nous retournons la chainette, on obtient une courbe identique à la chainette mais inversée. Cette courbe n’est soumise qu’à l’effort normal de compression inversement à la chainette qui n’est soumis qu’à un effort normal de traction.
Le but de la voûte est semblable puisqu’on cherche à transmettre les efforts uniquement par compression sans aucun effort de traction (incompatible avec la terre). On appellera cette forme idéale une chaînette inversée. La chainette inversée et le câble sont des structures analogues. En effet, pour une même géométrie et un même chargement, les efforts qui y règnent ne diffèrent que par leurs signes : l'arc est en compression tandis que le câble est en traction.
Figure 5-1 : Analogie entre arc funiculaire et câble.
Si le tracé diffère de la forme idéale, des efforts de flexion et des efforts tranchants vont apparaître. Le matériau va alors être mobilisé en plus à du cisaillement et de la flexion. Celle-ci va engendrer de la traction dans le matériau, ce qui n’est pas souhaitable, puisque le seul effort auquel nous voulons soumettre le matériau utilisé est l’effort de compression.
Figure 5-2 : Position de l’effort normal de compression dans la voûte par rapport au tiers central de la matière.
Pour se prémunir de cela, il faut que la résultante des forces passe par le tiers central. Si tel n'est pas le cas, la part en traction ne pourra plus contribuer à la reprise des efforts, ce qui va augmenter le taux de compression dans la partie comprimée. La section va se fissurer jusqu'à ce que finalement la résultante passe par le tiers central. La section comprimée peut être réduite considérablement. Il faut alors vérifier que la compression soit inférieure au taux de contrainte admissible du matériau.
Figure 5-3 : Fissuration créée dans la matière lorsque l’effort normal passe en dehors du tiers central
Remarque: La chainette et la parabole sont des funiculaire des charges répartie et assure en tout point la seule et unique présence de l’effort normal. La chainette est le funiculaire des charges uniformément réparties par unité de longueur prise le long du câble tandis que la parabole est le funiculaire d’une charge uniformément répartie par unité de longueur horizontale.
Figure 5-4 : Représentation de la chainette Figure 5-5: Représentation de la parabole
Lors du diagnostic de l’état existant, nous avons vu que les possibilités de formes de voûtes étaient assez limitées. Des conditions très restrictives ont été établies, notamment sur la portée. Le but de ce travail est de rechercher des éléments de réponse permettant aux constructeurs un choix élargi quant aux dimensions des voûtes en terre. Pour ce faire nous allons analyser l’équation de la chaînette afin de déterminer les paramètres dont elle dépend, dans le but de maîtriser l’élaboration de voûtes de dimensions et de caractéristiques quelconques.
5.2. Approche mathématique
En mathématiques, la chainette est une courbe plane transcendante, qui correspond à la forme que prend un câble (ou une chaine) lorsqu’il est suspendu à ses extrémités et soumis à une force gravitationnelle uniforme (son propre poids).
Les mathématiques nous fournissent l’équation suivante de la chaînette : y(x) a ch x
a
(5-1)
(Calculer une structure, de la théorie à l'exemple, chapitre 13, 2006) Avec « a » comme unique paramètre de la courbe.
Figure 5-6 : Courbe de la chainette (a=2)
On remarque que la pente est d’autant plus forte quand on monte sur l’axe des ordonnées. Ceci est physiquement explicable puisqu’un maillon a toujours davantage de poids à supporter que son maillon inférieur, et toujours moins que son maillon supérieur, d’où une pente plus raide. Étant donné que « a » est l’unique paramètre, c’est de lui que va dépendre la forme de la courbe. Il doit donc contenir certainement les caractéristiques physiques de la voûte. Mais à priori, le lien entre le paramètre mathématique qu’est « a » et les paramètres physiques que sont, par exemple, les matériaux utilisés ou leur résistance n’est pas évident.
La forme de la chainette inversée est obtenue par l’équation : y(x) (h a) a ch x
a
(5-2)
Le paramètre « a » est toujours l’unique paramètre de la courbe.
h: représente la hauteur désirée de la voûte
Figure 5-7 : Courbe de la chainette inversée (a=2 ; h=3)
L’utilisation de l’équation mathématique de la chaînette permet de dessiner rapidement les courbes, à condition de déterminer le paramètre « a ».
Le choix de la chainette comme forme de base pour l'Architecture des voûtes est dû à la stabilité statique de la forme de chainette. Dans une chainette, la ligne médiane, la ligne des forces et la courbe funiculaire sont confondu. De plus, nous avons la possibilité d'avoir une infinité de chainettes qui ont la même hauteur avec des portées différentes. On peut aussi avoir une infinité de chainettes qui ont la même portée mais une infinité de hauteurs différentes. Cette propriété offre la possibilité de créer des espaces différentes harmonieusement couverts avec le choix d’une variété de voûtes.
5.3. Approche physique de l’étude de la voûte
Ce paragraphe nous permettre de déterminer le lien entre le paramètre mathématique « a » de la chainette et les paramètres physiques du matériau avec lequel elle est faite.
5.3.1. Équation de la chainette
Soit
o, i, j
un repère orthonormé direct, j
est un vecteur vertical dirigé vers le haut c’est à dire opposé au champ de pesanteur. Découpage infinitésimal de la chaînette
Nous découpons la chainette en petits éléments, chaque élément étant compris entre les abscisses x et x+dx.
Trois forces s’appliquent à un élément de chainette :
Le poidsP . c’est une force verticale, proportionnelle au poids du morceau.
Si est poids linéaire (c’est-à-dire le poids que ferait un mètre de chaîne, exprimée enKN / m), le poids de notre élément est .ds. On a alors le poids
P Pj .ds. j
La tension à gauche T(x) . La tension à gauche, s’applique au point dont l’abscisse est x. Par un principe physique, les forces de tension de notre élément à l’équilibre sont des forces tangentes à la chaînette.
La tension à droite T(x dx) . La tension à droite s’applique au point d’abscisse x+dx. Comme notre élément est en équilibre elle s’oppose à la tension à droite de l’élément suivant compris entre x+dx et x+2dx. La tension à droite de notre élément est donc l’opposée de la tension à gauche de l’élément suivant, cette force est donc T(x dx)
Remarque : Pour cette modélisation, nous supposons que dx est la même pour tous les éléments de la chaîne. Par contre x vari, mais aussi la longueur de l’élément de chaîne entre les abscisses x et x+dx devrait être plutôt notée ds(x)
au lieu de ds. Le poids d’un élément de chaine dépend donc de x et devrait plutôt être notéP(x).
Principe fondamental de la mécanique
Le principe fondamental de la mécanique nous dit que, la somme des forces est nulle, donc :
P T(x) T(x dx) 0
(5-3) Décomposons chaque force de tension en une tension horizontale et une tension verticale :
h v
T(x) T (x)i T (x) j
(5-4) La convention pour le choix des signes permet d’avoir des valeurs T (x)h et T (x)v
positives. Alors le principe fondamental de la mécanique devient :
h v h v
Pj T (x)i T (x) j T (x dx)i T (x dx) j
(5-5) Comme
i, j est une base nous reformulerons le principe fondamental de la mécanique en deux équations :h h
La tension horizontale est alors indépendante de x.
Tension verticale et poids
Nous noterons y(x) l’équation de la chainette. Nous considérons que chaque morceau infinitésimal de la chaîne est rectiligne, nous pouvons alors appliquer le théorème de Pythagore.
dl=ds
Nous allons maintenant nous concentrer sur la deuxième équation du principe fondamentale (2), le poids étant P .ds :
v v
T (x dx) T (x) .ds
(5-10) Cela donne en divisant par dx :
2
Calcul de l’équation
Tout d’abord, nous lions la tension horizontale Th et la tension verticale Tv en fonction de l’angle que forme la chainette avec l’horizontale.
T dénote la norme deT. En considérant que la portion infinitésimale forme un triangle nous obtenons : Nous savons que la tension horizontale est constante donc en dérivant cette égalité, nous avons : T (x) T y (x)v' h ''
Avec l’équation (5-12) nous écrivons
' 2 ''
1 y (x) T y (x)h
(5-16)
C’est une équation différentielle du second ordre :
'' ' 2 équation différentielle du premier ordre :
' 1 2
Où C est une constante. En composant les deux côtés par le sinus hyperbolique,1 nous aurons :
Une primitive de shx étant chx, il ne reste plus qu’à intégrer :
1 2
y(x) ach x C C a
(5-22)
Si l’on suppose que le point le plus bas de la chainette a pour coordonnées (0, a) alors y(0) a et l’on peut choisir C C 01 2 pour les deux constantes.
L’équation est alors : y(x) ach x a
(5-23)
h
h
avec
: est la composante horizontale de la tension
: est le poids linéaire c’est à dire le poids par unité de longueu a T
5.3.2. Analogie entre la chainette et la voute en forme de chainette renversée Prenons un élément infinitésimal d’épaisseur constante t , de longueur curviligne d s et de longueur linéaire d L 1m pris entre les points d’abscisse x et x+dx. Afin de répondre à l’exigence de compression unique, on ne pose que des efforts normaux. Lorsque nous prenons la chainette sous sa forme inversée, l’effort de traction présent dans une chaînette se transforme en un effort de compression.
Par équilibre selon les deux axes, on voit que :
Axe horizontal : H dH H dH 0 H cste
Axe vertical : V dV V .ds.t dV .ds.t
est le poids volumique de l’élément d’épaisseur constante t , de longueur curviligne ds et de longueur linéaire dL 1m pris entre les points d’abscisse x et x+dx.
La résolution complète de l’équation est la même que celle présentée précédemment. On a donc :
y(x) ach x a
avec aH
.t.1m
(5-24)La constante « a » devient alors : a H
.t
(5-25)
5.4. Détermination des paramètres de la voûte
Quantité connues
La portée de la voûte 2l
La hauteur de la voûte h
L’épaisseur de la voûte t
Le poids volumique γ
Quantités inconnues
Le paramètre a de la voûte
La longueur curviligne 2S de la voûte
La poussé H=H’ de la voûte
La composante verticale V=V’ de l’effort normal
L’effort normal développé dans la voûte
Figure 5-8 : Différents paramètre de la voûte
5.4.1. Détermination du paramètre « a » de la voûte
Le paramètre « a » dépend d’une part de la masse volumique du matériau utilisé et de l’épaisseur de la voûte, et d’autre part de la poussée horizontale. Celle-ci n’est pas connue à priori. L’approche doit donc être effectuée dans l’autre sens.
En se fixant une portée et une hauteur maximale de voûte, on parvient à
En se fixant une portée et une hauteur maximale de voûte, on parvient à