Essais thermiques

Les valeurs des propriétés thermiques obtenues pour le matériau banco sont résumées dans le tableau suivant :

Tableau 4-2: Valeurs des propriétés thermiques du banco.

Source :(T.ADAGBE, 2014)

Chapitre 5

MODELISATION DE LA TOITURE EN BANCO ET METHODE DE CALCUL DES

OUVRAGES ELEMENTAIRES DE LA

STRUCTURE PORTANTE

5.1. Définition de la forme idéale d’une voûte

La forme idéale d’une structure dépend bien évidemment du chargement que l’on y applique. En effet, une forme n'est idéale au sens strict que pour un seul cas de charge donné. Cependant, tout autre cas de charge ne doit pas signifier la ruine. Une bonne structure est une structure qui résiste à tous les cas de charges imaginés.

Sous son seul poids propre, la chaînette est une courbe qui assure en tout point la seule et unique présence de l’effort normal. Elle correspond à la forme prise par un fil pesant, flexible, infiniment mince, homogène et inextensible suspendu entre deux points. Ni effort tranchant, ni effort de flexion ne sont engendrés. On lui donne aussi le nom de vélaire. Cette définition suppose toutefois que le câble, la corde ou la chaine n’exerce aucune force élastique de flexion (ni de friction aux surfaces transversales de contacts des mailles de la chainette). La chaînette ne peut transmettre ses efforts sous son poids propre que par ses maillons qui n’ont la capacité de transmettre ni effort tranchant, ni flexion.

C’est-à-dire qu’ils transmettent l’effort par traction uniquement.

On suppose que quelle que soit la forme de la chainette, celle-ci reste confinée sur toute sa longueur dans le plan formé par la position de ses extrémités et la direction constante du champ gravitationnel : toutes les forces d’action ou de réaction s’exercent alors dans ce plan sans qu’intervienne aucune force de torsion supplémentaire ( ou que les forces d’action exercées hors de ce plan sur toute section de la chainette sont partout et constamment équilibrées par la réaction des forces de torsion égales en module et opposées en direction aux forces d’action, de sorte que les éventuelles forces de torsion, élastiques ou non, n’entrent pas en jeu dans la forme obtenue de la chainette dans ce plan).

Lorsque nous retournons la chainette, on obtient une courbe identique à la chainette mais inversée. Cette courbe n’est soumise qu’à l’effort normal de compression inversement à la chainette qui n’est soumis qu’à un effort normal de traction.

Le but de la voûte est semblable puisqu’on cherche à transmettre les efforts uniquement par compression sans aucun effort de traction (incompatible avec la terre). On appellera cette forme idéale une chaînette inversée. La chainette inversée et le câble sont des structures analogues. En effet, pour une même géométrie et un même chargement, les efforts qui y règnent ne diffèrent que par leurs signes : l'arc est en compression tandis que le câble est en traction.

Figure 5-1 : Analogie entre arc funiculaire et câble.

Si le tracé diffère de la forme idéale, des efforts de flexion et des efforts tranchants vont apparaître. Le matériau va alors être mobilisé en plus à du cisaillement et de la flexion. Celle-ci va engendrer de la traction dans le matériau, ce qui n’est pas souhaitable, puisque le seul effort auquel nous voulons soumettre le matériau utilisé est l’effort de compression.

Figure 5-2 : Position de l’effort normal de compression dans la voûte par rapport au tiers central de la matière.

Pour se prémunir de cela, il faut que la résultante des forces passe par le tiers central. Si tel n'est pas le cas, la part en traction ne pourra plus contribuer à la reprise des efforts, ce qui va augmenter le taux de compression dans la partie comprimée. La section va se fissurer jusqu'à ce que finalement la résultante passe par le tiers central. La section comprimée peut être réduite considérablement. Il faut alors vérifier que la compression soit inférieure au taux de contrainte admissible du matériau.

Figure 5-3 : Fissuration créée dans la matière lorsque l’effort normal passe en dehors du tiers central

Remarque: La chainette et la parabole sont des funiculaire des charges répartie et assure en tout point la seule et unique présence de l’effort normal. La chainette est le funiculaire des charges uniformément réparties par unité de longueur prise le long du câble tandis que la parabole est le funiculaire d’une charge uniformément répartie par unité de longueur horizontale.

Figure 5-4 : Représentation de la chainette Figure 5-5: Représentation de la parabole

Lors du diagnostic de l’état existant, nous avons vu que les possibilités de formes de voûtes étaient assez limitées. Des conditions très restrictives ont été établies, notamment sur la portée. Le but de ce travail est de rechercher des éléments de réponse permettant aux constructeurs un choix élargi quant aux dimensions des voûtes en terre. Pour ce faire nous allons analyser l’équation de la chaînette afin de déterminer les paramètres dont elle dépend, dans le but de maîtriser l’élaboration de voûtes de dimensions et de caractéristiques quelconques.

5.2. Approche mathématique

En mathématiques, la chainette est une courbe plane transcendante, qui correspond à la forme que prend un câble (ou une chaine) lorsqu’il est suspendu à ses extrémités et soumis à une force gravitationnelle uniforme (son propre poids).

Les mathématiques nous fournissent l’équation suivante de la chaînette : y(x) a ch x

a

      ^(5-1)

(Calculer une structure, de la théorie à l'exemple, chapitre 13, 2006) Avec « a » comme unique paramètre de la courbe.

Figure 5-6 : Courbe de la chainette (a=2)

On remarque que la pente est d’autant plus forte quand on monte sur l’axe des ordonnées. Ceci est physiquement explicable puisqu’un maillon a toujours davantage de poids à supporter que son maillon inférieur, et toujours moins que son maillon supérieur, d’où une pente plus raide. Étant donné que « a » est l’unique paramètre, c’est de lui que va dépendre la forme de la courbe. Il doit donc contenir certainement les caractéristiques physiques de la voûte. Mais à priori, le lien entre le paramètre mathématique qu’est « a » et les paramètres physiques que sont, par exemple, les matériaux utilisés ou leur résistance n’est pas évident.

La forme de la chainette inversée est obtenue par l’équation : y(x) (h a) a ch x

a

        ^(5-2)

Le paramètre « a » est toujours l’unique paramètre de la courbe.

h: représente la hauteur désirée de la voûte

Figure 5-7 : Courbe de la chainette inversée (a=2 ; h=3)

L’utilisation de l’équation mathématique de la chaînette permet de dessiner rapidement les courbes, à condition de déterminer le paramètre « a ».

Le choix de la chainette comme forme de base pour l'Architecture des voûtes est dû à la stabilité statique de la forme de chainette. Dans une chainette, la ligne médiane, la ligne des forces et la courbe funiculaire sont confondu. De plus, nous avons la possibilité d'avoir une infinité de chainettes qui ont la même hauteur avec des portées différentes. On peut aussi avoir une infinité de chainettes qui ont la même portée mais une infinité de hauteurs différentes. Cette propriété offre la possibilité de créer des espaces différentes harmonieusement couverts avec le choix d’une variété de voûtes.

5.3. Approche physique de l’étude de la voûte

Ce paragraphe nous permettre de déterminer le lien entre le paramètre mathématique « a » de la chainette et les paramètres physiques du matériau avec lequel elle est faite.

5.3.1. Équation de la chainette

Soit



^{o, i, j }



un repère orthonormé direct,

 j

est un vecteur vertical dirigé vers le haut c’est à dire opposé au champ de pesanteur. Découpage infinitésimal de la chaînette

Nous découpons la chainette en petits éléments, chaque élément étant compris entre les abscisses x et x+dx.

Trois forces s’appliquent à un élément de chainette :

 Le poidsP . c’est une force verticale, proportionnelle au poids du morceau.

Si ^ est poids linéaire (c’est-à-dire le poids que ferait un mètre de chaîne, exprimée enKN / m), le poids de notre élément est .ds. On a alors le poids

P    Pj .ds. j

 La tension à gauche T(x) . La tension à gauche, s’applique au point dont l’abscisse est x. Par un principe physique, les forces de tension de notre élément à l’équilibre sont des forces tangentes à la chaînette.

 La tension à droite T(x dx)  . La tension à droite s’applique au point d’abscisse x+dx. Comme notre élément est en équilibre elle s’oppose à la tension à droite de l’élément suivant compris entre x+dx et x+2dx. La tension à droite de notre élément est donc l’opposée de la tension à gauche de l’élément suivant, cette force est donc T(x dx) 

Remarque : Pour cette modélisation, nous supposons que dx est la même pour tous les éléments de la chaîne. Par contre x vari, mais aussi la longueur de l’élément de chaîne entre les abscisses x et x+dx devrait être plutôt notée ds(x)

au lieu de ds. Le poids d’un élément de chaine dépend donc de x et devrait plutôt être notéP(x).

Principe fondamental de la mécanique

Le principe fondamental de la mécanique nous dit que, la somme des forces est nulle, donc :

P T(x) T(x dx) 0      

(5-3) Décomposons chaque force de tension en une tension horizontale et une tension verticale :

h v

T(x)  T (x)i T (x) j 

(5-4) La convention pour le choix des signes permet d’avoir des valeurs T (x)_h et T (x)_v

positives. Alors le principe fondamental de la mécanique devient :

 

h v h v

Pj T (x)i T (x) j T (x dx)i T (x dx) j

        

(5-5) Comme

 

^{ i, j} est une base nous reformulerons le principe fondamental de la mécanique en deux équations :

h h

La tension horizontale est alors indépendante de x.

Tension verticale et poids

Nous noterons y(x) l’équation de la chainette. Nous considérons que chaque morceau infinitésimal de la chaîne est rectiligne, nous pouvons alors appliquer le théorème de Pythagore.

dl=ds

Nous allons maintenant nous concentrer sur la deuxième équation du principe fondamentale (2), le poids étant P .ds :

v v

T (x dx) T (x)   .ds

(5-10) Cela donne en divisant par dx :

2

Calcul de l’équation

Tout d’abord, nous lions la tension horizontale T_h et la tension verticale T_v en fonction de l’angle que forme la chainette avec l’horizontale.

T dénote la norme deT. En considérant que la portion infinitésimale forme un triangle nous obtenons : Nous savons que la tension horizontale est constante donc en dérivant cette égalité, nous avons : T (x) T y (x)_v^'  _h ^''

Avec l’équation (5-12) nous écrivons

' 2 ''

1 y (x) T y (x)h

     (5-16)

C’est une équation différentielle du second ordre :

'' ' 2 équation différentielle du premier ordre :

' 1 2

Où C est une constante. En composant les deux côtés par le sinus hyperbolique,₁ nous aurons :

Une primitive de shx étant chx, il ne reste plus qu’à intégrer :

1 2

y(x) ach x C C a

 

    (5-22)

Si l’on suppose que le point le plus bas de la chainette a pour coordonnées (0, a) alors y(0) a et l’on peut choisir C C 0₁ ₂ pour les deux constantes.

L’équation est alors : y(x) ach x a

     ^(5-23)

h

h

avec

: est la composante horizontale de la tension 

: est le poids linéaire c’est à dire le poids par unité de longueu a T

5.3.2. Analogie entre la chainette et la voute en forme de chainette renversée Prenons un élément infinitésimal d’épaisseur constante t , de longueur curviligne d s et de longueur linéaire d L 1m pris entre les points d’abscisse x et x+dx. Afin de répondre à l’exigence de compression unique, on ne pose que des efforts normaux. Lorsque nous prenons la chainette sous sa forme inversée, l’effort de traction présent dans une chaînette se transforme en un effort de compression.

Par équilibre selon les deux axes, on voit que :

Axe horizontal : H dH H dH 0 H cste

Axe vertical : V dV V .ds.t dV .ds.t

     

      

 est le poids volumique de l’élément d’épaisseur constante t , de longueur curviligne ds et de longueur linéaire dL 1m pris entre les points d’abscisse x et x+dx.

La résolution complète de l’équation est la même que celle présentée précédemment. On a donc :

y(x) ach x a

     avec ^aH_

.t.1m

  

_(5-24)

La constante « a » devient alors : a H

 .t

 (5-25)

5.4. Détermination des paramètres de la voûte

 Quantité connues

 La portée de la voûte 2l

 La hauteur de la voûte h

 L’épaisseur de la voûte t

 Le poids volumique γ

 Quantités inconnues

 Le paramètre a de la voûte

 La longueur curviligne 2S de la voûte

 La poussé H=H’ de la voûte

 La composante verticale V=V’ de l’effort normal

 L’effort normal développé dans la voûte

Figure 5-8 : Différents paramètre de la voûte

5.4.1. Détermination du paramètre « a » de la voûte

Le paramètre « a » dépend d’une part de la masse volumique du matériau utilisé et de l’épaisseur de la voûte, et d’autre part de la poussée horizontale. Celle-ci n’est pas connue à priori. L’approche doit donc être effectuée dans l’autre sens.

En se fixant une portée et une hauteur maximale de voûte, on parvient à déterminer le paramètre « a ».

Les arcs de voûtes sont des éléments de couverture assez lourds. Ils engendrent des poussées qui augmentent avec le surbaissement, la portée et le poids. Ces poussées peuvent être concentrées ou réparties. Elles ont tendance à renverser les supports (murs, piliers, et fondations) et doivent être prise en compte dans le choix de la portée et de la hauteur des voûtes.

2

2

Figure 5-9 : Rapport des poussées entre un arc surhaussé et un arc surbaissé Pour une portée et une hauteur de voûte données, il n’existe qu’une chaînette possible, et donc un unique paramètre « a ».

Pour une hauteur h et une portée 2L, on aura : h x.L; or h a achL

La résolution de cette équation nous permet de trouver le paramètre « a » de la chainette.

5.4.2. Calcul de la longueur curviligne de la chainette L’équation de la chainette est : ^{y(x) a.ch  }_{ }^x_a

  avec « a » l’unique paramètre de la courbe.

En considérant xi comme une abscisse d’un point auquel nous déterminons la longueur curviligne Side la voûte par rapport à sa clé on a :

i xi

s a.sh

 a (5-27)

La plus grande valeur que peut prendre xiestlc’est-à-dire la longueur de la demi portée de la voûte et lorsque xi=lon a :

avecSla longueur curviligne de la demi voûte et 2S la longueur curviligne de la voute.

5.4.3. Détermination de l’épaisseur t à partir de l’élancement ^ S 20 t S

t 20

     (5-29)

5.4.4. Calcul de la poussée de la voûte

 

De l’équation 5 25 o a H H a t n a : .

 t     

  (5-30)

H:est la composante horizontale de l’effort normal de compression où poussée de la voûte.

5.4.5. Calcul de la composante vertical de l’effort normal

Vi est le poids de la section de voute entre son sommet et un point considéré d’abscisse X i.

Pour X i l videvientVqui est le poids total de la demi voûte appliqué au

5.4.6. Détermination de l’effort normale développé dans la voûte

L’effort normal de compression agissant tout au long de la voute peut se calculer en tout point par la formule :

 

²

N H2 Vi (5-33)

Où Vi est le poids de la section de voute entre son sommet et le point considéré.

L’effort normal maximal, se trouvant en pied de voûte, est fourni par la formule:

2 2

Nmax  H  V _(5-34)

5.4.7. Vérification de la contrainte admissible dans la voute

Le seul effort développé dans la voûte étant l’effort normal de compression, nous allons dimensionner la voûte comme un mur soumis à l’effort normal de compression.

L’élancement  est défini par: S 20

   t 

La contrainte admissible est donnée par : ^R

  N (5-35)

(THONIER HENRY, 1995) R: est la résistance nominale à l’écrasement du matériau élémentaire qui constitue le mur.

N: appelé coefficient globale de réduction, variant suivant le type de maçonnerie, le cas de chargement mais également selon la valeur de l’élancement (Voir annexe A).

Pour un élancement compris entre 15 et 20, la valeur du coefficient N est à multiplier par le coefficient de majoration k (Voir annexe A).

Il vient alors de vérifier que la contrainte dans la voûte est inférieure à la contrainte admissible en compression du matériau.

voûte

La courbe de pression permet de visualiser le cheminement des forces dans la matière. La détermination de cette ligne facilite beaucoup la recherche des conditions d'équilibre des massifs de maçonnerie. En effet, pour qu'un solide soit en équilibre sur un plan, il faut que la résultante des forces qui lui sont appliquées passe dans l’intérieur de la surface de contact de ce solide avec le plan, car il est évident que la résultante des réactions de Ce plan se trouvant nécessairement comprise dans cette surface, ne pourrait faire équilibre à la résultante des forces extérieures, si elle passait en dehors: d'où il suit que l'équilibre n'est possible qu'à la condition que la courbe de pression ne passe pas en dehors du solide.

Déterminer la courbe de pression, c'est donc vérifier si cette condition d'équilibre est satisfaite pour tous les plans de joint.

Tracé de la courbe de pression dans une voute

Dans leur ouvrage « Ponts en maçonnerie » publié en 1887, Ernest Degrand (1822-1892) et Jean Résal (1854-1919) définissent la notion de centre de pression comme le « point d’application sur une section transversale de la résultante des efforts moléculaires développés dans cette section. »

« Si le solide est en équilibre, cette résultante est égale et directement opposée à celle des forces extérieures appliquées au solide, à partir d’une de ses extrémités jusqu’à la section considérée. »Ainsi, la courbe des pressions « est le lieu des points de rencontre des sections transversales successives et des résultantes des forces appliquées à la partie de la voûte comprise entre l’une de ses retombées et les sections transversales considérées. »

Considérons la section transversale A1-B1, les forces appliquées à la moitié droite de la voûte ont pour résultante Q appliquée au point D de la clef. On compose la poussée Q avec le poids total P1 supporté par le 1er voussoir A-B-A1-B1 pour obtenir la résultante T1. T1 correspond donc à la section A-B-A1-B1. Le point de rencontre D1 de sa direction avec la droite A1-B1 est un point de la courbe des pressions.

Figure 5-10 : Tracé de la courbe funiculaire.

5.6. Etude des murs porteurs

Un massif de maçonnerie est un élément de la structure qui peut se diviser facilement suivant certaines surfaces. En le considérant comme monolithe, que les forces qui lui sont appliquées aient une résultante nulle ne suffit pas pour qu'il soit en équilibre. Il faut donc s’assurer que ces forces ne conduisent pas au détachement à l’écrasement ou au glissement d’une partie quelconque du massif.

La capacité d’un mur soumis à une poussée à reprendre les charges qui lui sont appliquées se décline sous 2 aspects :

 La résistance intrinsèque du mur

 et la stabilité du mur sachant qu’un mur ne saurait être stable que si le terrain environnant est capable de maintenir celui-ci compte tenu des charges qui lui sont appliquées.

Ces massifs, qu'on peut considérer comme un assemblage de matériaux faiblement liés entre eux, doivent en effet être combinés de manière, d'abord à ne pas être renversés, ensuite à ne-pas glisser, enfin à ne pas être écrasés.

Les critères de stabilité devant être alors vérifier sont :

 le non glissement d’une partie du mûr sur une autre,

 le non renversement du mur,

 le non écrasement du matériau de construction par suite de l’effort appliqué au mur

Bilan des efforts extérieurs appliqués à un mur chargé

Figure 5-11: Forces agissants sur un élément de mur.

 le poids propre Wide la section de mur étudié

 l’apport de la cohésionCidu matériau du mur sous forme d’effort Fi(effet de collage)Fi=Ci.b

 la réaction Ride la partie inférieure du mur sur la partie supérieur

 l’effort normal de la voûte qui se décompose en un effort verticale V et e un effort horizontaleH représentant la poussée.

Le seul effort qui ne peut pas être calculé directement est Ri. Mais la somme des forces suivant la verticale permet de le déterminer aisément :

 R i = Wi + V

 R i = R i. tanφ = (Wi + )tanφ

5.6.1. Stabilité au renversement

Le renversement se produit par basculement de tout ou partie du mur lorsque les moments faisant renverser le mur sont supérieurs aux moments qui le retiennent. Lorsque la stabilité au renversement est assurée en considérant le mur

Le renversement se produit par basculement de tout ou partie du mur lorsque les moments faisant renverser le mur sont supérieurs aux moments qui le retiennent. Lorsque la stabilité au renversement est assurée en considérant le mur

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