Fusion d’informations dans un cadre possibiliste

Diff´erentes repr´esentations d’un signal ultrasonore peuvent ˆetre utilis´ees. Ces repr´e- sentations sont consid´er´ees comme ´etant des nouvelles sources d’informations. Ainsi, notre syst`eme devient un syst`eme multi-sources o`u la phase de fusion est primordiale.

Chaque source d’informations Skest repr´esent´ee par un ensemble de primitives N (k). Comme nous avons d´etaill´e dans la section 4.2.4, une distribution de possibilit´es est estim´ee pour chaque primitive. Les distributions r´esultantes peuvent ˆetre entach´ees de la redondance, la compl´ementarit´e et l’ambigu¨ıt´e qui ont eu lieu entre les primitives.

Dans la phase de fusion, les sources d’informations consid´er´ees sont alors les dis- tributions de possibilit´es correspondantes aux diff´erentes primitives extraites de chaque nouvelle repr´esentation du signal. Cette fusion permet de prendre avantage des dif- f´erentes distributions, afin d’avoir une seule distribution de possibilit´es pour chaque repr´esentation. Dans le reste des concepts de base du syst`eme de reconnaissance, la dis- tribution r´esultante peut ˆetre utilis´ee comme un identifiant de la source d’informations correspondante.

Apr`es avoir d´efini les sources d’informations `a fusionner, nous passons, maintenant, `

a l’´etape la plus importante. Cette ´etape consiste `a choisir l’op´erateur de fusion le plus appropri´e aux informations `a fusionner (conflictuelles, performantes, ...) et qui prend en compte l’ind´ependance entre les sources d’informations. Ainsi, le choix de l’op´erateur le plus adapt´e `a nos donn´ees, sugg`ere la connaissance du degr´e de fiabilit´e des sources `a combiner et du degr´e de coh´erence entre les informations. A cet effet, le choix de l’op´e- rateur est crucial. Cette ´etape devient plus complexe, notamment, lorsque nous n’avons

aucune id´ee au pr´ealable sur la nature des informations `a fusionner. Pour rem´edier `a cette limitation, une ´etude sur la coh´erence et aussi l’inconsistance des distributions `a fusionner est n´ecessaire. En fait, dans certaines situations, deux distributions de pos- sibilit´es paraissent totalement coh´erentes, tout en ´etant tr`es diff´erentes. Cela signifie que deux distributions de possibilit´es peuvent avoir certaines mesures tr`es diff´erentes et d’autres qui sont totalement en accord. Dans ce cas, le recours uniquement `a l’incon- sistance Inc(π∧) est jug´e insuffisant pour se prononcer sur le degr´e de coh´erence entre les deux distributions de possibilit´es. Dans ce cas, une ´etude performante qui ram`ene `a une strat´egie intelligente de s´election d’op´erateur de fusion est recommand´ee. Afin de r´epondre `a un tel besoin, nous exploitons la m´ethode propos´ee par Weiru Liu [Liu07] qui permet d’analyser les donn´ees, afin de mieux s´electionner l’op´erateur le plus appro- pri´e. Cette m´ethode ´evalue le degr´e de coh´erence entre les distributions de possibilit´es `

a fusionner, ainsi que leurs degr´es d’incertitude. Elle tient en compte deux concepts fondamentaux. Le premier concept est bas´e sur la th´eorie de possibilit´e, afin de mesurer le degr´e d’inconsistance d’une distribution. Ensuite, ce degr´e est utilis´e pour mesurer le niveau de conflit entre les informations de diff´erentes sources. Le deuxi`eme concept est bas´e sur la th´eorie des fonctions de croyance. Il est employ´e pour mesurer la coh´erence entre les distributions `a fusionner. Ce concept g´en`ere des fonctions de masse `a partir des distributions de possibilit´es. Ensuite, ces masses sont transform´ees en fonctions de probabilit´e pignistique. La probabilit´e pignistique, not´ee BetP , permet d’approcher le couple de mesures ”croyance” et ”plausibilit´e”. Ce processus est r´ealis´e par l’´equir´epar- tition des mesures de masses donn´ees aux ´el´ements non singletons sur les singletons qui les composent. La probabilit´e pignistique pour un ´el´ement x est d´efinie par :

BetP (x) = X

A=2Ω_,x∈A

m(A)

|A|(1 − m(φ)) (4.12)

o`u x est un singleton de l’univers Ω, A est un sous ensemble de l’univers Ω, |A| repr´esente le cardinal de A et m est la fonction de masse.

Cette combinaison des th´eories est tr`es importante, afin de tirer profit de leurs avan- tages. L’algorithme 3 d´etaille les diff´erentes ´etapes suivies par cette approche. Dans cet algorithme, la derni`ere ´etape consiste `a s´electionner l’op´erateur de fusion ad´equat `a notre syst`eme. Ce choix d´epend des deux crit`eres Dif f BetPm2

m1(A) (diff´erence entre les

mesures), et Inc(A) (Inconsistance). Il est d´efini comme suit :

Soit × et ⊗ respectivement les op´erateurs ”Produit” et ”Produit lin´eaire”. Soit π∧ la distribution r´esultante d’une fusion conjonctive utilisant l’op´erateur max des deux distributions π1 et π2.

Algorithme 3 Algorithme de s´election d’un op´erateur de fusion (M´ethode de Weiru Liu [Liu07]

1: Entr´ee : Deux distributions de possibilit´es π1 et π2 dans un cadre de discernement Ω et qui sont normalis´ees. π1= {π1,1, π1,2, ..., π1,N} et π1 = {π2,1, π2,2, ..., π2,N}. 2: Sortie : L’op´erateur de fusion le plus adapt´e aux informations.

3: Ordonner les distributions de possibilit´es :

Soit π(ωi) est {αi|i = 1, ..., p}, ils sont ordonn´es de sorte que : α1 = 1 ≥ α2 ≥ , ..., αp ≥ 0 et αp+1= 0

4: Pour k = 1 `a p Faire

5: Construire des sous ensembles Ai : Ai= {ω|π(ω) ≥ αi} 6: Fin Pour

7: Les sous ensembles A1, A2, ..., Apsont imbriqu´es pour construire des ´el´ements focaux.

8: Pour k = 1 `a p Faire

9: Calculer les fonctions de masse des ´el´ements focaux : m(Ai) = π(ωi) − π(ωi+1) avec ωi∈ Ai, ωi+1∈ Ai+1

10: Fin Pour

11: Pour k = 1 `a p Faire

12: Calculer la transformation pignistique des ωi : BetPm(ω) =PA⊆Ω,m∈A m(A)

|A| Avec |A| est le cardinal de l’ensemble A.

13: Fin Pour

14: Calculer la transformation pignistique des sous ensembles Ai : BetPm(A) = P

ω∈ABetPm(ω) pour A ⊆ Ω. 15: Calculer la distance Dif f Betm2

m1(A)

Dif f Betm2

m1 = maxA⊆Ω(|BetPm1(A) − BetPm2(A)|)

avec m1 et m2 deux fonctions de masse dans le cadre Ω et supposons BetPm1 et

BetPm2 leurs fonctions de probabilit´e pignistique correspondantes.

16: Calculer l’inconsistance des distributions de possibilit´es : 1 − maxω∈Ωπ(C) 17: Mise en consid´eration des deux crit`eres : Dif f Betm2

m1(A) et Inc(π∧) pour choisir

D´efinition 1 (Si Inc(π∧) = 0)

– Si dif BetPm1

m2 = 0 : l’op´erateur ⊗ est utilis´e si les informations viennent de

sources ind´ependantes, sinon l’op´erateur ”min” doit ˆetre utilis´e. – Si 0 < dif BetPm1

m2 < e1 : l’op´erateur × est utilis´e si les informations pro-

viennent de sources ind´ependantes, sinon l’op´erateur ”min” doit ˆetre utilis´e. – Si e1 < dif BetPmm21 < e2 : l’op´erateur × peut ˆetre utilis´e avec prudence si les

informations proviennent de sources ind´ependantes, sinon l’op´erateur ”min” doit ˆetre utilis´e.

– Si e2 < dif BetPmm21 : l’op´erateur ”min” doit ˆetre utilis´e.

avec e1 est une constante relativement petite (e.g. 0.3) et e2 est une constante rela- tivement grande (e.g. 0.8).

D´efinition 2 (Si 0 < Inc(π∧) < e)

– Si dif BetPm1

m2 < e1 : l’op´erateur × est utilis´e si les informations proviennent

de sources ind´ependantes, sinon l’op´erateur ”min” doit ˆetre utilis´e.

– Si e1 < dif BetPmm21 < e2 : l’op´erateur × peut ˆetre utilis´e avec prudence si les

informations proviennent de sources ind´ependantes, sinon l’op´erateur ”min” doit ˆetre utilis´e.

– Si e2 < dif BetPmm21 : l’op´erateur ”min” doit ˆetre utilis´e.

avec e est une constante suffisamment petite (e.g., 0.2) et e1 et e2 gardent les mˆemes d´efinitions que pr´ec´edemment.

D´efinition 3 (Si Inc(π∧) > e)

Dans ce cas un op´erateur disjonctif est conseill´e pour la fusion de π1 et π2. avec e est une constante suffisamment large (e.g., 0.8).

L’op´erateur de fusion choisi est utilis´e pour fusionner les distributions de possibilit´es cor- respondantes aux diff´erentes primitives d’une source Sk. Ceci nous a permis d’obtenir pour chaque source d’informations une seule distribution de possibilit´es. Les K distri- butions r´esultantes, correspondant aux K sources, sont ensuite utilis´ees pour construire une carte possibiliste conditionnelle `a une classe Cm donn´ee.