Estimation des distributions de possibilit´ es

Dans le deuxi`eme chapitre du pr´esent m´emoire, nous avons d´efini diff´erentes m´e- thodes de transformation d’une distribution de probabilit´es en une distribution de pos- sibilit´es. En fait, le passage d’un cadre th´eorique `a un autre est parfois utile. Dans notre application, cette transformation est vigoureusement importante vu que les informations fournies par le capteur ultrasonore sont affect´ees de diff´erentes formes d’imperfection notamment l’ambigu¨ıt´e. La m´ethode d’histogramme est consid´er´ee comme une bonne approximation des distributions de probabilit´es que dans le cas o`u la taille des ´echan- tillons est suffisamment grande. Ainsi, inf´erer une distribution de possibilit´es `a partir des informations fournies ne peut pas ˆetre bas´ee sur la valeur pr´ecise de probabilit´e ob- tenue de l’histogramme. Pour rem´edier `a une telle limitation, une m´ethode bas´ee sur la d´etermination des intervalles de confiances (ICs) pour un param`etre scalaire peut ˆetre utilis´ee. Pour un param`etre vectoriel d’une distribution de possibilit´es, une r´egion de confiance doit ˆetre, alors, d´efinie dans l’espace de param`etres et qui contient, n´ecessaire-

ment, la vraie valeur du param`etre mais avec un degr´e de confiance ´egale `a 1 − α. Ainsi, l’histogramme observ´e sera consid´er´e comme la r´ealisation d’une variable al´eatoire mul- tinomiale de param`etre inconnu p. Ensuite, une r´egion de confiance est construite sur ce param`etre p. Dans notre syst`eme, nous avons choisi l’approche de Masson bas´ee sur les ICs probabilistes de Goodman, pr´esent´ee dans le chapitre 2. Cette m´ethode permet d’inf´erer une distribution de possibilit´es la plus sp´ecifique `a la distribution de probabili- t´es correspondante. En outre, cette proc´edure garantit que la distribution de possibilit´es soit consistante `a celle de probabilit´es dans 100(1 − α)% des cas. Cette m´ethode permet d’obtenir une distribution de possibilit´es qui satisfait le principe de coh´erence, mais ses performances d’autant plus importantes que le nombre d’´echantillons est grand [MD06]. Algorithme 2 Algorithme de pr´e-traitement d’un signal et extraction des distributions de possibilit´es

1: Entr´ees La matrice contenant les distributions de probabilit´es p. k : Indice de la source `a traiter

N (k) : Nombre de primitives extraites de la source k. H : La dimension des distributions de probabilit´es.

2: Sortie π une matrice contenant les distributions de possibilit´es repr´esentant les primitives N (k) de la source k.

3: Pour n = 1 to N (k) Faire

4: DP ← p(n)

5: Appliquer l’algorithme de Masson pour avoir la distribution de possibilit´es πk,n 6: Fin Pour

Quelques exemples de distributions de possibilit´es, r´esultantes de l’application de la m´ethode de Masson, sont donn´es dans la figure 4.5. Ces distributions repr´esentent la primitive ”Skewness” extraite du signal ultrasonore pour diff´erentes dimensions de base, D=500, D=200 et D=25. Cette figure nous montre que plus le nombre d’´echantillons est r´eduit, plus les distributions de possibilit´es perdent leurs formes et se rapprochent de l’´etat de l’ignorance totale et du coup elles deviennent de plus en plus moins sp´ecifiques. Ceci confirme la forte corr´elation entre la valeur de D et la construction des distributions. Pour faire face `a cette probl´ematique, diff´erentes recherches sur la construction des ICs sont entam´ees. Elles nous ont permis de conclure que les ICs simultan´es de Sison et Glaz [SG95b] sont les plus adapt´es pour des ´echantillons de donn´ees ayant une pe- tite taille. En fait, Sison et Glaz ont propos´e deux m´ethodes pour construire des ICs simultan´es. La premi`ere m´ethode est bas´ee sur l’approximation de distribution multino- miale, moyennant l’algorithme de Levin [Lev81]. La deuxi`eme m´ethode met en oeuvre la structure de d´ependance n´egative intrins`eque dans la distribution multinomiale et les

(b) Source : Signal; Primitive : Skewness; D=200 (a) Source : Signal; Primitive : Skewness; D=500

(c) Source : Signal; Primitive : Skewness; D=25

Figure 4.5. Exemples de distributions de possibilit´es pour diff´erentes valeurs de D, D = 500, D = 200, D = 25, utilisant les ICs de Goodman. C1 classe Sol, C2classe E.D et C3 classe E.A.

in´egalit´es li´ees introduites par Glaz et Johnson [GJ84].

Les deux proc´edures propos´ees sont ´egalement efficaces, sauf que la deuxi`eme ap- proximation devient p´enalisante en temps de calcul lorsque, d’une part, la taille d’´echan- tillons est importante, et d’autre part, le nombre de classes sur lesquelles l’´echantillon de donn´ees est r´eparti, est aussi grand. Pour ´eviter toutes sortes de d´et´erioration des performances de notre syst`eme, nous recommandons, alors, d’utiliser la proc´edure bas´ee sur le th´eor`eme de Levin [SG95b].

Les nouvelles distributions obtenues, utilisant cette m´ethode de calcul des ICs, sont donn´ees dans la figure 4.6. Cette figure nous montre que les distributions de possibilit´es r´esultantes de l’int´egration de la m´ethode de Sison et Glaz, au sein de l’approche de Masson d´ependent ´egalement du nombre d’´echantillons utilis´es. Il est certes que, pour un nombre r´eduit d’´echantillons, cette m´ethode g´en`ere des distributions moins sp´ecifiques que celles inf´er´ees d’un grand nombre d’´echantillons. N´eanmoins, elle a r´eussi `a pr´eserver un contenu informationnel important.

La comparaison des deux m´ethodes de construction des ICs nous montre que les dis- tributions obtenues par les ICs de Sison et Glaz sont plus sp´ecifiques que celles obtenues par les ICs de Goodman principalement lors de l’utilisation d’un nombre d’´echantillons r´eduit. Ceci nous confirme l’apport de l’hybridation de la m´ethode de Masson avec les ICs de Sison et Glaz.

Dans la suite de ce m´emoire, nous utilisons les distributions r´esultantes de cette hybridation pour la construction de cartes possibilistes conditionnelles `a chaque classe. Ces cartes sont construites en utilisant les distributions correspondantes aux diff´erentes primitives.

La proc´edure d’extraction de primitives suivie consiste `a extraire le maximum d’in- formations. Donc, il existe n´ecessairement des informations inutiles conduisant `a la d´e- t´erioration des performances. Ainsi, une ´etape de s´election de primitives pertinentes est primordiale.