timisation Topologique bas´ee sur les NURBS
La notation utilis´ee dans ce chapitre est coh´erente avec celle introduite dans les chapitres 1 et 2. Notamment, le domaine de r´ef´erence, dans lequel l’OT a lieu, est toujours d´efini comme un rectangle compact de taille a1× a2 en 2D et un parall´el´epip`ede compact a1×
a2× a3 en 3D. Dans le proc´ed´e SIMP bas´e sur les NURBS, le champ de pseudo-densit´e
est repr´esent´e par une entit´e NURBS appropri´ee. Par cons´equent, une surface NURBS est utilis´ee pour les probl`emes 2D et une hyper-surface NURBS en 3D (voir respectivement ´
eqs. (4.1) et (4.2)).
Bien sˆur, ρ(u1, u2) de l’´eq. (4.1) ne repr´esente que la troisi`eme coordonn´ee du vecteur
S(u1, u2) de l’´eq. (2.12) : les trois coordonn´ees du espace NURBS sont les deux coordonn´ees
li´es aux coordonn´ees physiques, comme indiqu´e dans l’´eq. (4.3).
Les points de contrˆole ρbi1,i2 sont organis´es dans une matrice `a deux dimensions (deux
index), tandis que ρbi1,i2,i3 sont normalement d´efinis dans une matrice en trois dimensions.
On remarque ici qu’une entit´e g´eom´etrique 3D est n´ecessaire pour d´ecrire correctement la topologie d’un domaine 2D (fig. 4.1a). En g´en´eralisant ce concept, le champ de densit´e fictif peut ˆetre associ´e `a une hyper-surface 4D NURBS pour d´ecrire la topologie d’une structure dans l’espace euclidien 3D (fig. 4.1b).
Parmi les nombreux param`etres affectant la forme des entit´es NURBS, les points de contrˆole NURBS et les poids associ´es sont identifi´es comme variables de conception. Ils sont dispos´es dans les vecteurs ξ2D1 ∈ R[(n1+1)(n2+1)]×1 et ξ2D
2 ∈ R[(n1+1)(n2+1)]×1 pour des
probl`emes 2D et dans les vecteurs ξ3D1 ∈ R[(n1+1)(n2+1)(n3+1)]×1et ξ3D
2 ∈ R[(n1+1)(n2+1)(n3+1)]×1
pour les applications 3D (voir les ´eqs. (4.4) et (4.7).
Les autres param`etres NURBS peuvent ˆetre identifi´es comme param`etres de concep- tion, c’est-`a-dire que leur valeur est d´efinie a priori au d´ebut de l’analyse d’OT et n’est pas optimis´ee.
• Les degr´es : L’augmentation du degr´e implique l’´elargissement de la taille du support local et les effets de cette op´eration doivent ˆetre ´etudi´es.
• Le nombre de points de contrˆole : augmenter le nombre de points de contrˆole im- plique d’am´eliorer la description de la topologie et, par cons´equent, d’obtenir de meilleures performances en termes de fonction objectif. Bien entendu, ce fait im- plique un plus grand nombre de variables de conception et des temps de calcul accrus sont attendus.
• Le knot vector : les composants des knot vectors non triviaux apparaissant dans les ´
eqs. (2.14)-(2.15) et dans l’´eq. (2.24) ont ´et´e uniform´ement distribu´es sur l’intervalle [0, 1] pour les probl`emes 2D et 3D.
• Coordonn´ees spatiales des points de contrˆole : elles sont inutiles en termes d’opti- misation car seulement la troisi`eme coordonn´ee de S ou la quatri`eme coordonn´ee de H sont li´ees `a la description de la topologie. Cependant, elles peuvent devenir significatives pour les op´erations de post-traitement et pour les autres applications d´ecrites dans le chapitre 5 de ce manuscrit. L’id´ee est de distribuer des points de contrˆole dans l’espace euclidien de telle mani`ere que l’´evaluation NURBS selon la co- ordonn´ee xj co¨ıncide directement avec xj, j = 1, 2, 3. Lorsque des entit´es B-Spline
sont employ´ees, cette exigence peut ˆetre formul´ee exactement d’un point de vue math´ematique et se traduit par une formule simple et utile donn´ee par l’´eq. (4.8), fournissant les abscisses de Greville.
ntot = (n1+ 1)(n2+ 1)(n3+ 1) en 3D.
Dans ce contexte, le probl`eme classique d’OT de l’´eq. (1.6) devient celui de l’´eq. (4.10), o`u ρe est la pseudo-densit´e ´el´ementaire d´efinie par l’´eq. (4.11). La fonction objectif est di-
vis´ee par une compliance de r´ef´erence (cref), pour obtenir une valeur adimensionnelle. De
mˆeme, le volume est divis´e par un volume de r´ef´erence (Vref) dans la fonction contrainte.
Les nouvelles variables de conception du probl`eme (4.10) sont les points de contrˆole et les poids de l’entit´e NURBS, non plus les densit´es des EF comme dans le probl`eme stan- dard (1.6).
Le calcul des d´eriv´ees est r´ealis´e en exploitant la propri´et´e de support locale des NURBS (voir le chapitre 2). Le support local li´e `a un point de contrˆole ρbI1,I2 en 2D
ou ρbI1,I2,I3 en 3D peut ˆetre d´efini comme `a l’´eq. (4.12), o`u le triplet des index majuscules
(I1, I2, I3) identifie un point de contrˆole (ou un poids) sp´ecifique avec index lin´eaire τ via
les formules de l’´eq. (4.13).
Soit Q une fonction scalaire g´en´erique `a consid´erer dans un probl`eme d’OT dont le gradient par rapport `a la pseudo-densit´e de l’´el´ement g´en´erique, i.e. ∂ρ∂Q
e, est connue.
Dans le cadre de l’approche SIMP bas´ee sur les NURBS, il est n´ecessaire de d´eterminer l’expression explicite de ∂Q
∂Ξ(1)τ
et ∂Q
∂Ξ(2)τ
. Dans les ´eqs. (4.14)-(4.15), seulement les ´el´ements figurant dans le support local du point de contrˆole Ξ(1)τ apportent une contribution non
nulle aux d´eriv´ees. On peut montrer (voir Annexe A) que les d´eriv´es de l’entit´e NURBS par rapport `a un point de contrˆole attribu´e et au poids associ´e prennent la forme des ´
eqs. (4.16) et (4.17). La quantit´e scalaire Reτ, apparaissant dans les ´eqs. (4.16) et (4.17) est simplement la fonction de base appropri´ee, li´ee au point de contrˆole Ξ(1)τ . Les d´eriv´ees
pour la compliance sont donn´ees par les ´eqs. (4.19) et (4.20) tandis que celles pour le volume par les ´eqs. (4.21) et (4.22).