M´ ethodes bas´ ees sur la densit´ e

Classiquement, les premi`eres m´ethodes d’Optimisation Topologique ´etaient bas´ees sur une description aux ´el´ements finis (FE) du domaine de conception [34]. La discussion qui suit portera sur la m´ethode dite du mat´eriau solide isotrope avec p´enalisation (SIMP) [5]. Plus pr´ecis´ement, la formulation math´ematique est ici limit´ee, par souci de clart´e, au probl`eme de la minimisation de la compliance d’une structure, soumise `a une contrainte d’´egalit´e sur le volume.

Soit D ⊂ R3 _{un sous-ensemble compact d´efini comme dans l’´eq. (1.1) dans l’espace}

euclidien 3D : O(x1, x2, x3) est un rep`ere orthogonal cart´esien, tandis que a1, a2 et a3

sont trois longueurs de r´ef´erence du domaine (li´ees au probl`eme en question), d´efinies le long des axes x1, x2 et x3, respectivement. La distribution d’un “mat´eriau h´et´erog`ene”

isotrope donn´e (i.e. la d´efinition de zones vides et avec pr´esence de mati`ere) dans le domaine de conception D est recherch´ee afin de minimiser le travail virtuel des charges externes appliqu´ees `a la structure et r´epondant `a une contrainte d’´egalit´e de volume appropri´ee. Soit Ω ⊆ D le domaine mat´eriel. Dans l’approche SIMP, Ω est d´etermin´e au moyen d’une fonction de densit´e fictive ρ(x1, x2, x3) ∈ [0, 1] d´efinie sur l’ensemble du

domaine de conception D. Un tel champ de densit´e est li´e `a la distribution du mat´eriau : ρ(x1, x2, x3) = 0 signifie l’absence de mat´eriau, alors que ρ(x1, x2, x3) = 1 implique la

pr´esence de mat´eriau comme montr´e `a la fig. 1.2.

Le champ de densit´e affecte le tenseur de rigidit´e Eijkl(x1, x2, x3) selon l’´eq. (1.2), o`u

le vecteur des degr´es de libert´e (degrees of freedom - DOFs) et {f} le vecteur des forces nodales g´en´eralis´ees appliqu´ees. La relation entre {d} et {f} est fournie par l’´eq. (1.3), o`u [K] est la matrice de rigidit´e globale de la structure. En cons´equence, la compliance de la structure est calcul´ee comme d´etaill´e dans l’´eq. (1.4). En prennant en compte l’´eq. (1.2), [K] peut ˆetre exprim´e par l’´eq. (1.5), o`u ρe est la densit´e fictive calcul´ee au centro¨ıde de

l’´el´ement de maillage e, Ne le nombre total d’´el´ements, tandis que [Ke] est la matrice de

rigidit´e de l’´el´ement non p´enalis´e ´etendue sur l’ensemble des DOFs de la structure. Le probl`eme de minimisation de la compliance d’une structure 3D soumise `a une contrainte sur le volume global est ´enonc´e dans l’´eq. (1.6).

Dans l’´eq. (1.6), Vref est un volume de r´ef´erence, V (ρe) est le volume du domaine

mat´eriel Ω, alors que γ est la fraction volumique fixe ; Ve est le volume de l’´el´ement e

et ρmin repr´esente la limite inf´erieure, impos´ee au champ de densit´e afin d’´eviter toute

singularit´e pour la solution du probl`eme d’´equilibre statique. Les variables de conception du probl`eme d’OT dans le cadre de la m´ethode SIMP classique sont les densit´es fictives d´efinies au centro¨ıde de chaque ´el´ement : donc le nombre global de variables de conception est ´egal `a Ne.

Il est bien ´etabli que le probl`eme classique de la m´ethode SIMP (1.6) est mal pos´e et plusieurs techniques peuvent ˆetre adopt´ees pour r´esoudre ce probl`eme [5]. En outre, il convient de souligner que les probl`emes d’OT sont non convexes en g´en´eral. Par cons´equent, si un algorithme bas´e sur le gradient est retenu pour la mise `a jour des variables de conception `a chaque it´eration (`a savoir pour fournir une nouvelle distribution de den- sit´e), le r´esultat r´ecup´er´e sera probablement un optimum local et non un optimum global. N´eanmoins, la strat´egie globale permet une meilleure exploration des variables de concep- tion mais ´echoue r´eguli`erement et est fortement d´econseill´e en raison du grand nombre de variables de conception, caract´erisant g´en´eralement les probl`emes d’OT [36]. L’avan- tage de l’utilisation de la programmation num´erique (par exemple, M´ethode des Moving Asymptotes - MMA [39, 40]) par opposition aux algorithmes d’ordre z´ero (par exemple m´eta-heuristiques) est la possibilit´e d’exploiter les informations fournies par les d´eriv´ees des fonctions objectifs/contraintes par rapport `a l’ensemble des variables de conception pour la recherche de solutions. Dans le cas sp´ecifique du probl`eme (1.6), les d´eriv´ees de la compliance et du volume sont calcul´ees comme suit (voir [34] pour plus de d´etails). La d´eriv´ee partielle de la compliance est ´ecrite selon l’´eq. (1.7). Si la compliance d’un ´

el´ement utilis´e pour le maillage est introduite (voir l’´eq. (1.8), alors l’´eq. (1.7) peut ˆetre simplifi´e en ´eq. (1.9). La d´eriv´ee partielle du volume est fournie par l’´eq. (1.10). Le calcul ses d´eriv´ees est g´en´eralement appel´e analyse de sensibilit´e dans l’OT. Une vue d’ensemble de l’algorithme SIMP est d´etaill´ee sur la fig. 1.3.

Une alternative int´eressante `a la strat´egie de programmation num´erique plus rigou- reuse (et plus longue) est la m´ethode bas´ee sur la condition d’optimalit´e [5]. L’id´ee est

´

el´ements. Ces approches ont ´et´e largement test´ees dans la litt´erature [37, 38]. Bien sˆur, le d´efaut ´evident des m´ethodes bas´ees sur la condition d’optimalit´e est qu’elle n’est pas g´en´erale et qu’une r`egle ad hoc doit ˆetre fournie pour toute contrainte ou fonction objectif. Un r´esum´e des avantages et des inconv´enients de la m´ethode SIMP (que l’on peut consid´erer comme la m´ethode de densit´e de r´ef´erence) est fourni ci-dessous.

Avantages

• La m´ethode SIMP est relativement facile `a comprendre et peut ˆetre impl´ement´ee dans des scripts tr`es compacts [41].

• La quantit´e consid´erable de r´ef´erences bibliographiques fournies dans la suite de ce manuscrit prouve que la m´ethode SIMP est extrˆemement efficace et polyvalente pour plusieurs types de fonctions objectifs/contraintes.

• La m´ethode SIMP est int´egr´ee dans des progiciels bien connus (Altair OptiStruct cite Optistruct, TOSCA cite Tosca), constituant actuellement la r´ef´erence de l’Op- timisation Topologique dans le domaine industriel.

D´esavantages

• Depuis les premiers travaux sur l’OT, diff´erentes strat´egies ont ´et´e propos´ees au cours des derni`eres ann´ees afin de surmonter les inconv´enients typiques de la m´ethode SIMP, tels que l’effet damier et la d´ependance de la dimension du maillage [10,42,43]. Cependant, une bonne formulation math´ematique du probl`eme est sujette `a des choix artificiels en termes de param`etres d’optimisation.

• En d´epit de sa relative simplicit´e, la m´ethode SIMP fournit une description de la g´eom´etrie finale `a base d’´el´ements finis et un post-traitement appropri´e doit ˆetre pr´evu afin d’obtenir une conception compatible avec la CAO.

• Il n’y a pas la possibilit´e de garder le contrˆole sur la fronti`ere de la topologie en cours d’optimisation, en raison de l’absence d’une entit´e purement g´eom´etrique d´ecrivant la topologie.